数值分析--第一讲---误差
BIT数值分析第一章误差
PI=3.14=0.314101 则其绝对误差为：0.510-3101=0.5 10-2
1.2.3 有效数字(8) 有效数字与相对误差的关系 相对误差限 有效数字 如果 x*的相对误差限满足：
1 εr 10 n 1 2( a1 1)
则x*至少有 n 位有效数字。
1.2.3 有效数字(8)
1.2.1 误差的来源与分类 1.2.2 绝对误差、相对误差 1.2.3 有效数字
1.2.1 误差的来源与分类(1)
• 模型误差
反映实际问题有关量之间关系的计算公式，即数 学模型，通常只是近似的。由此产生的数学模型的解 与实际问题的解之间的误差称为模型误差。
• 观测误差
由观测得到的数据与实际的数据之间的误差，称 为观测误差。
1.2.3 有效数字(7)
有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限
m x 0 . 10 已知 有 n 位有效数字,则其相 1 n 对误差限为：
1 r 10n 1 21
1.2.3 有效数字(8)
证明：
1 1 n m x x 10 10 10mn 2 2 1 m n 10 1 1 n 2 r * 10 x 0.1 n 10m 21
例1-2：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x 和y经过四舍五入而得到的近似值，问: (a), (b), r (a), r (b) 各是多少？ 解： (a) 0.005 (b) 0.00005mm
0.005 r (a) 0.23% a 2.18 0.00005 r (b) 0.0024% b 2.1200
1 0.333333 3
数值分析(01) 数值计算与误差分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
Di xi D
N=[(n2-1)n!+n]flop
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
期末考试占总成绩的70%，开卷考试。
Matlab_zm@ 密码 123456
数值分析
数值分析
第二节 数值问题与数值算法
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值方法：适合在计算机上，按确定顺序依次进行计算 的计算公式，也就是通常所说的数值计算方法。 数值算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算
有递推公式
注意
计算量 N n flop
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
数值分析
sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。 科学研究的方法: 科学理论,科学实验,科学计算 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
数值分析
数值分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
科学计算的步骤:实际问题→数学模型→数值方法 →程序设计→上机计算→分析结果。 1、建立数学模型（实际问题数学化） 2、设计计算方案（数学问题数值化）
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
数值分析1——误差分析
第一章： 第一章：误差主要内容• 误差的来源与分类 误差的来源与分类 • 误差与有效数字 • 在近似计算中应注意的几个问题1. 来源与分类 ( Source & Classification )• • • •模型误差 参数误差(观测误差) 参数误差(观测误差) 方法误差(截断误差) 方法误差(截断误差) 舍入误差1.1 模型误差 (Modeling Error)用计算机解决实际问题时， 首先要建立数学 用计算机解决实际问题时 ， 首先要建立 数学 模型， 各种实际问题是十分复杂的， 模型 ， 各种实际问题是十分复杂的 ， 而数学 模型是对被描述的实际问题进行抽象 抽象、 模型是对被描述的实际问题进行 抽象 、 简化 而得到的， 往往忽略 了一些次要因素 忽略了一些 次要因素， 而得到的 ， 往往 忽略 了一些 次要因素 ， 因而 近似的 是 近似 的 ， 我们把数学模型与实际问题之间 出现的这种误差称为模型误差 模型误差。
出现的这种误差称为 模型误差 。
如自由落体 公式1 2 s = gt 2忽略了空气阻力。
忽略了空气阻力。
参数误差(观测误差， 1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error) 数学模型中的物理参数的具体数值， 数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过 实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有 实验测定或观测得到的， 得到的 误差，这种误差称为参数误差 观测误差。
参数误差或 误差，这种误差称为参数误差或观测误差。
例如前例中的重力加速度g=9.8 米 例如前例中的重力加速度 g=9.8米 / 秒 ， 这 g=9.8 个数值是由多次实验而得到的结果实际的值 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
g-9.8就是参数误差 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
1.3 方法误差 (截断误差 Truncation Error）在数学模型（ 包括参数值） 确定以后， 在数学模型 （ 包括参数值 ） 确定以后 ， 就要考虑 选用某种数值方法具体进行计算， 选用某种数值方法具体进行计算 ， 许多数值方法 都是近似方法， 都是近似方法 ， 故求出的结果与准确值之间是有 误 差 的 ， 该 误 差称 为 截断 误 差 或 方 法 误 差 。
数值分析简明教程
ℓi1
=
ai1 u11
(i = 2,3,∙∙∙, n)
ukj = akj − ∑km−=11 ℓkmumj
ℓik
=
1 ukk
�aik
−
∑km−=11
ℓimumk�
(j = k, k + 1,∙∙∙, n) (i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对．称．正．定．）：
则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x∗；
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周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且
lim
k→+∞
������������
=
������∗
(3) 后验误差估计：
|xk
−
x∗|
≤
L 1−L
|xk
−
xk−1|
先验误差估计：
|xk
−
谱半径：
n 阶 矩 阵 B 在 复 数 范 围 内 的 各 特 征 值 为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ， 则 称 ρ(B) = max1≤i≤n|λi| 为 B 之谱半径。
ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）
矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1‖‖A‖
② 系数矩阵 A = (aij)n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x(k+1) = (1 − ω)x(k) + ωD−1(b − Lx(k+1) − Ux(k))� ： ⇓
x(k+1) = Bωx(k) + ω(D + ωL)−1b Bω = (D + ωL)−1[(1 − ω)D − ωU]
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
数值分析重点
数值分析重点第一章 误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差/有效数字1、 有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论： （1）、设数 x 的近似值可以表示为 其中 m 是整数,αi ( i=1,2, …, n ) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为（不超过其末尾数的半个单位） 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。
（2）、相对误差与有效数字的关系（误差：精确值与近似值的差值）得到相对误差限2.误差的分类：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）3.误差算法设计应注意的问题 ： （1）、避免两个相近的数相减考虑能否改变一下算法 （2）、防止大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。
（3）、绝对值太小的数不宜作除数 考虑能否改变一下算法 （4）、注意简化计算程序，减少计算次数 （5）、选用数值稳定性好的算法 4、误差的传播：Taylor 展开式：f( x 1 , x 2 ,…, x n )在(x 1*, x 2*,…, x n * )的展开：e(y) = f( x 1 , x 2 ,…, x n )-f(x 1*, x 2*,…, x n * )例如：ε（x 1+x 2）=ε(x 1)+ε(x 2)mn x 10.021*⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*m n x 10.0*21⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*132110.-⨯=m n ααααΛ1110-⨯>m α)1(111**1021101021)(----⨯=⨯⨯<-=n m n m r x x x x e αα112212()()()n n nf f f x x x x x x x x x ***∂∂∂≈-+-++-∂∂∂L )()()(2211n nx e x fx e x f x e x f ∂∂++∂∂+∂∂=Λ),,2,1(),,,(21n k x x x f x f n x k k ΛΛ='=∂∂***)()(1k nk kx e x fy e ∑=∂∂≈ε（x 1*x 2）=|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1) ε（x 1/x 2）={|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1)}/|x 2|2第二章 代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式（多项式）。
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数值计算（分析）是做什么的？
数值分析
1、天体力学中的Kepler方程
x sin x t 0,0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
非线性方程的数值解法!
数值分析
2、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
全球定位系统： 在地球的任何一 个位置，至少可 以同时收到4颗 以上卫星发射的
b f ( x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
近似解
计算机
数学 模型
数值 计算 方法
数值分析
•
➢研究(构造）使用计算机求解各种科学 与工程计算问题的数值方法
➢对求得的数值解的精度进行评估（误 差，稳定性）
➢如何在计算机上实现求解
数值分析
本课程数值分析讲课范围
– 误差（第1章) – 线形方程组的解法（第2章) – 矩阵特征值和特征向量的计算（第3章) – 函数求根，非线性方程和方程组求解（第4章) – 函数插值，逼近，正交多项式（第5章) – 数值积分（第6章) – 数值微分和常微分方程数值解差分法（第7章) – 偏微分方程数值解简介（第8章－选讲内容)
5. 综合类（数值分析与科学计算、习题、实验等）参考书
① 蔡大用，数值分析与实验学习指导，北京：清华大学出版社，2001 ② Numerical Recipes(数值方法库） in C/Matlab/Fortran/C++,
6. 其他
① /wiki/Numerical_analysis ② Software：IMSL，NAG，MATLAB
记为 F(x) 0 其中 F : D Rn Rn, x (x1, x2 ,L , xn )T
非线性方程组的数值方法!
数值分析
3、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，
• 对每一类问题，不但要掌握求解方法的基本原理， 还要掌握一套自己的程序代码
• 课前一定要做好预习和准备（按专题讲解） • 课后要认真完成作业和上机练习 • 有问题要及时问，（答疑时间和地点?)
数值分析
本门课程的特点
• 既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性的技术特征
• 各部分内容相对独立
数值分析
学习要求
• 掌握各种方法的基本原理与构造方法 • 重视各种方法的误差分析 • 掌握经典方法的程序代码
数值分析
其它要注意的几点
• 结合自己的研究方向，有重点地学习，最好能带 着研究课题中的问题来学习
信号
数值分析
8
S5 S6
(x, y, 表z,示t)地球上一
6
个接收点R的当前位
Height
S3 4
2
S4
S1
置，卫星Si的位置为
(xi , yi , z，i ,则ti )得到下
列非线性方程组
0
R
10
S2
8
5
4
6
(x x1)2 ( y y1)2 (z z1)2 (t1-t) c 0
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通 方法来计算.
数值积分!
数值分析
数值分析是做什么用的？
求解复杂问题或运算 如
x,
ax,
ln x,
Ax
b,
(x x5 )2 ( y y5 )2 (z z5 )2 (t5 -t) c 0
(x x6 )2 ( y y6 )2 (z z6 )2 (t6 -t) c 0
数值分析
f1(x1, x2 ,L xn ) 0 Mf2 (x1, x2 ,L xn ) 0 fn (x1, x2 ,L xn ) 0
2 N-S positions 0 0
(x x2 )2 ( y y2 )2 (z z2 )2 (t2 -t) c 0
图 7.8
(x x3 )2 ( y y3 )2 (z z3 )2 (t3-t) c 0
(x x4 )2 ( y y4 )2 (z z4 )2 (t4 -t) c 0
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
朱立永
数值分析
“诸位在校，有两个问题应该自己问问， 第一，到浙大来做什么？ 第二，将来毕业后做什么样的人？”
------- 竺可桢
老校长的两句话刻在浙大紫金港校区的一块大石上
数值分析
这一讲的主要内容
• 数值分析是做什么的？ • 数值分析这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及学习方法 • 数值分析中的基本概念: 误差
3. 数值代数参考书
① 曹志浩，数值线性代数，上海：复旦大学出版社，1996. ② 徐树方，矩阵计算的理论与方法，北京大学出版社，1995.
4. 微分方程数值解参考书
① 李立康、於崇华、朱政华，微分方程数值解法，复旦大学出版社，1999 ② 陆金甫、关 治，微分方程数值解法（第二版），北京：清华大学出版社，2004
数Hale Waihona Puke 分析参考资料1. 主要教材
① 颜庆津，数值分析。北航出版社，2006。
2. 数值逼近参考书
① 李庆扬，王能超，易大义：数值分析。清华大学出版社，2001。 ② 李岳生，黄友谦：数值逼进。北京人民教育出版社，1979。 ③ 王德人、杨忠华，数值逼近引论，高等教育出版社，1990 ④ 王仁宏，数值逼近，北京：高等教育出版社，1999 ⑤ 徐萃薇：计算方法引论。北京高等教育出版社，1985。
600米，1000米…）处的水温
插值法!
数值分析
4、铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器 将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为 一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L.
数值分析
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.