直线、平面垂直的判定及性质资料
直线、平面垂直的判定及其性质
5．如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是 AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理 有DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面 ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平 面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以 BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.故选C.
答案：C
2．(必修2P69练习题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别 是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这 个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的 点记为G，则在四面体SEFG中必有( )
垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的
角叫做二面角的平面角．
2．平面与平面垂直的判定定理
4．(2017· 浙江卷)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相 等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB， BQ CR ＝ ＝2.分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角 QC RA 为α，β，γ，则( A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α )
A．SG⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF
B．SD⊥平面EFG D．GD⊥平面SEF
解析：解法1：在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥ G3F，在四面体SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，所 以SG⊥平面EFG. 解法2：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除 C；在△GSD 中，GS＝a(正方形边长)，GD＝ 2 4 a，SD＝ 3 2 4 a，所以
直线、平面垂直的判定及性质
第3讲直线、平面垂直的判定及性质1．直线与平面垂直：(1)方法1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)方法2：如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于该平面．(3)方法3：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．2．面面垂直：(1)方法1：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2) 方法2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．考向一直线与平面垂直的判定与性质【1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【2】(2012·南通调研)如图，平面P AC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段P A、PB、AC的中点，点G 是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，P A＝PC＝2 2.求证：(1)P A⊥平面EBO；(2)FG∥平面EBO.【3】(2012·福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE；若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．【4】(2012·镇江调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：EB∥平面P AD；(2)若P A＝AD，证明：BE⊥平面PDC.【5】(2011·扬州调研)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE.【6】(2012·扬州调研)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.考向二平面与平面垂直的判定与性质【7】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.【8】(2011·江苏卷)如图在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .考向三 线面、面面垂直的综合应用【9】(2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高． (1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .【10】(2012·南通市第一学期期末考试)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ； (2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．考向四 求线段的长度问题【11】(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【12】(2011·江西卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .【训练达标】【1】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .【2】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【3】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．【4】如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1D AD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．【5】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小；(2)证明AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．【6】如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【7】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【8】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．【9】如图所示，在三棱锥P—ABC中，△P AB是等边三角形，∠P AC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面P AC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积．【10】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线 段 AB 上一点，且 3AD＝DB，点 C 为圆 O 上一 点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC，PD＝DB. 求证：PA⊥CD. 证明：因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥BC. 在 Rt△ABC 中，由 BC＝ 3AC，得∠ABC＝30°. 设 AD＝1，由 3AD＝DB 得，DB＝3，BC＝2 3. 由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AB. 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC，所以 PD⊥CD. 因为 PD∩AB＝D，所以 CD⊥平面 PAB， 又 PA⊂平面 PAB，所以 PA⊥CD.
找 共 性
[过关训练] 1．如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：(1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.又 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD. 又 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD， 又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一 线面垂直的判定与性质 [全析考法过关]
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影90]，叫做这条直线和这个平面所成的角.所成的锐角[00至0知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是180]直角的二面角叫做直二面角二面角范围是[00至0知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作.2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言： 图形语言：知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.2.性质定理1垂直于同一个平面的两条直线平行.2垂直于同一条直线的两个平面平行知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.如果两个平面互相垂直那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 例1 在三棱锥P A B C -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===．求证：A B B C ⊥； 设23AB BC ==，求A C 与平面PBC 所成角的大小．例2 如图，直角A B C △所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边A C 的中点．求证：SD ⊥平面ABC ；若A B B C =，求证：B D ⊥面S A C ．例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B 和平面ABCD 所成的角；（2）求直线A1B 和平面A1B1CD 所成的角.例4如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C 向上行走10m 到达E 处，此时人升高了多少m ？例5 在四面体ABCD 中，已知AC ⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC ⊥平面ACD.例6四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD.证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角A B C DE一、选择题1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线 B．平行直线 C．一条直线—个点 D．以上三种情况均有可能2．在下列四个命题中，假命题为（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面3．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A．5 B．52 C．35 D．455．A、B两点相距4cm，且A、B与平面a的距离分别为3cm和1cm，则AB与平面a所成角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．30°或90°6. 直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有（）Ａ．0条Ｂ．1条Ｃ．无数条Ｄ．α内所有直线7. 已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ．下面四个命题中，正确的是（）Ａ．αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//Ｂ．mll mββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭//Ｃ．mm nnγγ⎫⇒⎬⎭//////Ｄ．mm nnγγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//8. 设a，b是异面直线，下列命题正确的是（）Ａ．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交Ｂ．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直Ｃ．过a一定可以作一个平面与b垂直Ｄ．过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题1．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．2．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，mα和m⊥γ，现给出以下四个结论：α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”3．给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．其中假命题的共有_________个．4. αβ，是两个不同的平面，m n ，是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： m n ⊥①；αβ⊥②；n β⊥③；m α⊥④．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．5 设O 为平行四边形A B C D 对角线的交点，P 为平面A C 外一点且有P A P C =，PB PD =，则P O 与平面A B C D 的关系是_____________．6.设三棱锥P A B C -的顶点P 在底面ABC 内射影O （在A B C △内部，即过P 作P O ⊥底面ABC ，交于O ），且到三个侧面的距离相等，则O 是A B C △的______心.三、解答题1如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD.求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长2在正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是3.三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
直线平面垂直的判定及其性质精
直线、平面垂直的判定及其性质【知识要点梳理】知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1•直线和平面垂直定义如果直线F和平面比内的任意一条直线都垂直，我们就说直线2与平面比互相垂直，记作J丄◎.直线E叫平面H的垂线；平面陆叫直线£的垂面；垂线和平面的交点叫垂足2•直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.烧U a;卫U工朋仃M = £”/丄盘符号语言:'丄朋J丄冲-特征：线线垂直 n线面垂直知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角知识点三、二面角1•二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面•从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角•这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面表示方法：棱为、面分别为分、0的二面角记作二面角◎■朋-Q •有时为了方便,也可在圧勺0内（棱以外的半平面部分）分别取点只°，将这个二面角记作二面角尸-卫占-（3 •如果棱记作‘，那么这个二面角记作二面角0或F 7-Q•过斜•平面2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足,面角的平面角是多少度，就说这个二面角是知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直 表示方法：平面凸与Q 垂直，记作d 丄3. 2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 符号语言：/丄uJa 丄0 图形语言:特征：线面垂直 h 面面垂直知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线 符号语言：/丄sug?S 图形语言:在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则二面角的大小可以用它的平面角来度量, 多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角2.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言：'丄a 「用丄住二討｛加 图形语言:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言:2.如图所示， 中点.⑴求证：SD 丄平面ABC ;(2)若AB=BC ，求证：BD 丄平面SAC.知识点六、平面与平面垂直的性质 性质定理：符号语言: U 丄0「0；仃0=豹」U 0)丄梯nf 丄e已知 Rt △ ABC 所在平面外一点 S ,且SA=SB=SC ,点D 为斜边AC 的BOC在平面内，OA是平面①的斜线，且/ AOB= /AOC=60 ° , OA=OB=OC=肚,BC=d，求OA和平面①所成的角.44在四面体ABCD 中，△ ABD、△ ACD、△ BCD、△ ABC 都全等，且BC= 2求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.5.在四面体ABCD 中，求证：平面ABD丄平面BCD.月0=施,AB=AD=CB=CD=AC=住，如图所示D基础达标1.平面配外的一条直线£与凸内的两条平行直线垂直，那么（）.4.若P 是平面◎'外一点，则下列命题正确的是 （）.A. 过P 只能作一条直线与平面 G 相交B. 过P 可作无数条直线与平面 住垂直C. 过P 只能作一条直线与平面 出平行D. 过P 可作无数条直线与平面 &平行5. 设 是直二面角，直线 広匚①，直线bU 3，且a 不垂直于』，b 不垂直于/ 那么（）.A. a 与b 可能垂直，但不能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能平行，也不能垂直6. 设出、Q 为两个不同的平面，!、m 为两条不同的直线，且1匸盘，muQ 有如下两A.i 丄B.l f/ 口;C.F 与氏相交D 7与曰的位置关系不确定2.已知直线a 、b 和平面6',下列推论错误的是（）. 如1丄 aB.“丄时麗丄口: A .G盘丄占MeD.a3.若直线a 丄直线b ，且a 丄平面①，则有（）.A. MeB .B CQc 0丄a D.bg 或be a其中正确的个数是（） A.0B.1C.2D.3个命题：①若◎甘3川尿;②若/丄胡，则①丄戸届那么（）.A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题7. 关于直线m 、n 与平面◎与0,有下列四个命题:①若刖盘,MR 且也〃戸，则m // n ;②若欄丄化《丄戸且S 丄Q ,则撷丄； ③若聊丄化加沖且就"0，则欣丄；④若桝"氓幷丄Q 且抚丄0,则m / n.8.已知直线m 丄平面◎，直线冷匚Q ,给出下列四个命题，其中正确的命题是（）.①若◎"戸，则^丄农；②若d 丄0，则m / n ;③若m // n ,则丄© :④若粧丄'^^9. 下面四个命题：① 两两相交的三条直线只可能确定一个平面； ② 经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面; ③平面比内不共线的三点到平面 戸的距离相等，则0 ;10. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面 比、0、尸，给出下列三个命题: ①若僅H 住 bff G ： 贝廿说"^. ②若川.说"，则创0；③若^^“儿刖卩其中真命题的序号是（）. A.①②B.③④C.①④D.②③A. ③④B. ①③C. ②④D. ①②④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线， 则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是（）.A.0个B.1个C.2个D.3个11. 已知直线E 丄平面，直线加U 平面Q ，有四个命题：① 也"0今'丄朋.②③朋=0；■丄0.④/丄战12.长方体 血中，MN 在平面ECU I E 内，MN 丄BC 于M ，贝U MN 与AB 的位置关系是ABC 所在平面外一点 S ,且SA=SB=SC ，点D 为斜边AC 的中点.ABC ;BD 丄面SAC.其中正确的命题是.（把所有正确命题的序号都填上）C13.如图所示，直角△ ⑴求证：SD 丄平面 ⑵若AB=BC.求证：。
直线、平面垂直的判定与性质
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。
直线、平面垂直的判定及其性质
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言 一条直线与一个平
图形语言
符号语言
两条相交直 判定 面内的__________
定理 线 __都垂直，则该直 线与此平面垂直 性质 垂直于同一个平面 定理 的两条直线平行 ____
a，b⊂α a∩b＝O l⊥ α ⇒_____ l⊥ a l⊥ b
两个平面垂直
两个平面垂直，则
α⊥β l⊂ β ⇒ l⊥ α α∩β＝a l⊥ a
性质 一个平面内垂直于 定理 交线 ____的直线与另一 个平面垂直
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
直线、平面垂直的判定及其性质
结束
[小题体验] 1．已知平面 α⊥平面 β，直线 l⊥平面 β，则直线 l 与平面 α
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课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
直线、平面垂直的判定及其性质
结束
角度二：利用线面垂直的性质证明线线垂直 2． (2015· 江苏高考)如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， 已知 AC⊥BC， BC＝CC1．设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1＝E． 求证：(1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1．
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直线、平面垂直的判定及其性质
结束
1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 2． 面面垂直的判定定理中， 直线在面内且垂直于另一平面易忽视． 3． 面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目 套用造成失误．
其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．
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1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面及面面 垂直的有关性质和判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的位置关系的简单 命题.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
板块二 典例探究·考向突破
考向 有关垂直关系的判断 例 1 (1)[2015·浙江高考]设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β.( ) A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m
[解析] 对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即 l⊂α，l⊥β，如果这两个条件存在，则 α⊥β.
(2)[2016·德阳二诊]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α；
②若 α∥β，m⊂α，则 m∥β；
③若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β；
④若 m∥α，m∥β，则 α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A．①③
B．①②
C．③④
D．②③
4．[2016·珠海模拟]在如图所示的四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是( )
解析 A 中，CD⊥AB；B 中，AB 与 CD 成 60°角；C 中，AB 与 CD 成 45°角；D 中，AB 与 CD 夹角 的正切值为 2.
5．[2016·济南模拟]已知如图，六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABCDEF.则下列结 论不正确的是( )
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) 2．若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( × ) 3．若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( × ) 4．二面角是指两个相交平面构成的图形．( × ) 5．若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
性 质 垂直于同一个平面的两 定 条直线 平行 理
图形语言
符号语言 a⊥α b⊥α⇒a∥b
考点 2 平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
判
一个平面过另一个平面
定 的
一条垂线
，则这
定
两个平面垂直
理
符号语言 l⊂β l⊥α⇒α⊥β
2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言
两个平面互相 性 垂直，则一个 质 平面内垂直于 定 交线 的 直 线 理 垂直于另一个
直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判 一条直线与一个平面内的
定 两条相交直线 都 垂 直 ， 定
则该直线与此平面垂直 理
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
⇒l⊥α
l⊥b
3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言
解析 1.错误．两个平面也可能相交.2.错误．两条直线也可能异面或相交.3.错误．α 与 β 不一定垂直.4. 错误．二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.5.错误．若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内的直线 l 与 β 可平行，可相交，也可在平面 β 内．
二、小题快练
1．[课本改编]在空间中，l，m，n，a，b 表示直线，α 表示平面，则下列命题正确的是( )
平面
图形语言
符号语言
α⊥β αl⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
[必会结论] 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
A．若 l∥α，m⊥l，则 m⊥α B．若 l⊥m，m⊥n，则 m∥n
C．若 a⊥α，a⊥b，则 b∥α
D．若 l⊥α，l∥a，则 a⊥α
解析 对于 A，m 与 α 位置关系不确定，故 A 错；对于 B，当 l 与 m，m 与 n 为异面垂直时，m 与 n 可能异面或相交，故 B 错；对于 C，也可能 b⊂α，故 C 错；对于 D，由线面垂直的定义可知正确．
A．CD∥平面 PAF B．DF⊥平面 PAF C．CF∥平面 PAB D．CF⊥平面 PAD
解析 A 中，因为 CD∥AF，AF⊂平面 PAF，CD⊄平面 PAF，所以 CD∥平面 PAF 成立； B 中，因为 ABCDEF 为正六边形，所以 DF⊥AF. 又因为 PA⊥平面 ABCDEF，所以 PA⊥DF，又因为 PA∩AF＝A，所以 DF⊥平面 PAF 成立； C 中，因为 CF∥AB，AB⊂平面 PAB，CF⊄平面 PAB， 所以 CF∥平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直，故选 D.
3．[课本改编]已知 m，n 是不同的直线，α，β 是不同的平面，则下列条件能使 n⊥α 成立的是( )
A．α⊥β，n⊂β
B．α∥β，n⊥β
C．α⊥β，n∥β
D．m∥α，n⊥m
解析 若 α⊥β，n⊂β，则 n 与 α 平行或相交，即 A 不一定使 n⊥α；α∥β，n⊥β，则 n⊥α，故应选 B性质及推理证明．
2．[2016·烟台模拟]已知不重合的直线 m，l 和平面 α，β，且 m⊥α，l⊂β.给出下列命题：①若 α∥β，
则 m⊥l；②若 α⊥β，则 m∥l；③若 m∥l，则 α∥β；④若 m∥l，则 α⊥β，其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 因为 m⊥α，α∥β，所以，m⊥β，又 l⊂β，所以 m⊥l，故①正确； 因为 m⊥α，α⊥β，所以 m∥β 或 m⊂β，又 l⊂β， 所以 m∥l 或 m，l 相交或 m，l 互为异面直线，故②不正确； 因为 m⊥α，m∥l，所以 l⊥α，又 l⊂β，所以 α⊥β，故③不正确，④正确．选 B.