晶体的宏观对称性
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1-2-3-4晶体的宏观对称性1
材料科学基础
• 显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。 但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。 • 如下图是由两个全等的三角形组成，但它并不是对 称图形。 • 对称的图形还必须符合另一个条件，那就是这些相
同的部分，通过一定的操作(如旋转、反映、反伸) 可以发生重复；
• 举例： （1）蝴蝶的两个相同的部分可以通过垂直平分它的镜 面的反映，彼此重合； （2）花冠通过围绕一根垂直它井通过它中心的直线旋 转，可以多次重复其原来的形象。
第二节：晶体的宏观对称性
材料科学基础
• 对称性是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。 • • • • • • • 对称：symmetry Latin symmetria 拉丁语 symmetria from Greek summetria 源自 希腊语 summetria from summetros [of like measure] 源自 summetros [相似的尺寸]
2019年3月31日12时28分
P27
Hbqref@
对称中心（center of symmetry)
材料科学基础
C,国际符号：i
• 特点：对于一个点的反伸（倒反） • 晶体内部一个假象点，过此点作一直线在此直 线上距中心等距离的两端必然可出现晶体上的 相等部分（面、棱、角顶） • 1）具有对称中心的晶体，每一个晶面必有另 一相等晶面与它平行反向 • 2）晶体对称中心必为几何中心且只能有一个， 反之不成立。
问题的引出
材料科学基础
• 雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下，却 可表现出各种样的形态。 • 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下， 却可表现出各种样的形态。 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
第2章 晶体结构
互为镜象的两个等同部分；国际符号：m 。 对应对称操作：对对称面反映，记为M。
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
07-2.3晶体的对称性
2.3.2.1 点群
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
晶体的对称性和分类
2. 对称操作的变换矩阵
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点
写成矩阵形式，则有
1
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
2
绕某一轴的旋转(rotation about an axis)
晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明
如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B 格点转到 位置,则由于转动对称操作不改变格子,在 处必定原来就有一个格点。
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.
如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与 平行的格点之间的距离一定是 的整数倍。
由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 的位置。同样 处原来也必定有一个格点
亦即：
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3
01
如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
02
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。用矩阵形式表示，则有
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点
写成矩阵形式，则有
1
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
2
绕某一轴的旋转(rotation about an axis)
晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明
如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B 格点转到 位置,则由于转动对称操作不改变格子,在 处必定原来就有一个格点。
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.
如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与 平行的格点之间的距离一定是 的整数倍。
由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 的位置。同样 处原来也必定有一个格点
亦即：
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3
01
如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
02
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。用矩阵形式表示，则有
crystalchap4_1
立方体的旋转对称性：3L44L36L2
27
对称中心：如果在物体或图形中有一个固定点，在 通过这个固定点的任意直线上，距离该固定点等距 离处总可以找到对应点，这个固定点称为对称中心 反演：与对称中心对应的对称操作
以对称中心为原点，(x,y,z)→(-x,-y,-z)
它的书写符号记为:
习惯符号 Li1(C)
7
4.1晶体宏观对称要素 一、基本概念 1对称图形：图形中有完全相同的部分，这些相同 部分能有规律地重复出现。
对称图形中相同部分重复的情况有两种类型:
(a)迭合相等: 借助于平移或旋转的方法，使相同部 分能够重复。例如花朵绕花心旋转使花瓣重迭； (b)反映相等: 相同部分必须经过镜像反映后才能重 复，也就是一部分正好是另一部分镜中的像，这称 为左右形。例如左右手、蝴蝶的翅膀等。 迭合相等没有手性的变化，反映相等有手性的变化
熊夫利斯符号： Cs
对称面的图示用双线||或粗线 | 表示 重复次数为2
30
2
或m
对称面为 投影面
对称面垂直 于投影面
重复次数为2
31
立方体的对称面：共9个 垂直平分立方体四条棱的平面：3个
穿过两对棱的平面:6个
32
4 旋转反演轴( 象转轴)
旋转反演轴是复合对称要素，它相当于一条直 线加该直线上一个固定点。 物体或图形绕直线旋转一定角度后(这时图形还 没有重合)，再对此直线上的固定点进行反演， 使图形得到重复，相应的对称操作称为旋转反 演(或象转)。 受对称定律的限制，旋转反演轴也只有1次、2 次、3次、4次、6次这五种，不可能有5次及大 于6次的旋转反演轴。
10
点对称操作的种类：
反演、反映、旋转、旋转反演 点对称操作的分类： 依据有没有手性的变化进行分类，可分为两类： (a)第一类点对称操作 是真旋转，被作用的对象没有手性的变化，即没 有右手到左手的变化；
4、晶体的对称性
第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
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即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
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§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
晶体的对称性
点群的Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴； Sn ： n次旋转－反映轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面； d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
两点距离不变的变换： ⎛ x ' ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x ⎞
数学上可以写作：
⎜ ⎜⎜⎝
y z
' '
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
a21 a31
a22 a32
a23 a33
⎟⎟⎟⎠i⎜⎜⎜⎝
y z
⎟ ⎟⎟⎠
其中 Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis)
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对 称性。
其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实 空间的投影
黄昆书 47-48 陈长乐书 20-22
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数
边长有两种取值：1， 1+ 5 = 1.618
2
二十面体AlPdMn表面的STM图像
D2、C2V、D2h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C6、C3h、C6h、 D6、C6V、D3h、
D6h T、Th、Td
O、Oh
P、C P、C、I、
F R P、I
H
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1.1.5 晶体的宏观对称性 1、几个概念
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
目录
上页
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退出
目录
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下页
退出
对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
目录
上页
下页
退出
表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
目录
上页
下页
退出
5)晶体的32种点群及分类
点群:把一个结晶多面体所具有的全部对称要 素以一定的顺序组合排列使成为晶体的对称 型。 所有晶体能存在的对称型共有32种，亦称32 种点群。
立方体的棱 ( a )
代表的方向
立方体的体对角线 ( a b c ) 立方体的面对角线 ( a b ) 6次轴 ( c )
六方晶系 四方晶系
a
菱方晶系
正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
与6次轴垂直 与6次轴垂直并与 a交 成 30 2 a b ) （ 4次轴 ( c ) 与4次轴垂直 ( a ) 与4次轴垂直并与 a交 成 45 a b ) （ 3次轴 ( a b c ) 与3次轴垂直 （ a b )
6 m m 6 2 2 6/m 2/m 2/m
4/m 3
2/m
4/m4/m4/m
特征 对称 要素
无
1个2 或m
三个互相 垂直的2 或2个互 相垂直的 m
1个4 或 4
1个3 或 3
1个6 或 6
4个3
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表1.4 国际符号中各个符号在每个晶系中代表的方向 晶系 立方晶系 符号位序
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1
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图1.14
旋转平移
左-右旋
右-左旋
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螺旋轴有：
2次（平移距离为c/2，不分右旋和左旋。记为21）
3次（平移距离为c/3分为右旋或左旋，记为31或32） 4次（平移距离c/4或c/2，前者分为右旋或左旋，记为41 或43，后者不分左右旋为42） 6次（平移距离c/6，分右旋或左旋，记为61或65，平移距
(a ) 三个互相垂直的2次轴 (b )
(c )
(a )
2次轴 ( b )
1次轴 ( a )
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1.1.6 晶体的微观对称
1、微观对称要素（元素）和对称操作
（1) 螺旋轴和旋转平移
螺旋轴：晶体结构可借绕螺旋轴回转360/n角度同时沿轴平移 一定距离而得到重合，此螺旋轴称为n次螺旋轴。螺旋轴是一 个假想直线 对称动作：旋转+轴向平移，晶体中任一部分先绕轴旋转一定 角度后，再沿轴平移一定距离，使相等部分重复。
对称操作：反映，尤如照镜子一样。
对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过 晶体几何中心。
图1.13
晶体的对称面 目录 上页 下页 退出
图1.14立方体中的对称面
目录Leabharlann 上页下页退出3）对称中心和倒反
对称中心：若晶体中所有的点在经过某一点反演后
能复原，则该点就称为对称中心。晶体中心的一点
离c/3，分右旋或左旋，记为62或64，平移距离c/2，不分
左右旋，记为63）
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（2）滑动面和反映平移
是一个假想平面，相应对称操作是反映+滑移，晶体结构中任
意部分，先以滑移面为镜面反映，再平行于滑移面进行平移， 使相等部分重合。例：
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滑动面的符号： 如平移为a/2, b/2或c/2时，写作a,b或c； 如沿面对角线平移1/2距离，则写作n； 如沿面对角线平称1/4距离，则写作d。
重复所进行的动作。
对称要素（对称元素）：进行对称操作时所凭借的几何要 素。
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2、宏观对称要素和对称操作 1） 对称轴和旋转
对称轴：是一根通过晶体几何中心的假想直线，晶体绕此轴 旋转一定角度后，可使相等部分（晶面、晶棱或角顶）重复。 对称操作：晶体绕轴旋转。符号Ln，国际符号n。 L—对称轴，n—代表绕L旋转一周重复的次数。 n
对称操作—倒反。符号C，国际符号i。
晶体可有对称中心，可没有，但最多只有一个。
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4） 回转-反演轴与旋转倒反
回转-反演轴：若晶体绕某一轴回转一定角度，再
以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此
轴称为回转-反演轴。又称旋转反伸轴，符号Lin，
国际符号
n
对称操作－复合操作，旋转+反伸，先绕一根直线 旋转一定角度后，再通过该直线上某一点进行倒反。
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2、230种空间群
宏观对称→四种要素组合→32种点群，将四种 宏观对称要素和三种微观对称要素组合，可得 到230种空间群，80种没有找到实例，常见的
100多个，比较重要的30多个。
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Li1，Li2，Li3，Li4，Li6 注意：
1 ,2,3,4,6
绕某直线旋转一定角度后，相等部分并未重 复，只有经该直线上一点反伸，才能使晶体 相等部分重复。
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表1.2 晶体的宏观对称元素和对称操作
对称元素 1次
辅助几何元素
对称轴
2次 3次 4次 6次
360
α－基准角，使图形复原的最小旋转角。晶体中，对称轴只有1，
2，3，4，6次，即L1，L2，L3，L4，L6，没有L5和高于6次。
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立方晶系有3L4,4L3,6L2对称轴
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2） 对称面与反映
国际符号m。
是一个假想平面，它能把晶体分成互为镜象反映关系的两个相等部分，符号P，
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
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5)晶体的32种点群及分类
点群:把一个结晶多面体所具有的全部对称要 素以一定的顺序组合排列使成为晶体的对称 型。 所有晶体能存在的对称型共有32种，亦称32 种点群。
立方体的棱 ( a )
代表的方向
立方体的体对角线 ( a b c ) 立方体的面对角线 ( a b ) 6次轴 ( c )
六方晶系 四方晶系
a
菱方晶系
正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
与6次轴垂直 与6次轴垂直并与 a交 成 30 2 a b ) （ 4次轴 ( c ) 与4次轴垂直 ( a ) 与4次轴垂直并与 a交 成 45 a b ) （ 3次轴 ( a b c ) 与3次轴垂直 （ a b )
6 m m 6 2 2 6/m 2/m 2/m
4/m 3
2/m
4/m4/m4/m
特征 对称 要素
无
1个2 或m
三个互相 垂直的2 或2个互 相垂直的 m
1个4 或 4
1个3 或 3
1个6 或 6
4个3
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表1.4 国际符号中各个符号在每个晶系中代表的方向 晶系 立方晶系 符号位序
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1
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图1.14
旋转平移
左-右旋
右-左旋
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螺旋轴有：
2次（平移距离为c/2，不分右旋和左旋。记为21）
3次（平移距离为c/3分为右旋或左旋，记为31或32） 4次（平移距离c/4或c/2，前者分为右旋或左旋，记为41 或43，后者不分左右旋为42） 6次（平移距离c/6，分右旋或左旋，记为61或65，平移距
(a ) 三个互相垂直的2次轴 (b )
(c )
(a )
2次轴 ( b )
1次轴 ( a )
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1.1.6 晶体的微观对称
1、微观对称要素（元素）和对称操作
（1) 螺旋轴和旋转平移
螺旋轴：晶体结构可借绕螺旋轴回转360/n角度同时沿轴平移 一定距离而得到重合，此螺旋轴称为n次螺旋轴。螺旋轴是一 个假想直线 对称动作：旋转+轴向平移，晶体中任一部分先绕轴旋转一定 角度后，再沿轴平移一定距离，使相等部分重复。
对称操作：反映，尤如照镜子一样。
对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过 晶体几何中心。
图1.13
晶体的对称面 目录 上页 下页 退出
图1.14立方体中的对称面
目录Leabharlann 上页下页退出3）对称中心和倒反
对称中心：若晶体中所有的点在经过某一点反演后
能复原，则该点就称为对称中心。晶体中心的一点
离c/3，分右旋或左旋，记为62或64，平移距离c/2，不分
左右旋，记为63）
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（2）滑动面和反映平移
是一个假想平面，相应对称操作是反映+滑移，晶体结构中任
意部分，先以滑移面为镜面反映，再平行于滑移面进行平移， 使相等部分重合。例：
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滑动面的符号： 如平移为a/2, b/2或c/2时，写作a,b或c； 如沿面对角线平移1/2距离，则写作n； 如沿面对角线平称1/4距离，则写作d。
重复所进行的动作。
对称要素（对称元素）：进行对称操作时所凭借的几何要 素。
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2、宏观对称要素和对称操作 1） 对称轴和旋转
对称轴：是一根通过晶体几何中心的假想直线，晶体绕此轴 旋转一定角度后，可使相等部分（晶面、晶棱或角顶）重复。 对称操作：晶体绕轴旋转。符号Ln，国际符号n。 L—对称轴，n—代表绕L旋转一周重复的次数。 n
对称操作—倒反。符号C，国际符号i。
晶体可有对称中心，可没有，但最多只有一个。
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4） 回转-反演轴与旋转倒反
回转-反演轴：若晶体绕某一轴回转一定角度，再
以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此
轴称为回转-反演轴。又称旋转反伸轴，符号Lin，
国际符号
n
对称操作－复合操作，旋转+反伸，先绕一根直线 旋转一定角度后，再通过该直线上某一点进行倒反。
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2、230种空间群
宏观对称→四种要素组合→32种点群，将四种 宏观对称要素和三种微观对称要素组合，可得 到230种空间群，80种没有找到实例，常见的
100多个，比较重要的30多个。
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Li1，Li2，Li3，Li4，Li6 注意：
1 ,2,3,4,6
绕某直线旋转一定角度后，相等部分并未重 复，只有经该直线上一点反伸，才能使晶体 相等部分重复。
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表1.2 晶体的宏观对称元素和对称操作
对称元素 1次
辅助几何元素
对称轴
2次 3次 4次 6次
360
α－基准角，使图形复原的最小旋转角。晶体中，对称轴只有1，
2，3，4，6次，即L1，L2，L3，L4，L6，没有L5和高于6次。
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立方晶系有3L4,4L3,6L2对称轴
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2） 对称面与反映
国际符号m。
是一个假想平面，它能把晶体分成互为镜象反映关系的两个相等部分，符号P，