1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用课件新人教B版选修2_22
知识点二 基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝c
0 nxn－1y′＝ μxμ－1 y′＝
y′＝f′(x) y′＝_
y＝xn(n∈N＋)
y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a>0，a≠1) y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝sin x y＝cos x
，n为正
，μ为有
axln a y′＝_______
3
4
5
解析
答案
2.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有 A.1条
C.3条
B.2条 √
D.不确定
解析 设切点为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x2 0＝1，
3 ∴x0＝± 3 .
故斜率等于1的切线有2条.
1
2
3
4
5
解析
答案
1 3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则e a＝
.
1 1 1 解析 f′(x)＝xln a，则 f′(1)＝ln a＝－1，∴a＝e.
利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0) 处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最 值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象 分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3
已知A、B、C三点在曲线 xy＝
上，其横坐标依
次为1、
m、4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m的值为
＝ . 解析 设切点坐标为 (x0 ， y0) ，
由题意得 y1
x＝x0
1 ＝x ＝k， 0
②
①
又y0＝kx0，
而且y0＝ln x0，
【数学】1.2.1《常数函数与幂函数的导数》课件(新人教B版选修2-2)
∆y 所以 y`= lim = lim − =− . ∆x → ∆x ∆x → x x + x ⋅ ∆x
究 出 数 探 画 函 y = 的 象 据 象描 它 图 .根 图 , 述 的 x 变 情 ,并 出 线 点 , )处 切 方 . 化 况 求 曲 在 ( 的 线 程
根 函 的 义 函 y = f ( x)的 数 据 数 定 ,求 数 导 , ∆y , 就 求 当 x趋 于 时 所 于 那 是 出 ∆ 近 趋 的 ∆x 个 值 定 .
面 们 几 常 函的 数 下 我 求 个 用数 导 .
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = ∆x ∆x O x c−c = = , ∆x 图 . − ∆y 所以 y`= lim = lim = . ∆x → ∆x ∆x → y`= 表示函数 y = c图象( . − )上每一点处的 切线的斜率都为 .若y = c表示路程关于时间的 函数, 则 y`= 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为 , 即一直处于静止状态.
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = = ∆x ∆x
. 函数 y = f ( x ) = x 的导数
x + ∆x − x ∆x
( =
=
x + ∆x − x x + ∆x + x ∆x x + ∆x + x
(
)(
)
)
x + ∆x + x
,
∆y 所以 y`= lim = lim ∆x → ∆x ∆x →
课时作业9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 2．y ＝13x 2的导数为( )A ．23x －13B ．23x C ．23x-D ．－2353x -3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝04．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D ．5π45．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( )A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝06．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为( ) A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝07．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B ．110523C.25523 D ．1105238．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2二、填空题9．曲线y ＝1x上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．10．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．三、解答题11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．参考答案1．【答案】B【解析】本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(12x -)′＝－1232x -＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝1212x -＝12x，正确．对于D ，正确． 2．【答案】D 【解析】y ′＝(23x -)′＝－23·53x -.∴选D. 3．【答案】A【解析】∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0. 4．【答案】C【解析】∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．【答案】A【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A. 6．【答案】D【解析】∵0x x y ='＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．【答案】B【解析】∵s ′|t ＝4＝1545t -|t ＝4＝110523.故选B.8．【答案】A【解析】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.9．【答案】(12，2)或(－12，－2)【解析】设P (x 0，y 0)，则k ＝0x x y ='＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12， 当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．【答案】(2,1)【解析】∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3， ∴－8x －3＝－1， ∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)．11．解：(1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x30－3x20＋4＝0，∴x0＝－1或x0＝2，∴切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.。
(完整word版)1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数（预习案)编者：周敏(一）学习目标:1。
能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2.掌握基本初等函数公式,会求简单函数的导数（二)知识链接：1.导数的概念2。
导数的几何意义3.利用定义求函数)(xfy 的导数的步骤是：(三)一试身手:利用导数的定义求下列函数的导数：（1)f（x)=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 (4）f（x）=x21.2。
1常数函数与幂函数的导数(学案）（一)学习目标：1。
能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2。
掌握基本初等函数公式，会求简单函数的导数（二)重点和难点：能用所给基本初等函数的导数公式求简单的函数的导数（三)学习探究:探究问题1：常数函数的导数是什么？探究问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数(1）y=x（2)y=x2（3）y=x3(4）1yx（5）y x12探究问题3:通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？探究问题4：幂函数a y x 的导数是什么？（四）典例示范：例1 求 (1)y=x 12 （2)41y x=(3)y =4）y=1变式训练：求下列函数的导数:（1）y ＝x 8； (2）y ＝x 错误!。
例2质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．(五）当堂检测:1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ )Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（ ) Ａ．90° Ｂ．0°Ｃ．锐角 Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y 2 1 (2)y (3)y x x =+==213632')1(x xy =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解31.2。
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
课时作业14：1.2.1 常数函数与幂函数的导数～1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用一、选择题1．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－12x －32； ④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 3．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32) C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z ) 4．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－55．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x6．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( )A ．4B ．－4C ．28D ．－287．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4]二、填空题8．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________. 9．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．11．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y 1＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 三、解答题12．求下列函数的导数．(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin(x ＋π2)；(5)y ＝e 2.13．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．参考答案1．【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8．【答案】－49．【答案】(1,1)【解析】y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)． 因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．10.【答案】12e 2 11.【答案】ln 2－112．解 (1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝[sin(x ＋π2)]′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.13．解 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，可设切点坐标为(x 0，0e x)，则过该切点的曲线y ＝e x 的切线的斜率为0e x ，∴所求切线方程为y －0e x ＝0e x (x －x 0)． ∵切线过原点，∴－0e x ＝－x 0·0e x ， ∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.。
高中数学导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用课件新人教B版选修2_2
教材整理 2
基本初等函数的导数公式
阅读教材 P17，完成下列问题． 原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ (x＞0，μ≠0 且 μ∈Q) y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ex 导函数 y′＝________ y′＝________，n 为正整数 y′＝________，μ 为有理数 y′＝________ y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x
【答案】 0 nx cos x －sin x
n－1
y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝________
μx
μ－1
a ln a e
x
x
1 1 xln a x
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′＝－x3； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x π 2 (2)求函数 f(x)＝cos x 在 ， 处的导数． 4 2 1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－ ， 3 4 x 3 x
质点的运动方程是 s＝sin t， π (1)求质点在 t＝3时的速度； (2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求 s′(t)，再求
π s′3.
(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数，故先求 v(t)，再求导．
常数函数与幂函数的导数
因为y f x x f x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
,ຫໍສະໝຸດ x x x所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
除了常数函数外，求另 外几个幂函数的导函数 有什么规律？？
好像这几个幂函数的导函数
都依然是幂函数啊!
导函数就是
把原函数的幂作为系数， 原函数的幂次减1作为 导函数的幂！
我们是不是可以推测 对任意幂函数y x，当 Q时，都有 x的导数=x-1
1.理解常数函数的导数以及幂函数的导数的推 导过程.
x0 x x0
y` 2x表示函数 y x2 图象1.2 3 上点x, y处
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化.另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 时变化率来看, y' 2x 表明:当x 0时,随着x 的增 加, y x2减少得越来越慢;当x 0时,随着x的增加,
第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数
一般地,函数 y f x在x x0处的瞬时变化率是
lim f x0 x f x0 lim f ,我们称它为函数
x0
x
x0 x
y f x在x x0处的导数derivative,
记作
探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y 2x, y 3x, y 4x的图象,并根据导数定 义, 求它们的导数.
1 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2 这三个函数中, 哪一个增加得最快 ? 哪一
个增加得最慢 ?
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1.2.1常数函数与幂函数的导数
预习案
一、自学教材，思考下列问题
1.导数的概念
2.导数的几何意义
二、一试身手
利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）f（x）=2 （2）f（x）=x
（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2
导学案
一、学习目标
（1）知识与技能
能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数
（2）过程与方法
在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力
（3）情感态度价值观
提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神
二、学习过程
（1）课内探究
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数
（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x
=（5）y
问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？
问题4：幂函数a y x =的导数是什么？
（2） 典型例题
例1 求 (1)(x 3)′ (2)(
2
1x )′ (3)(x )′
例2质点运动方程是5
1t s =
, 求质点在2=t 时的速度．
（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角
为（）
Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数
3
2
1
(1) y2 1 (2)y (3)y
x
x
=+==
2
1
36
3
2
'
)1(x
x
y=
⨯
=-
解：
3
3
1
2
2
2
2
2
)
(2
)'
(
)'
1
(
'
:
)2(
x
x
x
x
x
y-
=
-
=
-
=
=
=-
-
-
-
解
x
x
x
x
x
y
2
)
(
2
1
)'
(
)'
(
'
)3(2
1
2
1
=
=
=
=-
解：
52
5
2
5
3
53
5
3
)
(
5
3
)'
(
)'
(
'
)4(
x
x
x
x
y=
=
=
=-
解：
（4）课堂小结
本节课学习了常数函数与幂函数的导数.
拓展案
一、选择题
1．()
f x与()
g x是定义在R上的两个可导函数，若()()
f x
g x
，满足()()
f x
g x
''
=，则()
f x与()
g x满足（）
Ａ．()()
f x
g x
=Ｂ．()()
f x
g x
-为常数
Ｃ．()()0
f x
g x
==Ｄ．()()
f x
g x
+为常数
二、填空题
2．设32
()391
f x x x x
=--+，则不等式()0
f x
'<的解集是．
3．曲线
1
y
x
=和2
y x
=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题
4．求过曲线cos
y x
=上点
π1
32
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，且与过这点的切线垂直的直线方程．
答案：
典型例题
例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；
(2) (21x
)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) x
x x x x 212121)()(2112121
==='='-- 例2解：∵ 51t s =
， ∴ 6555)()1(---='='='t t t
s , ∴ 64
52562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是64
5-． 当堂检测
1.答案：Ｂ
2.答案：Ｃ
3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x
=+===2
13632')1(x x y =⨯=-解：3
3122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解x
x x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：
拓展案
1.答案：Ｂ
2.答案：(13)-，
3.答案：34
4.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫
⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32
-=-． ∴过点P
． ∴所求的直线方程为1π
23y x ⎫-=-⎪⎭，
即2π2032x -
+=．。