常数函数与幂函数的导数及导数公式表
8个基本初等函数的导数公式
8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。
二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。
三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。
四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。
五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。
(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。
(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。
(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。
(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。
这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。
六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。
2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表全面版
求导时,先将其转化为指数式的形式.
题型一
题型二
导数公式的应用
【例 2】
求曲线 y=sin x 在点 P
π 2
,1
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
解∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|������=π2=cosπ2=0. ∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数: (1)y=���1���5;(2)y=5 x3;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
式,以免在求导时发生不必要的错误.
解(1)y'=
1 x5
'=(x-5)'=-5x-6=-x56;
(2)y'=(5 ������3)'=(������35)'=35 ������-25 = 553������2;
(3)y'=3xln 3;
(4)y'=x������1������2.
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数)
课件5：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝34
1
x4
3 ＝4
4
； x
(4)y′＝(lg x)′＝xln110.
一点通：用导数公式求导，可以简化运算过 程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征， 将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式．
2．注意区分幂函数的求导公式 (xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
考点1：运用导数公式求函数导数
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝x13；(3)y＝4 x3；(4)y＝lg x.
【解析】先将解析式化为基本初等函源自的形式， 再利用公式求导．3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2. 问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？ 答：y′＝nxn－1.
问题
2：当
n＝12时，(
x
1 2
)′＝12
1
x2
(x>0)成立吗？
x
答：由Δy＝ x＋Δx－ x＝ x x x x
题组集训
1．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
()
A．0
B．－13
C．3
1 D.3
题组集训
【解析】∵f′(x)＝(
1
x3
)′＝13
2
x3
＝13·x123
＝1，
3 3
x2
∴f′(1)＝13.
【答案】D
2．求下列函数的导数． (1)y＝x6； (2)y＝cos x； (3)y＝x2 x； (4)y＝2sinx2cosx2.
导数常用公式
导数常用公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数常常用于求解最优化问题、优化控制问题等。
下面介绍一些导数常用公式。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(x)=c，它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数对于指数函数f(x)=a^x，它的导数为f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数对于对数函数f(x)=lnx，它的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数对于正弦函数f(x)=sinx，它的导数为f'(x)=cosx；对于余弦函数f(x)=cosx，它的导数为f'(x)=-sinx；对于正切函数f(x)=tanx，它的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 复合函数的导数对于复合函数f(g(x))，它的导数为f'(g(x))g'(x)。
7. 和、差、积、商的导数对于函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商的导数分别为：f(x)+g(x)的导数为f'(x)+g'(x)；f(x)-g(x)的导数为f'(x)-g'(x)；f(x)g(x)的导数为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；f(x)/g(x)的导数为[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)。
以上是导数常用公式的介绍，它们在微积分中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们可以利用这些公式来求解函数的导数，从而得到函数在某一点处的变化率。
同时，这些公式也为我们提供了一些求解最优化问题、优化控制问题等的工具。
所有导数公式大全
以下是一些常见的导数公式：1. 常数函数的导数：(c)' = 0，其中c为常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为实数。
3. 指数函数的导数：(e^x)' = e^x。
4. 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x。
5. 三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)- (cot(x))' = -csc^2(x)- (sec(x))' = sec(x)tan(x)- (csc(x))' = -csc(x)cot(x)6. 反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)- (arccot(x))' = -1/(1+x^2)- (arcsec(x))' = 1/(|x|√(x^2-1))- (arccsc(x))' = -1/(|x|√(x^2-1))7. 求和规则：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)，其中f(x)和g(x)是可导函数。
8. 乘积规则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，其中f(x)和g(x)是可导函数。
9. 商规则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中f(x)和g(x)是可导函数且g(x)≠0。
10. 链式法则：如果y = f(g(x))，则dy/dx = f'(g(x))g'(x)，其中f(u)和g(x)是可导函数。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
课件4：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x21 ＝32
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
方法总结：
(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但 运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求 导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
方法总结 (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步骤： ①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)， 即切线斜率 k＝f′(x0)． ②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰 当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行 化简整理．这样能够简化运算过程．
跟踪训练 1 求下列函数的导数． (1)y＝ax(a>0 且 a≠1)； (3)y＝ex；
(2)y＝log3x； (4)y＝lnx.
解：(1)y′＝axlna. (2)y′＝xl1n3. (3)y′＝ex. (4)y′＝1x.
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2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
跟踪训练 3 求曲线 y＝cosx 在点 A(6π， 23)处的切线方程． 解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sin6π＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－6π)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
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例5、若直线y=-x+b为函数
1 y x
图象的切线，求b及切点的坐标
1 变式:直线 y x 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
1 (2) f ( x) x (4)f(x)=ex (3) f(x)=sinx
1 (1) f ( x) x
例6.求曲线y x x 3的斜率为6的切线方程.
4 2
分析：函数在某处的导数的几何意义 是相应曲线在该处切线的斜率由于切线 . 的斜率已知，可以利用导数求出切点的 横坐标.
解：设切点为P( x0 , y0 ) 则y' (x 4 x 2 3) ' 4 x 3 2 x
y'
x x0
4 x 2 x0 6
3 0
x0 1
4 4 2 2 4 2 4
例3.求下列函数的导数. (1) y x sin x cosx
3
x x (2) y 2sin cos 2x 2 1 2 2
1 例4、求在曲线y=cosx上一点P( ，)处 3 2
的切线方程
变式： 已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
n
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
n n 1 x nx n N
x 1 ( 为实数）； (x )
1 （loga x ) ; x ln a x x (a ) a ln a; (sin x ) cos x;
2x 即 x
3x 2 练习4: x
3
公式2:
nxn1 n N x
n
1 1 练习5: ( ) 2 x x
练习6:
( x )
1 2 x
常数函数和幂函数的导数公式:
公式1: C 0 (C为常数)
nxn1 n N 公式2: x
4 y0 x0 2 x0 3 6, 故P的坐标(1,6).
所求的切线方程为 y 6 x
x 0
x
练习3:
( x ) 2 x
2
2 2
lim f x x f x 设y f x x , x x 0 x
x x lim
x 0 2
2
x
2
x
liห้องสมุดไป่ตู้ 2 x x 2 x
x 0
导数公式表
一、知识新授：
1、常数函数与幂函数的导数
公式1: C 0 (C为常数)
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
练习2: x 1
设y f x x x lim 即x 1 f x x f x x
x 0
x x x 1 lim
1 （ln x ) ; x x ex; (e ) (cos x ) sin x;
练习1、求下列函数导数。
（1） y x 、
5
（2） y 4 、
（3） y 、
x
x x x
g l （4） y o 、
3
x
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D ) 3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , )