变换和置换群
元素。
A
5
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。 封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) =
A
12
置换的轮换乘积形式
例子：15
2 2
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
84
=
(1 5 7) (4 8)
例子：12
2 3
3 5
4 8
5 1
6 4
7 6
78
=(1 2 3 5) (4 8 7 6)
A
13
用对换的乘积表示置换
k(k>1)阶轮换 =(i1 i2 … ik )可以表示为k-1个对换的乘积：(i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
的逆元素。(注意：a0)
A
6
置换及其表示
定义：有限集合S上的双射:SS称为S上 的n元置换
记法：
1(1)(22)...... (nn)
A
7
置换的例子
例子：集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记为S3 ：
e 11
2 2
33
11
2 3
23
12
2 3
13
13
2 2
受到影响的除了s和k+1本身外，只是it与ik+1之间大于s, 小于 k+1的诸项)。
A
18
15-Puzzle (1,5,3,7)(2,6,4,8)(9,10)(11,14,13,12)(15)(16)
12 3 4 567 8 9 10 11 12 13 14 15
56 7 8 341 2 10 9 14 11 12 13 15
注意：各对换是相交的，因此次序不可以交换。
证明要点：对k归纳。
k=2时显然成立。考虑 =(i1 i2 … ik ik+1 ), 只需证明 =(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )。 分4种情况证明：xA, (x)=(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )(x)
(1) x{ i1, i2, …, ik-1}
对S的阶数n进行归纳。 令的对换个数为()，对应排列的逆序数为()。 奠基：当n=1, =(1), ()=()=0。
A
17
奇置换和偶置换 – 归纳证明
假设当n=k时结论成立。考虑k+1元置换。 分两种情况讨论；
(1) (k+1)=k+1：在{1,2,…,k}上的限制是k元置换，令其为 ‘，相应排列为’, 显然：()=(‘), ()=(’), 由归纳假 设，(')与(')同奇偶性。
定义集合{1,2,3,4}上的置换, 并用轮换乘积形式表示如下： f1=(1,3)(2,4)，则f1对应于动作1：上下互换； f2=(1,2)(3,4)，则f2对应于动作2：左右互换； f3=(1,4)(2,3)，则f3对应于动作3：对角互换；
令e=(1), 则({e, f1, f2, f3}, ◦)构成可交换置换群
变换群和置换群
离散数学 第15讲
A
1
上一讲内容的回顾
不变子群 商群 同态核 自然同态 群同态基本定理 同态基本定理的应用
A
2
变换群与置换群
变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
A
3
变换和变换群
定义：A是非空集合，f:AA称为A上的一个 变换。
13
13
2 1
23
1 2
2 1
33
S3是最小的非交换群
注意：质数阶群一定是可交换群。
A
8
轮换与对换
定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
(i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij
j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当 k=2, 也称为对换。
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
A
9
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换：
=(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交
A
24
问题的解
任意有限多次连续动作即等效于函数
f =fi1◦ fi2◦… ◦ fi n 。其中ik{1,2,3}
所以：开始格局与结束格局相同 当且仅当 f = e
({e, f1, f2, f3}, ◦)是可交换群， f =fi1◦ fi2◦… ◦ fi n = f1h◦ f2j◦ f3k ,其中h, j, k是非负整数。
奇偶性(与顺序无关)。
A
25
作业
p.228
36
假设A,B,C,D是正方形的四个顶点; 定义集合 {A,B,C,D}上8个置换,分别对应于正方形在平面内顺 时针旋转0, 90, 180, 270, 以及分别围绕对角线 或对边中点连线(各有两条)翻转。证明这8个置换与 复合运算构成群，画出群表，并列出所有的子群。
经常讨论的是一一变换，即f是双射。 变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复
合运算。
集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群空集合上所有的一一变换构成群
设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定
构成群。
封闭性：双射的复合仍是双射。 结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。 单位元： f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意 g:AA,
fc,d(ax+b) = acx+bc+d, 例如：f2,1(x)=2x+1, f1,2(x)=x+2, f1,2(f2,1(x))= 2x+3, 即f2,1◦f1,2 = f2,3 ) 结合律：变换的乘法即关系复合运算
单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此f1/a,-b/a是fa,b
A
22
利用置换群解题的例子
在四个方格子中放置了带有
标号的四个盘子(见右图)。 可以进行下列操作：
1
2
(1) 上下行互换 (2) 左右列互换
3
4
(3) 两对对角元素互换
进行上述操作任意有限多次，可以按照任意次序进行，包括交替进 行。
问题：操作停止时与开始时格局相同的充分必要条件是什么？
A
23
采用置换群建立数学模型
A
令： 函数g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3, g(4)=4 函数h: h(1)=3, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=4 函数k: k(1)=4, k(2)=2, k(3)=3, k(4)=1
则： g⃘h⃘k(1)=k(h(g(1)))=k(h(2))=k(2)=2 g⃘h⃘k(2)=k(h(g(2)))=k(h(1))=k(3)=3 g⃘h⃘k(3)=k(h(g(3)))=k(h(3))=k(1)=4 g⃘h⃘k(4)=k(h(g(4)))=k(h(4))=k(4)=1
注意：对i=1,2,3, 均有fi 2k = e, 其中k是非负整数； f = f1s(h)◦ f2s(j)◦ f3s(k) , s(x)是整数集上的“奇偶特征函数”，当x为奇数，s(x)=1, 否则s(x)=0。
注意：f1◦ f2◦ f3 =e
开始格局与结束格局相同 当且仅当 动作1,2,3分别施行的次数同
令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
A
11
置换的轮换乘积形式的唯一性
如 果 置 换 可 以 表 示 为 12…t 和 12…l, 令 X={1, 2, …, t}, Y={1, 2, …, l , }, 则X=Y
(2) x=ik
(3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
A
14
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
注意：(f1◦ f2)= (f2◦ f1)= f3；(f1◦ f3)= (f3◦ f1)= f2；(f2◦ f3)= (f3◦ f2)= f1； 因此运算封闭且可交换；且e是单位元，每个元素的逆元即自己。
在此模型之下：任意有限多次连续动作即等效于函数 f =fi1◦ fi2◦… ◦ fi n 。其中ik{1,2,3}
r =0，即是恒等置换。
若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次找 出i2, i3 …。
S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。
必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与是 一对一的矛盾。)
证明要点：
任取jX, 不失一般性，令j=(i1 i2 … im )
《变换和置换群》课件
晶体学
化学分子
置换群可用于描述晶体中的对称 性，进而推测晶体的结构和性质。
变换和置换群可用于描述和分析 分子中的对称性和反应过程。
实例分析：八皇后问题
1
问题描述
在8×8的国际象棋棋盘上，摆放8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
2
解决方法
利用回溯算法，通过枚举置换的组合方式，找到符合要求的八皇后放置方法。
变换群的性质和定义
群元素
• 变换 • 恒等变换
性质
• 封闭性 • 结合律 • 单位元 • 逆元
置换群的性质和定义
对称性
置换群是对称性的代数描述。
置换的类型
置换可以分为置换对和置换 环。
性质：
满足群的四个基本要素：群
音乐理论
变换群与音乐理论有密不可分的 关系，可描述音乐创作和演奏过 程。
《变换和置换群》PPT课 件
本课件将介绍变换群和置换群的定义、性质和应用。通过实例讲解八皇后问 题，帮助大家理解群论的基本概念。
变换群和置换群是什么？
1 变换群
是一组变换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
2 置换群
是一组置换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
3 联系
置换群是变换群的一种特 殊情况。
3
应用
解决类似的组合问题，例如数独、图像识别等。
总结
群论基础
变换群和置换群是群论中最基础的概念，可应用于 各领域。
更广泛的应用
广泛应用于数学、物理、化学、计算机等领域，展 现了其重要性和实用价值。
群论中的置换群
群论是数学中的一个重要分支，研究集合上的一种代数结构——群。
而在群论中，置换群是一类非常特殊并且重要的群。
什么是置换群？简单地说，置换群是由一组可交换的置换（即对集合元素进行全体排列的操作）所组成的群。
在数学中，置换是指将集合中元素的位置进行改变，但不改变元素的本质属性。
例如，对于集合{1, 2, 3, 4}，一个典型的置换可以是将元素1和2进行交换，元素3和4进行交换，即得到置换(12)(34)。
置换的符号表示法可以更加简洁地表示置换操作。
在置换群中，常用的表示法是使用圆括号，例如(12)表示将元素1和2进行交换，而(12)(34)则表示先将元素1和2交换，再将元素3和4交换。
另外，置换还可以表示为行列式的形式，称为矩阵表示法。
置换群的运算规则与普通群的运算规则相同，即满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元。
对于任意两个置换，可以进行运算得到另一个置换。
例如，对于置换群S4，如果有两个置换(12)和(34)，我们可以进行运算得到(12)(34) = (14)(23)。
置换群在数学和其他领域中有广泛应用。
在数学中，置换群常常用于研究对称性和排列组合问题。
在物理学中，置换群被广泛应用于对称性和粒子对称性的研究。
在密码学中，置换群用于构造加密算法，保护信息的安全性。
置换群也有许多有趣的性质。
例如，置换群中的每个置换都可以分解为若干个不相交的循环。
循环是一种特殊的置换，它仅仅改变集合中的一部分元素的位置，保持其他元素不变。
另外，置换群的阶（元素个数）可以通过求置换的最小公倍数来计算。
总之，置换群在群论中是一类非常重要的群。
它通过对集合中的元素进行排列操作，研究群的结构和性质。
置换群在数学、物理学、密码学等领域都有广泛应用，对于理解对称性和排列组合问题具有重要意义。
通过对置换群的研究，我们可以深入了解群论的基本概念和方法，丰富数学的应用领域。
第6节置换群
定义
, ik 和 j1 , j2 , , js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素，
设 i1 , i2 ,
则称 与 定理3
ik
是不相连（交）的.
每个置换都可表成不相连循环置换之积.
j1 j2 js a js a i1 j1 j2 b b
（i1 i2 i3 ik )，（i2 i3 ik i1 )， ，或（ik i1 i2 ik 1 )
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。 习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为
(1) (2) (3)
( n)
S3 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 例 三次对称群为：
, 2 , 3 ,求A的全体置换. 例1 设 A 1
2 3 1 0 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2
2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 3 3 1 2
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 2 pn n
注意：置换乘法没有交换律。如
2 3 2 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 5 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1
二、置换的矩阵表示
考虑任意有限集合，不妨设 A 置换
1, 2,
n pn
, n
: 1 p1 , 2 p2 ,
, n pn
可表示为
变换和置换群
单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此
f1/a,-b/a是fa,b 的逆元素。(注意：a0)
精品课件
置换及其表示
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
精品课件
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称
精品课件
置换的轮换乘积形式
例7)子(：4 815)22
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
8 4
例子：12
2 3
3 5
4 8
5 1
6 4
7 6
78
5) (4 8 7 6)
精品课件
= (1 5 =(1 2 3
用对换的乘积表示置换
k(k>1) 阶 轮 换 =(i1 i2 … ik ) 可 以 表 示 为 k-1 个 对 换 的 乘 积 ： (i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
与 不相交
若 与 不相交，则 = 对任意xS, 分三种情况讨论： x{i1, i2, …, ik}; x{j1, j2, …, js}; xS-({i1, i2, …, ik}{j1, j2, …, js})， 均有(x) = (x) 精品课件
用轮换的乘积表示置换
Ch 17.4-5 变换群和置换群,群的分解,
n
(n)
n元置换共n! 个，构成集合Sn，关于变换乘法成为群，称
为n元对称群，Sn的子群称为n元置换群。
如: 集合S＝{a,b,c,d}，将a映射到b, b映射到d, c映射到a，
d 映射到c.这个置换可以表示为
a b
b d
c a
d c
第三编 代数结构
4
置换的乘法与求逆
置换乘法：函数的合成 例如：8 元置换σ=(132)(5648)，τ=(18246573), 则 στ=(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 σ=(132)(5648)，σ−1=(8465)(231), 令Sn 为{1,2,…,n}上所有n 元置换的集合. Sn 关于置换乘法构成群，称为n 元对称群. Sn 的子群称为n 元置换群. 例 3 元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
设S={1,2,…,n},σ=(i1i2…ik)是S上的k阶轮换,那么 σ可以进一步表成对换之积,即 (i1i2…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik)
回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置换都可 以唯一地表示成不相交的轮换之积,而任何轮换 又可以进一步表示成对换之积,所以任何n元置 换都可以表成对换之积。
令σ1=（i1i2…ik），它是从σ中分解出来的第一个轮换。 根据函数的复合定义，σ=σ1σ’,
其中σ’作用于 S-{i1,i2,…,ik} 上的元素。 继续对σ’进行类似的分解。由于S中只有n个元素,经过
有限步以后,必得到σ的轮换分解式 σ=σ1σ2…σt 在上述分解中，任何两个轮换都是不交的。即
§2 变换群、置换群与循环群
• 说明分解不唯一
• 定理13.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。 • 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。 • 定义 13.8 ：一个置换的对换分解式中 , 对换因子的个数是偶数时称该置换为 偶 置换,否则, 称它为奇置换。
§2 变换群、置换群与循环群
• 例 13.8: 证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成构成群。 • B4={e,,,},[B4;]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• • • • • •பைடு நூலகம்• •
变换:非空集合S到S的一个映射, 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, SS={f|f:SS}， [SS;]是半群。是拟群。不是群 T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 T(S)={f|fSS,且f为一一对应} [T(S);]是群
• 定义13.7:设|S|=n, Sn, 形如:
i1 i2 id 1 id id 1 in i i i i i i d 1 d 1 n 2 3
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。
·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。
变换和置换群
令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
a
11
置换的轮换乘积形式的唯一性
如 果 置 换 可 以 表 示 为 12…t 和 12…l, 令 X={1, 2, …, t}, Y={1, 2, …, l , }, 则X=Y
a
14
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
a
令： 函数g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3, g(4)=4 函数h: h(1)=3, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=4 函数k: k(1)=4, k(2)=2, k(3)=3, k(4)=1
r =0，即是恒等置换。
若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次找 出i2, i3 …。
S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。
必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与是 一对一的矛盾。)
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
a
9
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
近世代数
§2.2 子环
• 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的
证明
证明
例3
§2.2 子环
由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一 步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的.
近世代数
第二章 群、环、域
基本概念
在普通代数里，我们计算的对象是数， 计算的方法是加、减、乘、除，数学渐渐 进步，我们发现，可以对于若干不是数的 事物，用类似普通计算的方法来加以计算。 这种例子我们在高等代数里已经看到很多， 例如对于向量、矩阵、线性变换等就可 以进行运算。近世代数（或抽象代数）的 主要内容就是研究所谓代数系统，即带有 运算的集合。
定理8
设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. • 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且 I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在 t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素 理想.
例7
试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d>=0
§2.3 理想
定义3
设R为环,I1,I2为R的理想. 集合 I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想 I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的 概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交 还是理想.
抽象代数重点解析——群(三)
抽象代数重点解析——群（三）1.6变换群与置换群定义1.6.1：设A是非空集合，A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为A的全变换群，记为S_{A}，S_{A}的一个子群称为A的一个变换群；当S_{A}为含有n个元素的有限集时，S_{A}也叫作n元对称群，记作S_{n}，S_{A}中的一个元素称为一个n元置换，S_{n}的一个子群称为一个n元置换群。
要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。
这两对递进的概念的区别。
下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。
定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。
证明思路：设 G 是群， \forall a\in G ，定义映射 \forall g\in G ，f_{a}(g)=ag ，称为左平移变换。
不难验证左平移变换是 S_{G} 的一个子群，且能与 G 可以建立同构。
关于对称群 S_{n} 而言，我们把它的 n 个元素用前 n 个自然数表示，则置换 \sigma 可记作 \begin{pmatri某}1&2&...&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&...&\sigma(n) \end{pmatri某} ，可以看出\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(n) 对 n 个元素的一个排列，自然有下面结论。
定理1.6.2： \left， S_{n} \right，=n。
接下来深入研究置换，首先给出两个定义。
定义1.6.2：设集合 A 有 n 个元素，设I=\left\{ i_{1},i_{2}...i_{r} \right\}\subset A ， \sigma\inS_{A} ，有 \sigma(i_{j})=i_{j+1}(j<r) ， \sigma(i_{r})=i_{1} ，\sigma(k)=k(k\notin I) ，则称 \sigma 为一个r-轮换，或称r-循环置换，记为 \sigma=(i_{1}i_{2}...i_{r}) ， i_{1},i_{2}...i_{r} 称为\sigma 的文字， r 称为 \sigma 的长；特别地，2-轮换称为对换，1-轮换称为恒等置换。