高中数学人教A版必修第一册《诱导公式》课件PPT1
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数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共29张ppt)
且角 与角 的终边关于 轴对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（二）− 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究− 与 的三角
函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于 轴的对称的点，
边相同的角，即 = + ( + ）
且角 与角 的终边关于原点O对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（一） + 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究 + 与 的三
角函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于原点 O 的对称点，
3.诱导公式四：
单位圆 ⊙ 的半径 =
( − ) =
∴ 满足 = − ， = ��
( − ) = −
∴据三角函数的定义可得
=
= ,
( − ) =
=
= ,
= , ( − ) =
1.问题：如图，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位
圆交于点 （ , ）
作 （ , ）关于直线 = 的对称点 （ , ），
Hale Waihona Puke 从而可得 ( − ) = ;
=
( − ) = −
= , ( − ) =
( − ) = − ;
( − ) = −
探究新知——诱导公式（互学）
二
探究新知——诱导公式（互学）
二
（二）− 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究− 与 的三角
函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于 轴的对称的点，
边相同的角，即 = + ( + ）
且角 与角 的终边关于原点O对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（一） + 与 的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角 与角 的三角函数值之间的关系，只要研究 + 与 的三
角函数值关系即可.
∵ （ , ）是 （ , ）关于原点 O 的对称点，
3.诱导公式四：
单位圆 ⊙ 的半径 =
( − ) =
∴ 满足 = − ， = ��
( − ) = −
∴据三角函数的定义可得
=
= ,
( − ) =
=
= ,
= , ( − ) =
1.问题：如图，在直角坐标系内，设任意角 的终边与单位
圆交于点 （ , ）
作 （ , ）关于直线 = 的对称点 （ , ），
Hale Waihona Puke 从而可得 ( − ) = ;
=
( − ) = −
= , ( − ) =
( − ) = − ;
( − ) = −
探究新知——诱导公式（互学）
二
数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共30张ppt)
y
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =
诱导公式第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
解析 (1)sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12； cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)
＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.
答案
1 (1)2
－21
6
求任意角三角函数 值：(1)“负化正”； (2)“大化小”； (3)“小化锐”； (4)“锐求值”
课堂精讲
【训练 1】 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos－316π；(3)tan(－945°).
解 (2)法一 cos－316π＝cos316π＝cos4π＋76π
＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－
3 2.
法二 cos－316π＝cos－6π＋56π
＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－
16
课堂精炼
【训练 2】 化简下列各式： (1)tan(2π－coαs)(sαi－n(－π)s2iπn－(5πα－)coαs)(6π－α)；
解 (1)原式＝－tcaons(απ·－sinα()－sinα()πc－os(α－) α) ＝－cossinαα（（－－cosisnαα））scinosαα
＝－csions
题型三 给值(或式)求值问题
数学
19
知识梳理
诱导公式 二、三、四
sin(π＋α)＝－sinα， cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα，
sin(－α)＝－sinα， cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tan α sin(π－α)＝sinα， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tanα
3 2.
人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式 第1课时 诱导公式(1)【课件】
怎样判断任意角所在的象限呢?
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第 课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第 课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
诱导公式 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
人教A版高中数学必修第一册 诱导公式 课件(1)(共33张PPT)
2k ( -),(k Z)
2
P1( y, x)
y P(x,y)
α
- P1(y,x)
2
O
x
y=x
cos sin( - )
2
sin cos( - )
2
公式五
sin
2
-
cos ,
cos
2
-
sin
.
探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5,又能得到什么 P5
结论？
角与角 的终边关于y轴对称
sin(-) - sin cos(-) cos tan(-) -tan
由上面两组公式的推导方法，你能同理推导出
角 - 与 的三角函数值之间的关系吗？
公式四
r 1
sin y cos x
sin( - ) y
tan y
x
cos( - ) - x
tan( - ) y - y
-x x
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称 4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
公式四
-
sin( - ) sin
cos( - ) -cos
tan( - ) - tan
公式一：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：
2
P1( y, x)
y P(x,y)
α
- P1(y,x)
2
O
x
y=x
cos sin( - )
2
sin cos( - )
2
公式五
sin
2
-
cos ,
cos
2
-
sin
.
探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5,又能得到什么 P5
结论？
角与角 的终边关于y轴对称
sin(-) - sin cos(-) cos tan(-) -tan
由上面两组公式的推导方法，你能同理推导出
角 - 与 的三角函数值之间的关系吗？
公式四
r 1
sin y cos x
sin( - ) y
tan y
x
cos( - ) - x
tan( - ) y - y
-x x
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称 4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
公式四
-
sin( - ) sin
cos( - ) -cos
tan( - ) - tan
公式一：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：
诱导公式一【新教材】人教A版高中数学必修第一册优质课件1
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第五章 5.3 诱导公式（一）-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
高中数学人教A版(2019)必修第一册《5.3诱导公式(第一课时)》课件
5.3 诱导公式
第一课时
大儒诚信教育资源
新知探究
问题1 如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位 圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2． （1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 解：（1）β＝2kπ＋（π＋α）（k∈Z）
sin（π＋α）＝－sin α， 公式二 cos（π＋α）＝－cos α，
任意负角的三 用公式三或一 任意正角的
角函数
三角函数
用公式一
0～2π的角的 三角函数
用公式 二或四
锐角的三角函 数
新知探究
例2 化简： cos(180 +α) sin(α+360 ) ． tan(α 180 ) cos(180 α)
解：tan（－α－180°）＝tan［－（180°＋α）］ ＝－tan（180°＋α）＝－tan α，
（2）sin 8π ； 3
（3）sin(16π ) ； 3
（4）tan（－2 040°）．
解：（4）tan( 2 040 )= tan 2 040 = tan(6 360 120 )
=tan 120 =tan(180 60 )= tan 60 3 ．
大儒诚信教育资源
新知探究
问题3 由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认 识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三 角函数的步骤吗？ 利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
tan（π＋α）＝tan α．
新知探究
追问1 应用公式二时，对角α有什么要求？
只要在定义域内的角α都成立．
新知探究
追问2 探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数 学思想是什么？
第一课时
大儒诚信教育资源
新知探究
问题1 如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位 圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2． （1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 解：（1）β＝2kπ＋（π＋α）（k∈Z）
sin（π＋α）＝－sin α， 公式二 cos（π＋α）＝－cos α，
任意负角的三 用公式三或一 任意正角的
角函数
三角函数
用公式一
0～2π的角的 三角函数
用公式 二或四
锐角的三角函 数
新知探究
例2 化简： cos(180 +α) sin(α+360 ) ． tan(α 180 ) cos(180 α)
解：tan（－α－180°）＝tan［－（180°＋α）］ ＝－tan（180°＋α）＝－tan α，
（2）sin 8π ； 3
（3）sin(16π ) ； 3
（4）tan（－2 040°）．
解：（4）tan( 2 040 )= tan 2 040 = tan(6 360 120 )
=tan 120 =tan(180 60 )= tan 60 3 ．
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新知探究
问题3 由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认 识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三 角函数的步骤吗？ 利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
tan（π＋α）＝tan α．
新知探究
追问1 应用公式二时，对角α有什么要求？
只要在定义域内的角α都成立．
新知探究
追问2 探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数 学思想是什么？
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解：tan(- -180 ) tan[-( 180 )] - tan( 180 ) - tan
cos(-180 ) cos[-(180 - )] cos(180 - ) - cos
所以， 原式 - cos sin - cos (- tan )(- cos )
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.3 诱导公式》课件
公式四
r 1
sin y cos x
sin( - ) y
tan y
x
cos( - ) - x
tan( - ) y - y
-x x
公式四
-
sin( - ) sin
cos( - ) - cos
tan( - ) - tan
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.3 诱导公式》课件
tan y
x
cos(- ) x
tan(- ) - y - y
xx
-
公式三
sin(- ) - sin
cos(- )பைடு நூலகம் cos
tan(- ) - tan
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.3 诱导公式》课件
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.3 诱导公式》课件
探究三
sin( ) - sin sin(-) - sin
探究四：作P（x,y)关于直线 y x 的对称点P1,
y P(x,y)
以OP1为终边的角 与角 有什么关系？角 与角
α
- P1(y,x)
2
O
x
的三角函数值之间有什么关系？
y=x
2k ( - ), (k Z )
2
P1( y, x)
cos sin( - )
2
sin cos( - )
2
例3 证明 :
1
sin
3
2
-
- cos;
2
cos
3
2
-
- sin .
证明：1
sin
3
2
-
sin
2
-
-
sin
2
-
- cos
2
cos
3
2
-
cos
2
-
-
cos
2
-
- sin
例4 化简
sin 2
- cos
cos
2
cos
11
2
-
.
cos
-
sin 3
-
sin -
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 【解析】 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故 B 项错误． 【答案】 B
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.3 诱导公式》课件
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cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan
其中 k Z
其中 k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
思 考1
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系? 终边关于x轴对称
2
cos( - ) sin
2
sin(
)
cos
2
cos( ) - sin
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
口诀的意义：
k （k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
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探究一
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
r 1
sin y cos x tan y
x
sin( ) - y
cos( ) - x
sin( ) - sin
tan( ) - y y
-x x
公式二
cos( ) - cos tan( ) tan
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探究二
我们再来研究角 与 - 的三角函数值之
间的关系
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r 1
sin y cos x
sin(- ) - y
5
解：设 53 -， 37 。那么 90， 从而 90 - ，
于是，sin sin(90 - ) cos . 因为， - 270 -90. 所以， 143 323.
由sin 1 0,得143 180
5
所以，cos - 1- sin2 - 1- (1)2 - 2 6 .
【答案】 B
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5．已知 sin
φ＝ 6 ，求
11
cos
11π＋φ 2
＋sin(3π－φ)的值.
【解】 ∵sin φ＝161，
∴cos112π＋φ＝cos6π－π2 ＋φ＝cos－π2 ＋φ
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4．若 sinπ2 ＋θ<0，且 cosπ2 －θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
【解析】 由于 sinπ2 ＋θ＝cos θ<0，
cosπ2 －θ＝sin θ>0，所以角 θ 的终边落在第二象限，故选 B．
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
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cos(1800 ) sin( 3600 ) 例2 化简： tan(- -1800 ) cos(-1800 )
-
sin
9
2
解：原式=
-
sin
-
cos
-
sin
cos
5
2
-
=
-
-
sin2
cos sin
cos - cos
-
2
-sin
-
=
sin 4
- sin
2
- tan
-
cos
sin
-
-
sin
sin
2
cos
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例5 已知 sin(53 - ) 1 ，且 - 270 -90 ，求 sin(37 ) 的值。
sin(-) - sin sin( - ) sin
cos(-) cos cos( - ) - cos
tan(-) - tan tan( - ) - tan
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公式一：
公式二：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：
sin( ) - sin cos( ) - cos tan( ) tan
公式四：
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
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思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
2．sin 600°的值为( )
A．1 2
B．－1 2
C．
3 2
D．－
3 2
【解析】 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 23.故选 D． 【答案】 D
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公式五
sin
2
-
cos
,
cos
2
-
sin
.
探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么 P5
结论？
角与角 的终边关于y轴对称
-1
2
P（5 - x, y）
y 1
0
-1
P(x,y) 1
x
公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) - sin
2
思考4：你能概括一下公式五、六的共同特点和 规律吗？
cos(-180 ) cos[-(180 - )] cos(180 - ) - cos
所以， 原式 - cos sin - cos (- tan )(- cos )
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公式四
r 1
sin y cos x
sin( - ) y
tan y
x
cos( - ) - x
tan( - ) y - y
-x x
公式四
-
sin( - ) sin
cos( - ) - cos
tan( - ) - tan
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tan y
x
cos(- ) x
tan(- ) - y - y
xx
-
公式三
sin(- ) - sin
cos(- )பைடு நூலகம் cos
tan(- ) - tan
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探究三
sin( ) - sin sin(-) - sin
探究四：作P（x,y)关于直线 y x 的对称点P1,
y P(x,y)
以OP1为终边的角 与角 有什么关系？角 与角
α
- P1(y,x)
2
O
x
的三角函数值之间有什么关系？
y=x
2k ( - ), (k Z )
2
P1( y, x)
cos sin( - )
2
sin cos( - )
2
例3 证明 :
1
sin
3
2
-
- cos;
2
cos
3
2
-
- sin .
证明：1
sin
3
2
-
sin
2
-
-
sin
2
-
- cos
2
cos
3
2
-
cos
2
-
-
cos
2
-
- sin
例4 化简
sin 2
- cos
cos
2
cos
11
2
-
.
cos
-
sin 3
-
sin -
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 【解析】 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故 B 项错误． 【答案】 B
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cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan
其中 k Z
其中 k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
思 考1
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系? 终边关于x轴对称
2
cos( - ) sin
2
sin(
)
cos
2
cos( ) - sin
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
口诀的意义：
k （k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
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探究一
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
r 1
sin y cos x tan y
x
sin( ) - y
cos( ) - x
sin( ) - sin
tan( ) - y y
-x x
公式二
cos( ) - cos tan( ) tan
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探究二
我们再来研究角 与 - 的三角函数值之
间的关系
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r 1
sin y cos x
sin(- ) - y
5
解：设 53 -， 37 。那么 90， 从而 90 - ，
于是，sin sin(90 - ) cos . 因为， - 270 -90. 所以， 143 323.
由sin 1 0,得143 180
5
所以，cos - 1- sin2 - 1- (1)2 - 2 6 .
【答案】 B
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5．已知 sin
φ＝ 6 ，求
11
cos
11π＋φ 2
＋sin(3π－φ)的值.
【解】 ∵sin φ＝161，
∴cos112π＋φ＝cos6π－π2 ＋φ＝cos－π2 ＋φ
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4．若 sinπ2 ＋θ<0，且 cosπ2 －θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
【解析】 由于 sinπ2 ＋θ＝cos θ<0，
cosπ2 －θ＝sin θ>0，所以角 θ 的终边落在第二象限，故选 B．
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
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cos(1800 ) sin( 3600 ) 例2 化简： tan(- -1800 ) cos(-1800 )
-
sin
9
2
解：原式=
-
sin
-
cos
-
sin
cos
5
2
-
=
-
-
sin2
cos sin
cos - cos
-
2
-sin
-
=
sin 4
- sin
2
- tan
-
cos
sin
-
-
sin
sin
2
cos
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例5 已知 sin(53 - ) 1 ，且 - 270 -90 ，求 sin(37 ) 的值。
sin(-) - sin sin( - ) sin
cos(-) cos cos( - ) - cos
tan(-) - tan tan( - ) - tan
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公式一：
公式二：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：
sin( ) - sin cos( ) - cos tan( ) tan
公式四：
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
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思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
2．sin 600°的值为( )
A．1 2
B．－1 2
C．
3 2
D．－
3 2
【解析】 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 23.故选 D． 【答案】 D
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公式五
sin
2
-
cos
,
cos
2
-
sin
.
探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么 P5
结论？
角与角 的终边关于y轴对称
-1
2
P（5 - x, y）
y 1
0
-1
P(x,y) 1
x
公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) - sin
2
思考4：你能概括一下公式五、六的共同特点和 规律吗？