高二数学常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数
0
知识拓展
公式1: C = 0 (C为常数)
2. 函数y=f(x)=x的导数
证明： Δy f(x + Δx) - f(x) ∵ = =1 Δx Δx Δy ' ∴y lim lim 1 1 x 0 Δx x 0
概念理解
若 y=x（如图 1.2–2）表示路程关 于时间的函数，则 y′=1可以解释为某物 体做瞬时速度为1的 匀速直线运动.
1 1 双曲线y , y 2 , x x 1 k1 y |x 1 1, 故双曲线y 在交点(1,1) x 处的切线斜率为k1 1;
抛物线y k1 y |x 1 1 1 x , y x 2 , 2 x在交点(1,1)
1 , 故抛物线y 2 1 处的切线斜率为k2 ; 2
n
请注意公式中的条件是n Q ,但 根据我们所掌握的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为幂函数
的导数公式.事实上n可以是任意实数.
例1
(1) (x )
3
(2) 3x
2
2
解： （1） ) = 3x (x
3 '
2 '
(2) 3x ) = 6x （
课堂小结
1.根据定义求常用函数
当x 0时 y ( x x ) ( x ) y x, 1, x x y lim 1; x 0 x
1 x0 y . 1 x 0
2
概念理解
若 y x 2 表示路程关于时间的函数， y' 2x 则 可以解释为某物体做变速速度， 它在时刻x的瞬时速度为2x.
30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 系列2
高二数学知识点求导公式
高二数学知识点求导公式在高二数学学习中，求导公式是一个非常重要的知识点。
它是求解函数导数的基础，掌握了求导公式，能够更加灵活地处理数学问题。
下面我们来系统整理一下高二数学常用的求导公式。
1. 基本函数的求导公式(1) 常数函数的导数为0：$y=C$，其中C为常数。
(2) 幂函数的导数：$y=x^n$，其中n为整数，导数为$y'=nx^{n-1}$。
(3) 指数函数的导数：$y=a^x$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=a^x\cdot ln(a)$。
(4) 对数函数的导数：$y=log_a(x)$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=\dfrac{1}{x\cdot ln(a)}$。
(5) 三角函数的导数：正弦函数的导数：$y=sin(x)$，导数为$y'=cos(x)$。
余弦函数的导数：$y=cos(x)$，导数为$y'=-sin(x)$。
正切函数的导数：$y=tan(x)$，导数为$y'=sec^2(x)$。
2. 基本运算法则(1) 基本规律：$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)$，即两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差)。
(2) 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
(3) 除法法则：$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再减去第一个函数乘以第二个函数的导数，然后除以第二个函数的平方。
人教版高二数学选修B 常数与幂函数的导数
(2)
y
1 x4
；
(3) y 5 x3 .
解 (1) y ' (x12 ) ' 12x11；
(2) y ' ( 1 ) ' (x4 ) ' 4x5 4 ；
x4
x5
(3)
y'
(5
x3 )'
3
(x5 ) '
3
2
x5
3.
5
55 x2
例2 求曲线 y 4 x3 在点 (1,1) 处的切线方程.
处的切线斜率为
1
x
1
2；
2
物理意义：函数 y x 表示路程关于时间的函数，则
y
'
1
1
x 2可以解释成某物体在做变速运动，它在时刻
2
x
的瞬时速度为
1
1
x2
.
2
6.
函数 y
1
x2 的导数 y '
1
1
x2
2
几何意义：函数图象上一点
(x,
y)处的切线斜率为 1
1
x2
.
2
二.探究新知
观察
C ' 0, x ' 1, (x1) ' x2 ,
设函数图象上任一点为 (x0 , x0 )， y ' 1, k切线 1,
切线方程为 y x0 x x0 ， 也即 y x.
2. 函数 y x 图象上任一点处的切线
y
Q O P
切线：割线的极限位置.
x
3. 函数 y kx b 图象上任一点处的切线方程
设函数图象上任一点为(x0 , kx0 b)，
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数预习案一、自学教材，思考下列问题1.导数的概念2.导数的几何意义二、一试身手利用导数的定义求下列函数的导数：（1）f（x）=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2导学案一、学习目标（1）知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力（3）情感态度价值观提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神二、学习过程（1）课内探究问题1：常数函数的导数是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x=（5）y问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a y x =的导数是什么？（2） 典型例题例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（）Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y2 1 (2)y (3)yxx=+==213632')1(xxy=⨯=-解：33122222)(2)'()'1(':)2(xxxxxy-=-=-===----解xxxxxy2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(xxxxy====-解：（4）课堂小结本节课学习了常数函数与幂函数的导数.拓展案一、选择题1．()f x与()g x是定义在R上的两个可导函数，若()()f xg x，满足()()f xg x''=，则()f x与()g x满足（）Ａ．()()f xg x=Ｂ．()()f xg x-为常数Ｃ．()()0f xg x==Ｄ．()()f xg x+为常数二、填空题2．设32()391f x x x x=--+，则不等式()0f x'<的解集是．3．曲线1yx=和2y x=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题4．求过曲线cosy x=上点π132P⎛⎫⎪⎝⎭，且与过这点的切线垂直的直线方程．答案：典型例题例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． 当堂检测1.答案：Ｂ2.答案：Ｃ3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x=+===213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：拓展案1.答案：Ｂ2.答案：(13)-，3.答案：344.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32-=-． ∴过点P． ∴所求的直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π2032x -+=．。
【2019年整理】常数函数的导数和幂函数的导数
2、 符号 f (x )与f (x) 各表示什么含义？ 两者
有什么联系？
显然，函数 y = f(x) 在 x0 处的导数 f (x0) 就是导
函数 f (x) 在 x0 处的函数值，即：
f ( x0 )
f ( x) x x0
二、几种常见函数的导数 例1、求函数 y = C （C 为常数）的导数。
11
(2) y 4 x 3x
3
解： (1) y x 2 x 4 x 4
y
3
x
3 4
1
3
1
x4
3
4
4
44 x
(2)
y
11
x4 3
1
(x) 12
1
y (x 12 )
1 12
1 1
x 12
1
12 x12 x
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数
解： (1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) y 1 x1 x
1
(4) y x x2
y
(x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
例4 求下列函数的导数：
(1) y x x
解： f ( x)
lim
f ( x x)
f (x)
C C lim
0
x0
x
x0 x
公式1 (C) 0 C 为常数
常数的导数等于零。
例2、求函数 y = xn (nN) 在 x = x0 处的导数。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
高中数学 同步教学 常数与幂函数的导数 导数公式表
y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速
度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数?
剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x
的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的
度始终为0,即一直处于静止状态.
π
y=sin
【做一做1】 函数
.
2 的导数为
答案:0
2.几种特殊的幂函数的导数
(1)函数y=x的导数:x'=1.
(2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.
1
(3)函数 y= 的导数:
此式也可写成
1
1
1
'=- 2.
'=(x-1)'=-x-2.
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
2
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该点处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
π
2
解 ∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|=π =cos =0.
2
∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的
1
5
(1)y= 5;(2)y=
x 3 ;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
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切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的
函数,则 y` 0 可以解释为某物体的瞬时速度始
终为0, 即一直处于静止状态.
2. 函数 y f x x的导数
y
因为y f x x f x
x
x
x x x 1, x
所以 y` lim y lim 1 1. x0 x x0
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
,
x x x
所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
yx O
x
图1.2 2
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的
切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的 函数,则 y` 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动.
探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y 2x, y 3x, y 4x的图解,并根据导数定 义, 求它们的导数.
1.2. 导数的运算
1.2.1 常数函数与幂函数的导数
我们知道, 导数的几何意义是曲线在某 点 处 的 切 线 的 斜 率, 物 理 意 义 是 运 动 物 体在某一时刻的瞬时速度.那么, 对于函
数 y f x,如何求它的导数呢?
根据函数的定义,求函数y f x的导数,
就是求出当x趋近于0时, y 所趋于的那 x
个定值.
下面我们求几个常用函数的导数.
1. 函数 y f x c的导数
因为y f x x f x
x
x
y yc
c c 0, x
所以 y` lim y lim 0 0. x0 x x0
O
x
图1.2 1
y` 0表示函数 y c图象1.2 1上每一点处的
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x,
y y x2
O
x
图1.2 3
所以 y` lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y` 2x表示函数 y x2 图象1.2 3 上点x, y处
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化另. 一方面,从导数作为函数在一点的瞬 时变化率来看, y' 2x 表明:当x 0时,随着x 的增 加, y x2减少得越来越慢;当x 0时,随着x的增加, y x2增加得越来越快. 若y x2表示路程关于时
所以
y`
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
x
1 x2
.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象,描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1处的切线方程.
5. 函 数 y f x x 的 导 数
因为y f x x f x x x x
1从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一
个增加得最慢?
3函数 y kx k 0 增 减的快慢与什么
有关?
3. 函数 y f x x2 的导数
因为y f x x f x
x
x
x x2 x2
间的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数,则 y' 2x,可以解释为某物体作变速运 动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4. 函数 y f x 1 的导数
x
11
因为y
f x x
f x
x x x
x
x
x
x x x
1
xx xx x2 x x ,