2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表全面版
高中人教B版数学选修1-1练习：3.2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表 Word版含解析
3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课时过关·能力提升1.下列结论正确的是()A.若y=sin x,则y'=cos xB.若y=cos x,则y'=sin xC.若y y'D.若y y'答案:A2.下列命题正确的是()A.(log a x)'.(log a x)'C.(3x)'=3xD.(3x)'=3x ln 3答案:D3.已知f(x)=x a,若f'(-1)=-4,则a的值等于()A.4B.-4C.5D.-5解析:f'(x)=ax a-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.答案:A4.已知f(x)=x4,则f'(2)=()A.16B.24C.32D.8答案:C★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f (x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).答案:D6.常数的导数为0的几何意义是.答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为07.曲线y=cos x在点x.解析:co y=cos x上,y'=-sin x,当x,y'=-1.所以切线方程为y=-1·x+y.答案:x+y★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(a k x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:∵函数y=x2,y'=2x,∴函数y=x2(x>0)在点(a k y a k(x-a k),令y=0得a k+又∵a1=16,∴a=4,a=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:219.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.解:设切点A(x0.因为y'=2x,所所故当k,直线y=x与函数y=x,切点坐标★10.已知y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值;(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)y=cos x上,∴a=co(2)∵y'=-sin x,∴k l=y又∵所求直线与直线l垂直, ∴所求直线的斜率∴所求直线方程为y即y。
常见导数基本公式
常见导数基本公式导数作为微积分的基本概念之一，在数学和物理等领域有着重要的应用。
学习导数的基本公式，不仅可以帮助我们求解各种函数的导数，还可以为我们理解函数图像的特征提供指导。
本文将介绍一些常见的导数基本公式，并通过具体的例子来阐述其应用和意义。
首先，我们先来讨论一阶导数的基本公式。
对于任意函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
当函数f(x)在一点x0处可导时，其导数可以通过以下几种常见的公式来计算。
1. 常数函数导数公式：对于常数c，其导数为0，即d(c)/dx = 0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，即不随x的变化而变化。
2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数可以表示为d(x^n)/dx = nx^(n-1)。
这个公式告诉我们，幂函数的导数是通过将指数降低1，并乘以原来的指数。
例如，当n为2时，f(x) = x^2的导数为d(x^2)/dx = 2x。
3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为d(e^x)/dx = e^x。
指数函数的导数与函数自身相等，这是指数函数在任意点的斜率都等于函数值。
例如，f(x) = e^x的导数为d(e^x)/dx = e^x。
4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
对数函数的导数可以通过求幂函数导数公式和指数函数导数公式的逆运算得到。
例如，f(x) = ln(x)的导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
以上是一阶导数的一些基本公式，可以帮助我们求解一些简单函数的导数。
但是在实际问题中，我们经常遇到复合函数或者多元函数，需要使用更加复杂的导数公式。
下面，我们来介绍一些常见的高阶导数公式和一些导函数的性质。
1. 高阶导数公式：高阶导数是指函数的导数再次求导得到的导数。
对于一阶导数f'(x)，我们可以通过不断求导得到二阶导数f''(x)，三阶导数f'''(x)等。
推荐-高中数学人教B版选修1-1课件3.2.1+3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
重难聚焦
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时 速度为1的匀速运动.
重难聚焦
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
3.2 导数的运算
-1-
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表-2-来自目标导航知识梳理
1.常数函数的导数 设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0. 名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0. 若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态.
再见
2019/11/23
知识梳理
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
些简单函数的导数了.
【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为
.
答案:12
知识梳理
知识梳理
知识梳理
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
高中数学 3.2.13.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
思考 2 函数 y=x 的导数的几何意义和物理意义分别是指什
么? 提示:y'=1 表示函数 y=x 图象上每一点处的切线斜率都为 1,任一点处
答案:3
4.以曲线 y=ex 上的点 P(0,1)为切点的切线方程为 答案:y=x+1
12345
.
12345
5.已知直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,且与曲线 y=x3 相切,求直线 l 的方程. 分析:由直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,可得 kl=3,设切点为(a,b),则 y'|x=a=3a2=3,可得 a,即可求出 b,从而可求出切线方程. 解:设切点为(a,b).
而
1 ������
'=(x-1)'=-x-1-1=-���1���2,故 C 正确.
答案:C
2.若 y=cos23π,则 y'=( )
A.-
3 2
B.-12
C.0
解析:常数函数的导数为 0.
答案:C
12345
D.12
12345
3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n=
.
解析:因为 y'=nxn-1,所以 y'|x=2=n·2n-1=12,所以 n=3.
三角形的面积为 18,求 a 的值. 思路分析:先求出切线方程,再求出切线在 x 轴、y 轴上的截距,利用三
角形面积公式列方程求 a.
探究一
探究二
解:y'=-12 ������-32(x>0),故在点(a,������-12)处的切线的斜率 k=-12 ������-32,
高中常见函数的导数公式表
高中常见函数的导数公式表1. 常数函数常数函数f(f)=f的导数为f′(f)=0。
2. 幂函数幂函数f(f)=f f的导数为f′(f)=ff f−1。
3. 指数函数指数函数f(f)=f f的导数为$f'(x) = a^x\\ln(a)$。
4. 对数函数自然对数函数$f(x) = \\ln(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{x}$。
5. 三角函数•正弦函数$f(x) = \\sin(x)$的导数为$f'(x) = \\cos(x)$。
•余弦函数$f(x) = \\cos(x)$的导数为$f'(x) = -\\sin(x)$。
•正切函数$f(x) = \\tan(x)$的导数为$f'(x) =\\sec^2(x)$。
•余切函数$f(x) = \\cot(x)$的导数为$f'(x) = -\\csc^2(x)$。
•正割函数$f(x) = \\sec(x)$的导数为$f'(x) =\\sec(x)\\tan(x)$。
•余割函数$f(x) = \\csc(x)$的导数为$f'(x) = -\\csc(x)\\cot(x)$。
6. 反三角函数•反正弦函数$f(x) = \\arcsin(x)$的导数为$f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
•反余弦函数$f(x) = \\arccos(x)$的导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
•反正切函数$f(x) = \\arctan(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{1+x^2}$。
•反余切函数$f(x) = \\arccot(x)$的导数为$f'(x) = -\\frac{1}{1+x^2}$。
•反正割函数$f(x) = \\arcsec(x)$的导数为$f'(x) = \\frac{1}{|x|\\sqrt{x^2-1}}$。
3.2.1 常数与幂函数的导数-3.2.2 导数公式表+【KS5U+高考】
22
课堂小结 其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，要认真观察函数的结构 特征，积极地进行联想与化归. 2.有些函数可先化简再求导.
如求 y＝1－2sin 2的导数.因为 y＝1－2sin 2＝cos x， 所以 y′＝(cos x)′ ＝－sin x.
2x 2x
1. 利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，
π 3 ＝cos ＝ . 6 2
15
3.2.1-3.2.2
2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ ， 3
1 2 π 故所求的直线方程为 y－2＝－ (x－6)， 3 3 π 即 2x＋ 3y－ 2 －3＝0.
3.2.1-3.2.2
16
规律方法
导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相
互垂直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键.
3.2.1-3.2.2
9
＝ lim (4 028x＋2 014Δx) →
Δx 0
＝4 028x.
规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤. (2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0. (3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的 应用.
y′＝ ex
1 y′＝ xln a 1 x
8
y′＝
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 利用导数定义求函数的导数
例1
解
用导数的定义求函数f(x)＝2 014x2的导数.
f′(x)＝ lim → 2 014x＋Δx2－2 014x2 x＋Δx－x
Δx 0
2 014[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2 014x2 ＝ lim Δx Δx→0 4 028x·Δx＋2 014Δx2 ＝ lim Δx Δx→0
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x 0
x 0
2 x
lim sin x 1 x0 x
2
sin x
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证 明 ： ln x lim ln x x ln x
x 0
x
ln lim
x 0
x x
x x
lim
x 0
lnБайду номын сангаас
1
x x
x
li
x
m
0
ln
1
x x
1
x
1
x x
lim
ln
1
x 0
1 x
x
22
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例 3 .求 下 列 函 数 的 导 数 . (1 )yx3sinxco sx (2 )y2sinxco sx2 x2 1
22
(1 )解 :y' (x3 six nco x ) 's (x3 ) ( ' sx ) i n ( ' cx )o 3 x2 co x ssixn
( 2 ) 解 y ' ( 2 s ； x i cn x o 2 x 2 s 1 ) ( ' s x ) ( i 2 'x 2 n ) 1 '' cx o 4 xs 22
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练习1：求下列函数的导数。
(1 )y 2 x 3 1 (2 )y x 1 2(3 )y x(4 )y 5x 3
( 1 )解 y ' ： 2 3 x 3 1 6 x 2
( 2 )解 :y ' (x 1 2 ) ( 'x 2 ) '2 (x ) 2 1 2 x 3 x 2 3
已知:函数f ( x )是可导的奇函数,求证:其导函
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求导时,先将其转化为指数式的形式.
题型一
题型二
导数公式的应用
【例 2】
求曲线 y=sin x 在点 P
π 2
,1
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
解∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|������=π2=cosπ2=0. ∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数: (1)y=���1���5;(2)y=5 x3;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
式,以免在求导时发生不必要的错误.
解(1)y'=
1 x5
'=(x-5)'=-5x-6=-x56;
(2)y'=(5 ������3)'=(������35)'=35 ������-25 = 553������2;
(3)y'=3xln 3;
(4)y'=x������1������2.
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数)
分析因所求直线与直线l垂直,故其斜率乘积为-1.可利用导数公 式求出直线l的斜率k,从而可得所求直线的斜率;点P在曲线上可求 得a,然后利用点斜式写出所求直线的方程.
1.能根据导数的定义,求函数y=C,y=x,y=x2, y=1������ 的导数. 2.会使用导数公式表.
1.常数函数的导数
设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0.
名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0.
若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1.若 y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速 度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
1 函数 y=cosπ4的导数为
.
答案:0
2 函数 y=3 x2的导数为
.
答案:332 x
3函数y=log3x在x=1处的导数为
.
解析:∵y'=x������1������3,∴y'|x=1=���������1���3.
答案:ln13
4以曲线y=ex上的点P(0,1)为切点的切线方程为
.
答案:y=x+1
解∵f'(x)=1������,∴kl=f'(e)=1e.
由题意知所求直线斜率为-e.
∵点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上, ∴a=ln e=1.
故所求直线方程为y-1=-e(x-e), 即ex+y-e2-1=0.
题型一
题型二
反思求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤:
①求切点处的导数即为切线的斜率; ②由直线方程的点斜式写出切线方程.
【做一做 3】 求下列函数的导数: (1)y=���1���2; (2)y=4x. 解(1)y'=-���2���3;(2)y'=4xln 4.
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
度【始做终一为做0,即1】一函直数处于y=静si止nπ2状的态导.数为
.
答案:0
2.几种特殊的幂函数的导数
(1)函数y=x的导数:x'=1.
(2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.
(3)函数 y=1������的导数:
1 ������
'=-���1���2.
此式也可写成
1 ������
'=(x-1)'=-x-2.
(5)(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x. 名师点拨(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数,μ≠0,x>0)可以归为一 类函数来记忆导数公式.只是要注意n为负数时的运算技巧,先变形, 再求导. x=(l2o)gleoxg,则ax与(lnlnxx)'等=���求���l1n导e =公1���式��� ;较对难log记ax忆求,导可,以只相需互把间上作式比e换较为,如a.ln (3)指数函数y=ax与幂函数求导易出错,比如,对y=2x与y=x2求导, 可专门记忆y=ax的求导公式.(2x)'=2xln 2,(x2)'=2x.
5已知直线l与直线3x-y+2=0平行,且与曲线y=x3相切,求直线l的方 程. 分析由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切点为(a,b), 则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出切线方程. 解设切点为(a,b).
∵y'=3x2,∴kl=y'|x=a=3a2. 又∵直线l与直线3x-y+2=0平行, ∴3a2=3,∴a=±1.
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
些简单函数的导数了.
【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为
.
答案:12
3.基本初等函数的导数公式 (1)C'=0(C为常数). (2)(xn)'=nxn-1(n为自然数);(xμ)'=μxμ-1(μ为有理数,且μ≠0,x>0). (3)(ax)'=axln a(a>0,a≠1);(ex)'=ex. (4)(logax)'=������l1n������(a>0,a≠1,x>0);(ln x)'=1������(x>0).