2013年华中农业大学考研真题 608数学
2013-数一真题大全及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →−=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==−（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==−（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)−处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z −+=− （B ）2x y z ++= （C ）23x y z −+=− （D ）0x y z −−=（3）设1()2f x x =−，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S −=（ ）（A ）34 （B ）14（C ）14−（D ）34−（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++−=⎰，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =−≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α−（C ）2α （D ）12α−二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e−−=确定，则1lim (()1)n n f n→∞−= ．(10)已知321xxy e xe =−，22xxy e xe =−，23xy xe =−是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013年考研数学一真题及答案解析(全国硕士研究生入学统一考试数学一试题)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9(4S -=（ ） （A ）34 （B ）14（C ）14-（D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33((2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰Ñ，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α-（C ）2α （D ）12α-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ．(10)已知321xx y exe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价更多免费资料请关注微信公众号：xzwendu QQ 群：329760225（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()1xt f x e dt -=-⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线2arctan ln 1x ty t=⎧⎪⎨=+⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
2013年华中农业大学考研真题818理论力学
2013年华中农业大学考研真题 611数学
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。
3 .于一个学生而言, 来 对 参加家长会的家长人数是 一个随机变量; 家长 家长来参加会议的概率分别为 设 一个学生无家长 、1 名 、2 名 、0 , 0 . 1 5 ; 若 碉o 名 生, 设 8 、 学校共有 0“ 各学生参加会议的家长 学 服从同一分布 , 请 数相互独立, 且 求解参加会议的家长数 x 超 o D - o 过 84 的概率。( 已 : ￠ ,= 0 ・ ) 知 o 1① ” 4 .房地产公 司通过电视和报纸两种形式作售楼广告, 已 某 知销售收 电视广告费用 万( 万 ) , 报广告费用 y ( 万 ) 入R ( 万 ) 与 元 元 纸 元
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2013年考研数学一真题及答案全集解析
2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论............................................................. 错误!未定义书签。
1.1项目提要........................................................... 错误!未定义书签。
1.2结论与建议....................................................... 错误!未定义书签。
1.3编制依据 .......................................................... 错误!未定义书签。
第二章项目建设背景与必要性............................. 错误!未定义书签。
2.1项目背景........................................................... 错误!未定义书签。
2.2项目建设必要性 .............................................. 错误!未定义书签。
第三章市场与需求预测......................................... 错误!未定义书签。
3.1优质粮食供求形势分析 .................................. 错误!未定义书签。
3.2本区域市场需求预测 ...................................... 错误!未定义书签。
3.3服务功能 .......................................................... 错误!未定义书签。
3.4市场竞争力和市场风险预测与对策.............. 错误!未定义书签。
2013年考研数二真题及详细解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年考研数学二试题及详解
2013年研究生入学考试数学二试题及详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设)(sin 1cos x x x α=−，其中2π)(<x α，则当0→x 时，)(x α( ). (A) 比x 高阶的无穷小 (B) 比x 低阶的无穷小 (C) 与x 同阶但不等价的无穷小 (D) 与x 等价的无穷小解: =→x x x )(sin lim 0α=−→201cos lim x x x 212lim 220−=−→x x x ，则)(sin x α是与x 同阶但不等价的 无穷小.又2π)(<x α，则)(~)(sin x x αα，)(x α是与x 同阶但不等价的无穷小. 选(C). (2) 设函数)(x f y =由方程1ln )cos(=+−x y xy 确定，则=−∞→]1)2([lim nf n n ( ).(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 解: 1ln )cos(=+−x y xy ，当0=x 时，0ln =y ，则1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，得 01)sin()(=+′−′+−y y xy y x y ，)sin(1)sin(2xy xy xy y y y +−=′，1)0()0(=′=′f y . 则=−∞→]12([lim nf n n 2)0(22)0()2(lim 2=′=−∞→f nf n f n . 选(A).讨论：若题目中的方程为1ln )cos(=−+x y xy ，仍得1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，可得)sin(1)sin(2xy xy xy y y y −+=′，仍得1)0()0(=′=′f y . 则2]1)2([lim =−∞→nf n n . 仍选(A).(3) 设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=π2π,2π0,sin )(x x x x f ，∫=x t t f x F 0 )d ()(，则( ). (A) π=x 是函数)(x F 的跳跃间断点 (B) π=x 是函数)(x F 的可去间断点 (C) )(x F 在π=x 处连续但不可导 (D) )(x F 在π=x 处可导解: ∫=x t t f x F 0)d ()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+−=+<≤−=−==∫∫∫π2π,2π22d 2d sin π0,cos 1]cos [d sin ππ000x x x t t x x t t t x x x ，2πcos 1)π(=−=−F ，2)π(=+F ，2)π(=F ，则)(x F 在π=x 处连续；π2cos 1lim)π(π−−−=′−→−x x F x 01sin lim π==−→x x ，2π22π22lim )π(π=−−+−=′+→+x x F x ，则)(x F 在π=x 处连续但不可导. 选(C).(4) 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<−=+−e ,ln 1e 1,)1(1)(11x xx x x x f αα，若反常积分∫∞+ 1 )d (x x f 收敛，则( ). (A) 2−<α (B) 2>α (C) 02<<−α (D) 20<<α解:∫∞+ 1)d (x x f ∫−−=e11d 1)(1x x α∫∞+++ e 1d ln 1x x x α e12])1(21[αα−−−=x ∞+−eln 11xαα. e12])1(21[αα−−−x 收敛，则2<α； ∞+eln 11xαα收敛，则0>α，得20<<α. 选(D).(5) 设)(xy f x y z =，其中函数f 可微， 则=∂∂+∂∂yz x z y x ( ). (A) )(2xy f y ′ (B) )(2xy f y ′− (C) )(2xy f x (D) )(2xy f x− 解: 由)(xy f xyz =，得=∂∂+∂∂y z x z y x )()(1)]()([22xy f y xy f xxy f x y xy f x y y x ′++′+−)(2xy f y ′=. 选(A). (6) 设k D 是圆域}1),{(22≤+=y x y x D 在第k 象限的部分，记y x x y I kD k d )d (∫∫−=)4,3,2,1(=k ，则( ).(A) 01>I (B) 02>I (C) 03>I (D) 04>I 解: 在区域2D 内，恒有x y >，则02>I . 选(B). 事实上，y x x y I D d )d (11∫∫−=∫∫−=2π0 10 d )cos (sin d r r r θθθ0]sin cos [312π=−−=θθ，类似可求出 32]sin cos [31π2π2=−−=θθI ，0]sin cos [31π23π3=−−=θθI ，32]sin cos 312ππ234−=−−=θθI . (7) 设C B A ,,均为n 阶矩阵，若C AB =，且B 可逆，则( ). (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D) 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 解：将C A ,按列分块，记为[]n αααA L 21=，[]n γγγC L 21=.则[]n αααL 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b L M O M M L L 212222111211[]nγγγL 21=，所以n n b b b αααγ12211111+++=L ，……，n nn n n n b b b αααγ+++=L 2211， 即矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.因B 可逆，可得A CB =−1，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性 表示. 即矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. 选(B).(8) 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1111a a b a a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000002b 相似的充分必要条件为( ). (A) 2,0==b a (B) b a ,0=为任意实数 (C) 0,2==b a (D) b a ,2=为任意实数解：记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111a a b a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b B ，则对角阵B 的特征值为b ,2,0=λ. 因B A ~，则矩阵A 的特征值为b ,2,0=λ.1111−−−−−−−−−=−λλλλa a baa A E 101−−−−−−−=λλλλa ab a 220011−−−−−−=λλλa a b a ]2))(2[(2a b −−−=λλλ，由A 的特征值为b ,2,0=λ，得b a ,0=为任意实数.当b a ,0=为任意实数时，实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10100101b A ，存在满秩矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=101010101P ，使得AP P 1−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=10102010121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10100101b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−101010101B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b ，则B A ~. 故B A ~相似的充分必要条件为b a ,0=为任意实数. 选(B).二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(9) =+−→xx xx 10)1ln(2(lim ______.解法1：属于∞1型极限，由=)()(lim x g x f ]1)()[(lim −x f x g ，得=+−→xx x x 1))1ln(2(lim =+−→)1ln(1(1lim 0xx x x =+−→20)1ln(lim x x x x xx x 2111lim0+−→21)1(21lim 0=+=→x x ，则e ))1ln(2(lim 10=+−→x x xx . 解法2：=+−→xx x x 10))1ln(2(lim 2)1ln()1ln(0}])1ln(1{[lim xx x x x x x xx x +−+−→+−+2)1ln(limex x x x +−→=20)1ln(lime xx x x +−→=xx x 2111lime +−→=e e)1(21lim0==+→x x .(10) 设函数∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数==0d d y yx ______.解：∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则0)1(=−f ，x x f e 1)(−=′，1e 1)1(−−=−′f .)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数1e ee11)1(1d d 10−=−=−′=−=f yx y .(11) 设封闭曲线L 的极坐标方程为θ3cos =r )6π6π(≤≤−θ， 则L 所围平面图形的面积是______.解：θ3cos =r ，则∫−=6π6π 2d )(cos321θθS ∫+=6π)d cos6(121θθ 12π)6sin 61(216π0=+=θθ.(12) 曲线⎩⎨⎧+==21ln arctan t y tx 上对应于1=t 的点处的法线方程为______. 解：⎩⎨⎧+==21ln arctan t y t x ，21t t y t +=′，211t x t +=′，t t x y x y ′′=d d t =，1d d 1==t x y，法线斜率1−=k .对应于1=t 的点为22ln ,4π(，法线方程为4π(22ln −−=−x y ，即22ln 4π+=+y x .(13) 已知x xx y 231e e−=，x x x y 22e e −=，x x y 23e −=是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00==x y，10=′=x y 的解为=y ______.解：xy y 331e =−，xy y e 32=−都是对应的齐次线性微分方程的解，且线性无关， 则该非齐次线性微分方程的通解为+=xA y 3ex x x B 2e e −，从而得+=′x A y 3e 3x x x x B 22e e 2e −−，将00==x y ，10=′=x y 代入，得1=A ，1−=B ，则x x xx y 23e e e−−=.(14) 设)(ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式. 若0=+ij ij A a )3,2,1,(=j i ，则=A ______.解：由0=+ij ij A a ，得ij ij a A −=)3,2,1,(=j i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111*A A A A A A A A A A T332313322212312111A −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=a a a a a a a a a ，则A A −=*. 由E A AA =*，得3*A A A =，2*A A =，于是2A A =−，得0=A 或1−=A .又)(232221332211i i i i i i i i i a a a A a A a A a ++−=++=A )3,2,1(=i ，因A 是非零矩阵，则0≠A . 故只有1−=A 符合题目要求.三、解答题：15～23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分) 当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1⋅⋅−与nax 为等价的无穷小，求n 与a 的值.解法1：=⋅⋅x x x 3cos 2cos cos =+x x x 3cos )cos 3(cos 21)3cos cos 3(cos 212x x x ⋅+ )2cos 4cos 6cos 1(41x x x +++=，则 n x ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→nx ax xx x 42cos 4cos 6cos 3lim0−−−=→ 1042sin 24sin 46sin 6lim−→++=n x anx x x x 1)1(2cos 4cos 46cos 9lim 20=−++=−→n x x n an xx x ， 则02=−n ，14)1(=−n an ，得2=n ，7=a .解法2：nx ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→102cos cos 3sin 33cos cos 2sin 23cos 2cos sin lim−→++=n x anxxx x x x x x x x 13202cos cos )sin 4sin 3(33cos cos sin 43cos 2cos sin lim −→−++=n x anx x x x x x x x x x x 12cos cos )sin 43(33cos cos 43cos 2cos lim 2220=−++=−→n x anx x x x x x x x ， 则02=−n ，14=an ，得2=n ，7=a .(16) (本题满分10分) 设D 是由曲线31x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所围成的平面 图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若x y V V 10=，求a 的值.解：曲线31x y =，即3y x =过原点，交直线a x =于点),(31a a . 则∫=ax x x V 032d πa x355π3=355π3a =； ∫−⋅=31 06312d ππa y y y a a V 37377ππa a −=3776πa =，或∫⋅=a y x x x V 0 31d π23776πa =.由x y V V 10=，得3537π676πa a =，则732=a ，又0>a ，得77=a . (17) (本题满分10分) 设平面区域D 由直线y x 3=，x y 3=及8=+y x 围成， 计算y x x Dd d 2∫∫.解：联立解x y 3=及8=+y x ，得交点)6,2(；联立解y x 3=及8=+y x ，得交点)2,6(. 区域D 是由顶点为)0,0(，)6,2(，)2,6(的三角形，画出积分域图. 于是y x x I Dd d 2∫∫=∫∫=23 32d d x x y x x ∫∫−+628 32d d x xy x x ∫=2 0 3d 38x x ∫−+6 2 234(8x xx6243204]3138[32x x x −+=316364432576332+−−+=32138316144=−=. (18) (本题满分10分) 设奇函数)(x f 在]1,1[−上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： (I) 存在)1,0(∈ξ，使得1)(=′ξf ； (II) 存在)1,1(−∈η，使得1)()(=′+′′ηηf f .证：(I))(x f 为奇函数，在]1,1[−二阶可导，则)(x f 在]1,1[−上连续可导，且0)0(=f .又1)1(=f ，根据拉格朗日中值定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()(=−−=′f f f ξ.或令x x f x F −=)()(，则)(x F 在]1,1[−上连续可导，1)()(−′=′x f x F .0)0(=F ，0)1(=F ，根据罗尔定理，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξF ，即1)(=′ξf .(II))(x f 为奇函数，在]1,1[−上二阶可导，则)(x f ′为偶函数，在]1,1[−上连续可导.令]1)([e )(−′=x f x G x，则)(x G 在]1,1[−上连续可导，]1)()([e )(−′+′′=′x f x f x G x.0)(=ξG ，]1)([e )(−−′=−−ξξξf G 0]1)([e =−′=−ξξf ，根据罗尔定理，存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη，使得0)(=′ηG ，即1)()(=′+′′ηηf f .(19) (本题满分10分) 求曲线133=+−y xy x )0,0(≥≥y x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.解：构造拉格朗日函数)1(3322−+−++=y xy x y x L λ，由0=′x L ，0=′y L ，0=′λL ，得⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+=−+010*********y xy x x y y y x x λλλλ，前两式相减，得0)332)((=+++−y x y x λλλ， 当x y =时，代入0133=−+−y xy x ，得01223=−−x x ，解得1=x ，则1=y . 当0332=+++y x λλλ时，因0,0≥≥y x ，则0331>++y x ，故yx 3312++−=λ，代入前两式均得03=++y xy x ，因0,0≥≥y x ，曲线上点的坐标y x ,又不能同时为零， 则03=++y xy x 无解.于是，曲线上的点)1,1(，到坐标原点的距离最长，2max =d ，曲线的端点)1,0(或)0,1(，到坐标原点的距离最短，1min =d . (20) (本题满分11分) 设函数xx x f 1ln )(+= (I) 求)(x f 的最小值； (II) 设数列}{n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明n n x lim ∞→存在，并求此极限.解：(I) xx x f 1ln )(+=，定义域0>x ，211)(x x x f −=′21x x −=，有惟一驻点1=x .当10<<x 时，0)(<′x f ，函数单调减少；当1>x 时，0)(>′x f ，函数单调增加. 则函数的极小值即最小值为1)1(=f . (II) 由(I)得11ln ≥+n n x x ，又已知11ln 1<++n n x x ，则111+>n n x x ，定义域0>n x ，得1+<n n x x ，即数列}{n x 单调增加. 又11ln 1<++n n x x ，则1ln <n x ，e 0<<n x ，即数列}{n x 有上界，则}{n x 极限存在. 设A x n n =∞→lim ，对11ln 1<++n n x x 两边取极限，得11ln ≤+A A ，又11ln ≥+A A ，则11ln =+AA ，得1lim ==∞→A x n n .(21) (本题满分11分) 设曲线L 的方程为x x y ln 21412−=e)1(≤≤x (I) 求L 的弧长；(II) 设D 是由曲线L ，直线1=x ，e =x 及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 解：(I) x x y ln 21412−=，)1(21xx y −=′，则曲线的弧长为 x y L d 1e12∫′+=x xx d )1(411e 12∫−+=x x x d 1(21e 1 ∫+=41e ]ln 21[212e12+=+=x x . (II) 平面图形D 的形心的横坐标为∫∫∫∫=DDyx yx x x d d d d ∫∫∫∫−−=e 1ln 21410e 1ln 2141022d d d d x x x x yx y x x ∫∫−−=e 12e13)d ln 2()d ln 2(x x x x x x x e 13e 1224]2ln 23[]2ln 4[x x x x x x x x +−+−= 373e 432e 4e 324−−−=)7e (4)3e 2e (3324−−−=. (22) (本题满分11分) 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110B . 当b a ,为何值时，存在矩阵C使得B CA AC =−，并求出所有矩阵C . 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x C ，B CA AC =−即⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110， 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−−=−+=−b ax x x x x ax ax x x ax 3243114223110，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−b x x x x a a a a 1100101101010104321. 其增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=b a a a a010*******10010D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→b a a a a 010101001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−→b a a a 00001010001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−→b a a 000010000001011101， 方程组有解的条件是)(r )(r D D =，则1−=a ，0=b .此时方程组化为⎩⎨⎧−=++=324311x x x x x ，记2413,c x c x ==，则12211,1c x c c x −=++=，即矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=211211c c c c c C ，其中21,c c 为任意常数.(23) (本题满分11分) 设二次型=), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321b b b β.(I) 证明二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+；(II) 若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y +. 解：(I) =), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++++++++=232323222222212121)2()2()2(x b a x b a x b a323232313131212121)2(2)2(2)2(2x x b b a a x x b b a a x x b b a a ++++++，二次型f 对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a A .由于TT 2ββαα+[]3213212a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=[]321321b b b b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a ，则二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+.(II) 因βα,正交且为单位向量，则1,1TT==ββαα，0,0TT==αββα.由TT2ββααA +=，得ααββαααA α22TT=+=，βββββααA β=+=TT2， 则21=λ，12=λ是矩阵A 的特征值.又)2(r )(r TTββααA +=2)(r )(r TT=+≤ββαα，则A 的非零特征值只有2个，即A 的特征值分别为21=λ，12=λ，03=λ， 则f 在正交变换下的标准形为22212y y +.。
2013年考研数学一真题与解析完整版
2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析来源：文都教育1.已知极限0arctan limkx x xc x ®-=，其中k ，c 为常数，且0c ¹，则（）A. 12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则222112100011arctan 1111lim limlim lim (1)kk k k x x x x xx x x x cx kx kx x k x ---®®®®--+-+====+因此112,k c k-==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）A. 2x y z -+=-B. 0x y z ++=C. 23x y z -+=-D. 0x y z --=答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1(1,,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n p ==ò，令1()s i n nnS x b n x p ¥==S ，则（）A .34B. 14C. 14-D. 34-答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ì-Îïï=íï-+Î-ïî，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x Î-且()f x 在x处连续时，()()s x f x =。
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有 如 下 关 系 2,假 : R = 1 5 + 1 钿+ 3 2 y - 8 v - 1 ” 设 广 告 费 用 的 限 额 为 1.5
万元, 求 最佳的广告策略。 1 分 题 ) 六、证明题 ( 共 0 , 每 5 分
1.已 知 常 数 曰 、 3、 c、 歹 满 足 0<夕 <D(c<歹 ,若 函 数 丑 万) 在 ⑩ ,㈥ 内 二
华 中农 业 大 学 二 ○一 三 年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 试 题 纸 第 1 页共 4 页 学 科 目代码及名称 :sO8数 则无效 。 得写在试题纸上,否 注意 :所 有答案必须写在答题本上 ,不 一、单选题 (共 分 ,每题 2分) ⒛
1.当 o时 s弦 x→ ,函数 只θ=∞ -cos丌 h是 的 /。 同阶无穷小 B。 高阶无 穷小 c。 等价 无 穷小
( 不 D.都 对
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2.饣 攵 )=节 艿 岜 函雀 /(艿 乏 勺 刂 =1卢 )苫 /(丌 1≡ ;, 贝 畲 /。 连续点 可导点 B。
[1-cosx
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D。 跳跃间断点
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x>u,
x <0
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4 , 四、计算题 ( 共 0 分 每题 8 分) 1.计 算极限值 烁T蓠 艹 牟 失 盂 ・ 搠。 丫于冫 圪
2 .算不定积分 计
3 .函数 z = s + ` 2全体 二阶偏微商。 求 双 )的 ×
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3 . 对 个学生而言, 来 参加家长会的家长人数是 一个随机变量; 于一 家长 家长来参加会议的概率分别为 设 一个学生无家长 、1 名 、2 名 、0 , 0 . 1 5 ; 若 硐o 名 生, 设 8 、 学校共有 0“ 学 各学生参加会议的家长 过 服从同一分布 , 请 求解参加会议的家长数 x 超 绣o 数相互独立, 且 0 知 c 1 .盯 的概率。( 已 : ￠ .〓 匀% ) 4 .房地产公 司通过 电视和报纸两种形式作售楼广告 , 己 某 知销售收 电视广告费用 艿( 万 ) , 报广告费用 ` ( 万 ) 纸 元 元 入R ( 万 ) 与 元