平面向量知识点归纳与例题练习

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高考数学专题复习《平面向量基本定理》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

√A. (3,7)
B. (0, 7)
C. (3,5)
D. (3,5)
因为向量 a (1,1) ， b (3, 2) ，所以 3a 2b 3(1,1) 2(3, 2) (3,3) (6, 4) (3, 7) .故选 A.
变式训练
2.已知向量 a ，b 满足 2a b 0,3 ，a 2b 3,0 ，a b 1,1，则 ( )
2
2 1 1
，解得
1 1
，故
0
.
故选 B.
剖情景，创素养
【规律总结】 1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2. 正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的形 ABCD 中,M 是 BC 的中点.若 AC AM BD ,则的值为( )
A. 4 3
√B. 5 3
C. 15
D.2
8
典型例题
以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1，则
AC
(1,1)
,
AM
1,
1 2
, BD
(1,1) ,故1
2.基底若 e1 ，e2 不共线，则把{e1 ，e2} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点二：平面向量的坐标
知识梳理
设向量 a (x1 ，y1)，b (x2 ，y2 )， R ，则有下表：
运算
文字描述
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平面向量
考情分析
重点
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

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第五章平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母→a 、→b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；坐标表示法：),(y x yj xi a =+=→3、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与→a 长度相同、方向相反的向量记作 -→a6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量→a 与b 相等，记作→→=b a ； 7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作→→b a //平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。

8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量→a 与→b ，作OA ＝→a ，OB ＝→b ，则()πθθ≤≤=∠0AOB 叫→a 与→b 的夹角说明：（1）当0=θ时，→a 与→b 同向；（2）当πθ=时，→a 与→b 反向；（3）当2πθ=时，→a 与→b垂直，记→a ⊥→b ；规定零向量和任意向量都垂直。

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的0︒≤θ≤180︒9、实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作→a λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）→→=a a λλ；（Ⅱ）当0>λ时，→a λ的方向与→a 的方向相同；当0<λ时，→a λ的方向与→a 的方向相反；当0=λ时，→→=0a λ，方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角为θ，则θcos ||||→→→→⋅=⋅b a b a叫做→a 与→b 的数量积（或内积）规定00=⋅→→a11、向量的投影：定义：|→b |cos θ叫做向量→b 在→a 方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |→b |；当θ = 180︒时投影为 -|→b |R a b a b ∈⋅=→→→→||cos θ，称为向量→b 在→a 方向上的投影投影的绝对值称为射影二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：→1e ，→2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使→→→+=2211e e a λλ（1）．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i 、→j 作为基底→a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得→→→+=j y i x a …………○1 我们把),(y x 叫做向量→a 的（直角）坐标，记作),(y x a =→…………○2 其中x 叫做→a 在x 轴上的坐标，y 叫做→a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与．→a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，)0,1(=→i ，)1,0(=→j ，)0,0(0=（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量→b 与非零向量→a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使→→=a b λ设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则0//1221=-⇔=⇔→→→→y x y x b a b a λ3、两个向量垂直的充要条件设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a4、平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =→，则222||y x a +=→或22||y x a +=→（2）如果表示向量→a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么()()221221||y y x x AB -+-=→(平面内两点间的距离公式)5、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） 222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a ++++=⋅⋅=→→→→θ三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质11(,)a x y =，22(,)b x y =运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则（首尾相接，首尾连）),(2121y y x x b a ++=+→→→→→→+=+ab b a )()(→→→→→→++=++c b a c b a特别注意：（1）结合律不成立：→→→→→→⋅⋅≠⋅⋅c b a c b a )()( ；（2）消去律不成立→→→→⋅=⋅ca b a 不能得到→→=c b（3）0=⋅→→b a 不能得到a =0或b =0乘法公式成立：2222||||))((→→→→→→→→-=-=-+b a b a b a b a 22222||2||2)(→→→→→→→→→→+⋅±=+⋅±=±b b a a b b a a b a线段的定比分点公式: 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P1＝λ2PP ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：＝21（1＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x平移公式：设点P (x ，y )按向量→a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝+a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f （x ）按向量→a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y －ｋ＝f （x －ｈ)正弦定理其中R 表示三角形的外接圆半径）：（1）2sin sin sin a b cR A B C=== （2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC （3）sin ,sin ,sin ,222a b c A AB C R R R=== 余弦定理（1）2b =222cos a c ac B +- （2）bca cb A 2cos 222-+=（3）12a S a h =⋅；②1sin 2S bc A =B ac C ab sin 21sin 21==；附：△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π附：证明：abc b a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，22222200cos c b a c b a C <+⇔<-+⇔< 在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量aa a a 方向上的单位向量。

平面向量知识点归纳及常考题型分析

平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线（平行）的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、（1）判断下列命题是否正确：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。

平面向量知识点与基础练习(最基础)

平面向量知识点与基础练习一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向是任意的； uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 uAuBur )；| AB |4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平r行是不同的. ③平行向量无传递性！（因为有uuu0r )；uuur ④三点 A、B、C 共线 AB、AC 共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－ a 。

二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可 rrr表示为 a xi y j x, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1 、2 ，使 a= 1 e1＋ 2 e2。

rr 四．实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向规定如下： 1 a a , 2 当 >0rr 时， a 的方向与 a 的方向相同，当 <0 时， a 的方向与 a 的方向相反，当＝0 时， a 0 ，注意： a ≠0。

(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作：uuur rAB 或 a 。

uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。

若e是单位向量，则| e| 1。

r r4.零向量：长度为 0 的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

8.三角形法则：uuur uuur AB BA。

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。

r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。

当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。

平面向量的知识点的总结及训练的题目

第五章平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母→a 、→b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；坐标表示法：),(y x yj xi a =+=→3、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与→a 长度一样、方向相反的向量记作-→a6、相等的向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.向量→a 与b 相等，记作→→=b a ； 7、平行向量(共线向量)：方向一样或相反的向量，称为平行向量记作→→b a //平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。

8、两个非零向量夹角的概念：非零向量→a 与→b ，作OA ＝→a ，OB ＝→b ，如此()πθθ≤≤=∠0AOB 叫→a 与→b 的夹角说明：〔1〕当0=θ时，→a 与→b 同向；〔2〕当πθ=时，→a 与→b 反向；〔3〕当2πθ=时，→a 与→b垂直，记→a ⊥→b ；规定零向量和任意向量都垂直。

〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的围0︒≤θ≤180︒9、实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作→a λ，它的长度与方向规定如下：〔Ⅰ〕→→=a a λλ；〔Ⅱ〕当0>λ时，→a λ的方向与→a 的方向一样；当0<λ时，→a λ的方向与→a 的方向相反；当0=λ时，→→=0a λ，方向是任意的10、两个向量的数量积：两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角为θ，如此θcos ||||→→→→⋅=⋅b a b a叫做→a 与→b 的数量积〔或内积〕规定00=⋅→→a11、向量的投影：定义：|→b |cos θ叫做向量→b 在→a 方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |→b |；当θ = 180︒时投影为-|→b |R a b a b ∈⋅=→→→→||cos θ，称为向量→b 在→a 方向上的投影投影的绝对值称为射影二、重要定理、公式：1、平面向量根本定理：→1e ，→2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使→→→+=2211e e a λλ〔1〕．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量→i 、→j 作为基底→a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得→→→+=j y i x a …………○1 我们把),(y x 叫做向量→a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =→…………○2 其中x 叫做→a 在x 轴上的坐标，y 叫做→a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与．→a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，)0,1(=→i ，)1,0(=→j ，)0,0(0=〔2〕假如),(11y x A ，),(22y x B ，如此()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量→b 与非零向量→a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使→→=a b λ 设),(11y x a =→，),(22y x b =→，如此0//1221=-⇔=⇔→→→→y x y x b a b a λ3、两个向量垂直的充要条件设),(11y x a =→，),(22y x b =→，如此002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a4、平面内两点间的距离公式〔1〕设),(y x a =→，如此222||y x a +=→或22||y x a +=→〔2〕如果表示向量→a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么()()221221||y y x x AB -+-=→(平面内两点间的距离公式)5、两向量夹角的余弦〔πθ≤≤0〕 222221212121||||cos y x y x y y x x b a ba ++++=⋅⋅=→→→→θ三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕与其各运算的坐标表示和性质11(,)a x y =，22(,)b x y =运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法如此2三角形法如此〔首尾相接，首尾连〕),(2121y y x x b a ++=+→→→→→→+=+ab b a )()(→→→→→→++=++c b a c b a特别注意：〔1〕结合律不成立：→→→→→→⋅⋅≠⋅⋅c b a c b a )()(；〔2〕消去律不成立→→→→⋅=⋅ca b a 不能得到→→=c b〔3〕0=⋅→→b a 不能得到a =0或b =0乘法公式成立：2222||||))((→→→→→→→→-=-=-+b a b a b a b a 22222||2||2)(→→→→→→→→→→+⋅±=+⋅±=±b b a a b b a a b a线段的定比分点公式: 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，如此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝21〔1＋2OP 〕或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x平移公式：设点P (x ，y )按向量→a ＝〔ｈ，ｋ〕平移后得到点P ′〔x ′，y ′〕，如此P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f 〔x 〕按向量→a ＝〔ｈ，ｋ〕平移后所得的曲线的函数解析式为：y －ｋ＝f 〔x －ｈ)正弦定理其中R 表示三角形的外接圆半径〕：〔1〕2sin sin sin a b cR A B C=== 〔2〕a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 〔3〕sin ,sin ,sin ,222a b c A AB C R R R=== 余弦定理〔1〕2b =222cos a c ac B +-〔2〕bca cb A 2cos 222-+=〔3〕12a S a h =⋅；②1sin 2S bc A =B ac C ab sin 21sin 21==；附：△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π附：证明：abc b a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，22222200cos c b a c b a C <+⇔<-+⇔< 在△ABC 中，有如下等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！三角形的四个“心〞；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量有关系是是方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念与其运算1、假如向量a 、b 满足b a b a +=+，如此a 与b 必须满足的条件为 b a ,方向一样2、假如c b ==,，如此等于〔 B 〕A ．c b -B ．b c -C ．c b +D ．c b -- 3、正六边形ABCDEF 中，=++EF CD BA 〔 D 〕A ．0B ．C ．CD D ．CF4、在边长为1的正方形ABCD 中，设c b a ===,,，如此c b a +-= 25、在ABC ∆中，BD BC 3=，如此等于〔 A 〕A ．)2(31AB AC + B ．)2(31AC AB + C ．)3(41AB AC +D ．)2(41AB AC +6、在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 和AC 的中点，假如b a ==,，如此等于〔 C 〕 A ．)(21b a + B ．)(21b a - C ．)(21a b - D ．)(21b a +-7、：向量b a , 同向，且7,3==b a ，如此=-b a 2 1二、平面向量的根本定理与坐标表示8、假如115,3e e -===，如此四边形ABCD 是〔 C 〕A ．是平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰梯形 9、)4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且CB CN CA CM 2,3==，试求点、N M 和MN 的坐标 199页〔答案：)18,9(),2,9(),20,0(--=MN N M 〕10、向量)4,3(--=a ，如此与a 同向的单位向量是〔 A 〕A ．)54,53(--B ．)54,53( C ．)4,3(-- D ．)4,3(11、)0,8(),2,3(=-A ，如此线段AB 中点的坐标是〔1，2〕 12、假如三点)9,(),4,2(),1,1(--x B A P 共线，求x 〔答案：3=x 〕13、假如向量)43,3(2--==x x x a 与AB 相等地，)2,1(),2,1(B A -，如此x 的值为〔 A 〕 A ．-1 B ．-1或-4 C ．4 D ．1或4三、线段的定比分点14、A 、B 、C 三点在同一条直线上，且A 〔3，-6〕，B 〔-5，2〕，假如点C 的横坐标为6，求点C 分所成的比与点C 的纵坐标〔答案：9,113--=λ〕 15、假如线段AB 的端点)3,6(),lg ,(lg -B y x A ，中点)0,2(-M ，如此=x 100 、 16、)0,0(O 和A 〔6，3〕两点，假如点P 在直线OA 上，且21=，又P 是的中点，如此点B 的坐标为〔4，2〕17、直线l 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，AOB ∆的重心为〔-1，3〕，如此AB 中点坐标为)29,23(-18、三个点)3,4(),4,1(),1,2(--D B A ，点C 在上，且=2，连结DC 并延长至E ，使41=，如此E 点的坐标为〔 D 〕 A ．〔0，1〕 B ．〔-8，35-〕 C ．〔0，1〕或)311,2( D ．〔38-，311〕 19、点A )5,(x 关于),1(y P R 对称点是)3,2(--B ，如此点),(y x 到原点的距离是〔 D 〕 A ．13 B ．15 C ．4 D ．17四、平面向量的数量积20、，33,3,2=⋅==b a b a ，如此a 与b 的夹角等于o 3021、ABCD 为菱形，如此)()(AD AB BC AB -⋅+的值为 0 22、5=b ，且12=⋅b a ，如此向量a 在b 方向上的投影为 512 23、向量a 与b 的夹角为o 120，且2,4==b a ，〔1〕求a 在b 方向上的投影〔2〕求b a 43+〔3〕假如向量kb a +与b a +5垂直，某某数k 的值〔答案：〔1〕-2，〔2〕74，〔3〕419〕 24、a 、b 满足1,1==b a 且3)(2=-b a ，如此=⋅b a 21-25、假如b a b a -=+，且a 与b 不共线，如此a 与b 的夹角为 o 90 26、 )3,2(,132-==b a ，且b a ⊥ ，求a 的坐标27、)1,(),1,2(λ=--=b a ，假如a 与b 的夹角为钝角，如此λ 的取值X 围是〔 A 〕 A ．),2()2,21(+∞⋃- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞28、)5,5(),0,6(-==b a ，如此a 与b 的夹角为 o 13529、)1,1(),2,3(--B A ，假如点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，如此x = 47五、平移30、把点A 〔3，4〕，按 )2,1(=a 平移，求对应点A ' 的坐标),(y x '' 〔答案〔4，6〕〕 31、把函数312-=x y 的图象l 按)2,1(-=a 平移得到l '，求l '的函数解析式〔答案372+=x y 〕 32、一个向量把点〔2，-1〕平移到〔-2，1〕，它把点〔-2，1〕平移到〔 A 〕A ．)1,2(-B ．〔-2，1〕C ．〔6，-3〕D ．〔-6，3〕33、假如向量a 使点〔3，-9〕平移到点〔1，1〕，如此将函数21232+-=x x y 的图象，按a 平移后的解析式为〔 A 〕A ．23x y =B ．2)2(3-=x yC ．10)2(32--=x yD ．10)2(32++=x y34、A 〔5，7〕、B 〔2，3〕，将按向量)1,4(=a 平移后的坐标为〔-3，-4〕六、解斜三角形35、在ABC ∆中，22,30,45===a A C o o ，求b 〔答案：232+〕 36、在ABC ∆中，1,2,45===c b B o ，求a 〔答案226+〕 37、在ABC ∆中，2,33,150===c a B o ，求b 〔答案7〕 38、在ABC ∆中，〔1〕5,3,120===c b A o ，求C B sin sin + 〔2〕ab c b a c b a 3))((=-+++，求C 〔答案：〔1〕734〔2〕o C 60=〕 39、假如三角形的三边长分别为，5，6，如此此三角形一定是〔 A 〕A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形 40、在ABC ∆中，假如C b a cos 2=，如此ABC ∆为〔 B 〕A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 41、在ABC ∆中，1,60,3===∆b A S o ABC ，如此a 的值为〔 C 〕 A ．13 B ．13 C ．3 D ．9 42、三点A 〔1，2〕，B 〔3，1〕，C 〔-1，0〕〔1〕假如ABCD 为平行四边形，求D 点坐标；〔2〕假如P 在直线AB =，求P 的坐标〔3〕求A 的大小〔用反三角表示〕〔答案：〔1〕〔-3，1〕；〔2〕)45,25(P 或)21,4(P ；〔3〕1010arccos -=πA 〕43、ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设向量),(b a c a m --=，),(c b a n +=且n m //〔1〕求B ∠〔2〕假如3,1==b a ，求ABC ∆的面积〔答案：〔1〕3π；〔2〕23〕44、设函数)()(c b a x f +⋅=，其中向量R x x x c x x b x x a ∈-=-=-=),sin ,cos (),cos 3,(sin ),cos ,(sin ，求函数)(x f 的最大值和最小正周期〔答案：〔1〕22+；〔2〕π〕。

平面向量知识点与习题

学习必备欢迎下载平面向量必修4 第2章平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．考纲要求：①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是（） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

当堂练习： 1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量 2下列说法中正确的是（） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量

3．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO、OB、CO、OD是（） A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等的向量 D．模都相同的向量 4.下列结论中,正确的是 ( )

A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量a,|a|>0总是成立的 C. ||AB=|BA| D. ||AB与线段BA的长度不相等 5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是 ( )

A. AB与CD共线 B. AC与BD相等 C. AD 与 CB是相反向量 D. AB与CD模相等 6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，

（1）与BC相等的向量有；学习必备欢迎下载（2）与OB长度相等的向量有；（3）与DA共线的向量有． 7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明． 8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：

高中平面向量及其应用知识点和相关练习试题

一、多选题1．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥3．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（）A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C =B ．若sin 2sin 2A B =，则a b =C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C7．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +8．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒9．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（）A BC D ．10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-11．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（）A ．B ．23C ．23-D 12．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量13．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-14．下列命题中，正确的有（）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（） A ．0B ．83C ．-4D ．417．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A ．233B ．33C ．332D ．3318．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-19．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +20．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（） A ．4B ．72C ．258D ．25921．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（） A 7B ．3C 11D 1922．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7223．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数24．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（） A ．1B ．23-C ．13- D ．34-25．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（）A ．12- B ．12C ．-2D ．226．题目文件丢失！27．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 28．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．25B ．35C ．34D ．1429．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．430．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A ．34B ．53C ．73D ．8331．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 32．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（）A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°33．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确；对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误；对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．3．ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解解析：ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.5．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABDA. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 7．AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.8．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.11．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.12．AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.13．AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，解析：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.14．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩，则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确；对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数，则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】如图所示，AB AF2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()230,3,3,1,,33B FE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此()BFAEBF233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 17．A 【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1312232332=+-⨯⨯=，2223cos222323AB BC ACBAB BC+-∴===⋅⨯⨯，又因为角B是三角形的内角，所以6Bπ=，90BAC∴∠=，27sin7BAD∠=，221cos1sin7BAD BAD∴∠=-∠=，21sin cos7DAC BAD∴∠=∠=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBD BADBAD⋅=∠，在ADC中，由正弦定理可得sinsinDC CADDAC⋅=∠，()1323222721DC DC-⨯⨯∴=，解得：23DC=.故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.18．D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC∆，其中角B为直角，则垂心H与B重合，O为ABC∆的外心，OA OC∴=，即O为斜边AC的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 19．D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+，故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 20．C 【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BCR A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==，由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===，所以258R =，此三角形的外接圆半径是258故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．A 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 22．B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 23．D 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数．本题选择D 选项.24．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.25．A【分析】根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OCOC OC ⋅⋅=,即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12a =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.26．无27．D 【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．28．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.29．B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=，所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．综上可得，正确的命题个数为2.故选：B .【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 30．C【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 31．C【分析】利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以O 为ABC ∆的垂心。

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"表示法仔臥几何型标)1 I在几何学中的丽1 正弦、余弦定理药丽

二、详细知识要点讲解；重点知识回顾 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ,有二个要素： • _________________ 4 4 2. 向量的表示方法：①用有向线段表示；②

用字母 a、b等表示；③平面向量的坐标表

、，一、、 4 - 示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底。任作一个向量 a，由平

-H 4 面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得a二xi • yj，(x, y)叫做向量a的(直

角)坐标，记作a = (x, y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，‘=(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0)。 a=Jx2+]2 ；若 A(x1,y1)，B(X2,y2)，则 AB =仪2 -为』2 - y1 ，

AB = (X2=xj2—( yzPyj2

3. 零向量、单位向量：①长度为的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 _________ 个单位长 —* 度的向量，叫单位向量•(注：就是单位向量) |a|

4. 平行向量：①方向 __________ 的向量叫平行向量；②我们规定 _______ 与任一向量平行• ,4 扌彳十一，，4 扌 4 _ _ _ 十一亠耳一「「亠冃

:知识框架图; 平面向量趴洪线向量的充宴翔向量的in.猱法1 1向量的怅度*夹角

“实数与向St的积1 」两个向量平行的充套条件

向盘的数量积1―* 两个向量垂直的充要务件

卩线段的定比分点 1瞪翅证宙

向在執理学中的应用向量a、b、c平行，记作a // b // c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 . 5. ______________ 相等向量： __ 相等且相同的向量叫相等向量• 6 .向量的基本运算 (1) 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设 a =(x i,yi), b =(x 2,y 2)贝V a+b= ____________ ， a- b= _________ 。

(2) 平面向量的数量积：a *b= _______________ 。

设 a =(x i,yi), b =(x 2,y 2)贝U a « b= ___________ 。 f 'f (3) 两个向量平行的充要条件」// :二一：=入「

( b不是零向量)

若 _：=(xi,y”， .■ =(x2,y 2)，贝U 一： //-：「；‘ r r r (4) .两个非零向量垂直的充要条件是 &丄

DUd • D _。

‘r f f 设 -■ =(xi,y 1), .■ =(x2,y 2)，贝U 一：丄一：

.向量的加法、减法： ① 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 ②向

量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a -b =玄+ (-b)

；

差向量的意义： 0A= a , OB = b ,贝U BA = a_ b

一 4 叩彳啤 ③ 平面向量的坐标运算：若 a =(为，yj , b =(X2, y2)，则a b = (xi x2, yi y?), 呻 d _ a _ b —(Xi - x?, yi _ y2) , .‘“a = (/-x^■- y)。

④ 向量加法的交换律:a + b = b + a ；向量加法的结合律：(a+b) + c= a+ (b + c) 7. 实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a (i) I入a|=|入||a|；( 2)入＞0时入a与a方向相同；入＜0时入a与a方向相反；入=0时入

a = 0 ； (3)运算定律入(0)= ______ a ,(入 + 卩)3= ______ ,入(a + b )= __________

。 (X <0) 8. 向量共线定理向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有个非零实数入，使b = _____ a。 9. 平面向量基本定理：如果 e , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

面内的任一向量 a，有且只有一对实数入1,入2使a =入ie+入2e2。（1）不共线向量G、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e、曳的条件下进行分解（4）基底给定时，分解形式惟一 .入1,入2

是被a , e , e2唯一确定的数量。 10. 向量a和b的数量积：① a • b= ___________ 其中二€ [0, n ]为a和b的夹角。② |b|cos^称为b在a的方向上的投影。③ a • b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的 ________ ，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。

④ 若 a = ( x1, % ) , b= (x2, y2),则 a ・b 二 x1x2 - y1 y2

⑤ 运算律： a • b=b • a,( 入 a) • b=a •(入 b)=入 __________ (a+b) • c=________ a ■ b ⑥ a和b的夹角公式： cosB = ^ ,4,= d ------------------

11. 两向量平行、垂直的充要条件设a = （ x1, y1） , b = （ x2 , y2 ）

f f Hf 呻 ① a丄b：= a • b=0 , a _ b= a =x1 x2 + % y2 =0;

② a//b （ a丰0 ）充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b =入a。 —F- —F a//b 二細2-乂2屮=0

向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。

三：难点、易错点； 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。 3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

a • b | w | a | • | b | 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度, 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解） (一)基础知识训练 1. 下列命题正确的是

(A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等

(C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形 ABCDEF中，若AB = a， FA =• b，则BC =() 1 1 1 (A) —(a-b) (B)—(a b) (C) a-b (D) — a b 2 2 2

3. 已知向量0 =0, ■ • R，a =0 • • e2,b =2e“若向量a与b共线，则下列关系一定成立是 () (A)，= 0 (B) e2 = 0 (C) e1 // e ( D) e1 // e2或，=0

4. 若向量a =(—1,x), B = (—x,2)共线且方向相同， x= ___________ 。 5. 设 0 ・：：v ::: 2二，已知两个向量 OR = cosr , sinr , OP2 = (2 +sin日,2 —cos日)，则向量丽长度的最大值是( )

A.、2 B.、3 C3 2 D. 2 3

(二).典例分析例1： (1 )设a与b为非零向量，下列命题: ①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反;

错解：(1)有学生认为①②③④全正确，答案为 4;也有学生认为①或④是错的，答案为 2 或3; (2) A或B或Co 分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。

第(1)小题中，正确的应该是①④，答案为 2。共线向量(a与b共线)的充要条件中所存在的常数■可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量 a所作的伸缩量；若a, b为非零向量，则共线的 a与b满足a与b同向时：=|：|乂，：与b反向时:一。

I冋

第(2)小题中，正确答案为(D)。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支 D 同时要求学

②若 AB =a,CD =b, a与b共线，则A、B c、D四点必在一条直线上;

③ 若a与b共线，则卜勺莘+片；④若a与b反向，则a 其中正确命题的个数有 (A) 1 个 (B) 2 个 (2)下列结论正确的是 (A)期=目补(B) a

( 卄叶*彳 f T

(0 若(a_b)c -(也a)b = 0

(D)若a与b都是非零向量，则 a — b

的充要条件为

a b1