平面向量基本定理及其坐标表示教案
高三一轮复习教案15平面向量基本定理及其坐标表示
平面向量基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线． 一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． 两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 课前练习1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b3．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6)5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.四、典例精析题型一：平面向量基本定理的应用例1.如图，在ABC 中，14OC OA = ,12OD OB =,AD 与BC 交于点M ，设O A a = ，OB b = ，用,a b表示OM .例2如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.BOCADM题型二：平面向量的坐标运算例1.已知点A （2,3），B(5,4)，C(10,8)，若()AP AB AC R λλ=+∈,求当点P 在第二象限时λ的取值范围.例2.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)题型三：平面向量共线的坐标表示例1.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1,a b c ==-=回答下列问题： （1）若()()//2,a kc b a +-求实数k ；（2）设(),d x y =满足()()//d c a b -+ 且1d c -= ，求d .例2.已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73题型四：新定义型信息题例1.（2010.山东高考）定义平面向量间的一中运算“⊙”如下：对任意的()(),,,,a m n b p q ==令,a b mq np =-下面说法错误的是 （ ）（A ）若a 与b 共线，则0a b =（B ）a b b a =（C ）对任意的,R λ∈有()()a b a bλλ=（D ）()()2222a b a b a b +∙=例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________. 错因 搞错向量的夹角或计算错 实录 －12(填错的结论多种)．【训练4】 (2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]五、达标检测1．（2010全国Ⅱ）ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ABC ∠，若,,1,2,C B aC A b a b ====则CD = （ ） 12.33A a b + 21.33B a b + 34.55C a b + 43.55D a b +2．(2009广东)已知平面向量()()2,1,,,a x b x x ==- 则向量a b + （ ）A.平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线3.已知向量()11sin ,1,,1sin ,//2a b a b θθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则锐角θ等于 （ ）.30A .45B .60C .75D4． (2010陕西)已知向量()()()2,1,1,,1,2,a b m c =-=-=- 若()//,a b c +则m= .5.已知点A （1，-2），若向量AB 与()2,3a =同向，AB = 则点B 的坐标为 .6.设()()1212,,,a a a b b b == ，定义一种向量积：()1122,.a b a b a b ⊗=已知点()1,s i n ,2,,,0,23P m n πθθ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点Q 在y=f(x)的图像上运动，满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），求y=f(x)的最大值及其最小正周期.。
2022年精品 《平面向量基本定理及坐标表示》优秀教案
平面向量的根本定理及坐标表示平面向量根本定理及坐标表示一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解平面向量根本定理及意义，掌握正交分解下向量的坐标表示．认识平面向量根本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法．〔二〕学习目标1了解平面向量的根本定理及意义，能正确地运用平面向量根本定理2了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直3掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标进行向量的运算奠定根底〔三〕学习重点平面向量的根本定理，正交分解下向量的坐标表示〔四〕学习难点平面向量的根本定理的理解与应用二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：〔1〕平面向量根本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有．．．．一对实数，，使a＝我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底〔2〕向量夹角：两个非零向量a和b，作＝a，＝b，那么∠AOB＝叫作向量a与b的夹角同向时，夹角＝；当a与b反向时，夹角＝如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直记作a⊥b 〔3〕把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解在平面直角坐标系中，分别取轴、轴方向相同的两个单位向量i，，由平面向量根本定理可知，有且只有一对实数、使得那么把有序数对〔，〕叫做向量a的坐标，记作a＝〔，〕2．预习自测〔1〕只有不共线的两个向量可以作为基底〔〕【答案】√．〔2〕平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一的〔〕【答案】√．〔3〕假设，是同一平面内的两个不共线向量，那么〔，为实数〕可以表示该平面内所有向量〔〕【答案】√〔4〕向量a与b的夹角为，那么向量2a与－3b的夹角为〔〕A B C D【答案】C．〔5〕基向量i＝〔1,0〕，＝〔0,1〕，m＝4i－，那么m的坐标是〔〕A4,1 B－4,1 C4,－1 D－4,－1【答案】C二课堂设计1．知识回忆〔1〕实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：①；②时与a方向相同；时与a方向相反；时＝0〔2〕运算定律：①结合律：；②分配律：，〔3〕共线向量根本定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使2．问题探究探究一平面向量根本定理●活动①感性体会如图，，是平面内两个不平行的向量，请用，表示、、、我们容易得到：，，，【设计意图】让学生从计算特例入手，感性体会●活动②升华理解给定平面内任意两个向量，，平面内任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？如图〔1〕，设，是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量，请通过作图探究a 与，之间的关系如图〔2〕，在平面内任取一点O，作，，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得，由于，所以a＝也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．由此可得：平面向量根本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a＝【设计意图】从特殊到一般●活动③唯一性及普遍性思考：1假设上述向量，，a都为定向量，且，不共线，那么实数，是否存在？是否唯一？2假设向量a与或共线，a还能用表示吗？3平面向量根本定理中，不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？【设计意图】体会感知唯一性及普遍性，并进一步探究几个关键点：1我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2基底不惟一，关键是不共线；3由定理可将任一向量a在给出基底，的条件下进行分解；4基底给定时，分解形式惟一，是被a，，唯一确定的数量．●活动④稳固根底，检查反应例1 如果，是平面内两个不共线向量，那么以下说法中不正确的选项是①可以表示平面内的所有向量；②对于平面内任一向量a，使的实数对有无穷多个；③假设向量与共线，那么；④假设实数使得＝0，那么．A．①②B．②③C．③④D．②【知识点】平面向量根本定理．【解题过程】根据平面向量根本定理知：①是真命题，②是假命题；对于③，当或时不一定成立，应为；对于④，假设有一个不为0，不妨设，那么：；所以，共线，矛盾．【思路点拨】抓住基向量，不共线和平面向量a用基底，表示的唯一性．【答案】B同类训练下面说法中，正确的选项是①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内由无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底，，使成立的实数对一定是唯一的．A．②④B．②③④C．①③D．①③④【知识点】平面向量根本定理．【解题过程】根据平面向量根本定理知：①错；②正确；③正确；④正确．【思路点拨】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【答案】B例2 ，且a与b的夹角为60°，那么a＋b与a的夹角是_________，a－b与a的夹角是_________．【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义．【解题过程】如图，作，，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，那么，，，因为，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角为60°；因为，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC⊥AB，∠COA＝，即a b与a的夹角为30°．【思路点拨】根据向量的平行四边形法那么，以向量a和向量b做平行四边形，再根据向量加减几何意义进行求解．【答案】30°，60°．同类训练如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为12021与的夹角为30°，且，，假设，那么的值为_______．【知识点】向量的夹角、线性运算性质及意义．【解题过程】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形．由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，，可得平行四边形的边长为2和4，所以＝2＋4＝6．【思路点拨】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将用向量与表示即可．【答案】6●活动⑤强化提升，灵活应用例3 如图，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相较于点E，设，，试用基底，表示向量．【知识点】平面向量线性运算、根本定理及三点共线定理．【解题过程】由题知：，．由N，E，B三点共线，知存在实数m满足．由C，E，M三点共线，知存在实数n满足．由于，作为一组基底，所以，解得，所以．【思路点拨】利用N，E，B三点共线与C，E，M三点共线分别表示．再结合点M是AB的中点，且求解．【答案】．同类训练如图，在△OAB中，，，M、N分别是边OA、OB上的点，且，，设与相交于点，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB＝BE:EC＝2:1，求△A，n使得，所以①正确．只有当时，，所以②错，③正确．【思路点拨】根据平面向量根本定理．【答案】①③．4．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设，，那么m＋n＝________．【知识点】平行向量与共线向量．【解题过程】连接AO，那么，因为M，O，N三点共线，所以，所以．【思路点拨】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．【答案】25．如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，AD与EF相交于点G，CD＝2DB，AF＝4FB，AG＝mAD，AE＝tAC．〔1〕试用、表示；〔2〕假设，求t的值．【知识点】平面向量根本定理、向量共线及线性运算．．【解题过程】〔1〕因为CD＝2DB，所以，所以．〔2〕因为AF＝4FB，AE＝tAC，所以，，所以．因为E，F，G三点共线，所以，得．【思路点拨】〔1〕依据图象得到，将用、表示即得；〔2〕通过线性运算表示向量，再利用E，F，G三点共线．【答案】〔1〕；〔2〕．。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量基本定理及坐标表示教案doc
§5.2 平面向量基本定理及坐标表 示（教案）
2014高考会这样考 1.考查平面向 量基本定理的应用；2.考查向量的坐
则＝＋＝－，①
＝＋＝＋，② ①×y＋②×x得 ＝＋，
令＝，得y＝x，代入得m＝.
题型二 向量坐标的基本运算
C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c， 且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b －3c； (2)求满足a＝mb＋nc
的实数m，n；
(3)求M、N的坐标及向量的坐 标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝ (－6，－3)，c＝(1,8)．
∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋ 4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－.
(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4， y－1)，a＋b＝(2,4)，
由题意得，解得或，
∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．
探究提高 (1)运用向量的坐标表 示，使向量的运算完全代数化，
将数与形有机的结合．
(2)根据平行的条件建立方程求参 数，是解决这类题目的常用方法， 充分体现了方程思想在向量中的
应用．
(2011·北京)已知向量a＝(，1)， b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a －2b)与c共线，则k＝________.
答案 1
解析 a－2b＝(，1)－2(0，－ 1)＝(，3)，
又∵(a－2b)与c共线，∴(a－ 2b)∥c，
且u∥v，则实数x的值为 ________．
答案
平面向量基本定理及坐标表示(第一课时)教学设计
课题：2.3.1 平面向量基本定理琼山中学 李秋娇一、教学目标：1.知识与技能目标了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面上的任一向 量，为向量坐标化打下基础。
2.过程与方法目标通过对平面向量基本定理的学习过程，让学生体验数学定理的产生、形 成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观目标通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进 一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
二、重点和难点1.重点对平面向量基本定理的探究；2.难点对平面向量基本定理的理解及其应用。
三、教学方法在教法上采用“三主教学法”：教师主导、学生主体、思维主线。
四、教学手段使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。
五、教学过程1.知识回顾（1）数乘：实数λ与向量a 的积a λ.λ>0时，a λ与a 方向相同；λ<0时，a λ与a 方向相反；方向相同或相反的向量，称为共线向量。
（2）加法： ① ② ③ b 平移到共同起点，构成平行四边形， 再用平行四边形法则aa b c O AB C平行四边形法则 a b c O A B 三角形法则2.数形结合、探究规律 ①将a 平均分成4段，记其中一段为1e ，将b 平均分成3段，记其中一段为2e ，是否能用1e 和2e 表示c ？将a 平均分成5段，记其中一段为1e ，将b 平均分成2段，记其中一段为2e ，是否能用1e 和2e 表示c ？（将2e 绕O 点逆时针旋转180度？）学生观察：2134e e c +=，2125e e c +=，2125e e c -=，有怎样的共同形式？②平面内任一向量是否都可以用形如2211e e c λλ+= 的向量表示呢？（通过作图得到答案是肯定的。
）3.揭示内涵、理解定理平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ使 2211e e c λλ+=. 其中不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底。
平面向量的基本定理及坐标表示 教案(必修4)
诚西郊市崇武区沿街学校平面向量的根本定理及坐标表示§2.3.1平面向量根本定理教学目的：〔1〕理解平面向量根本定理；〔2〕理解平面里的任何一个向量都可以用两个不一一共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；〔3〕可以在详细问题中适当地选取基底，使其他向量都可以用基底来表达.教学重点：平面向量根本定理.教学难点：平面向量根本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向一样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb3.向量一一共线定理向量b 与非零向量a 一一共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1)我们把不一一共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不一一共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：例1向量1e ，2e 求作向量1e +32e .例2如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD例3ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4〔1〕如图，OA ，OB 不一一共线，AP =t AB (t R)用OA ，OB 表示OP .〔2〕设OA 、OB 不一一共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点一一共线.例5a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不一一共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 一一共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，那么有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.假设e1、e2不一一共线，那么同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不一一共线，那么a+b与c=6e1-2e2的关系A.不一一共线B.一一共线C.相等D.无法确定3.向量e1、e2不一一共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，那么x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.a、b不一一共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，假设c与b一一共线，那么λ1=.5.λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，那么a与e1_____，a与e2_________(填一一共线或者者不一一共线).五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕：七、板书设计〔略〕八、课后记：第5课时§2.3.2—§.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：〔1〕理解平面向量的坐标的概念；〔2〕掌握平面向量的坐标运算；〔3〕会根据向量的坐标，判断向量是否一一共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不一一共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不一一共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………我们把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =…………其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，那么点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA+=，那么向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算〔1〕假设),(11y x a =，),(22y x b =，那么b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，那么b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即ba +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= 〔2〕假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OBOA =(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)〔3〕假设),(y x a=和实数λ，那么),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，那么a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB 的坐标.例2a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB 时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D3=(6，0)例4三个力1F (3，4)，2F (2，5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =0得：(3，4)+(2，5)+(x ，y)=(0，0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (5，1)四、课堂练习：1．假设M(3，-2)N(-5，-1)且21=MP MN ，求P 点的坐标 2．假设A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，那么AB2BC =.3．：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕七、板书设计〔略〕八、课后记：第6课时§2.3.4平面向量一一共线的坐标表示教学目的：〔1〕理解平面向量的坐标的概念；〔2〕掌握平面向量的坐标运算；〔3〕会根据向量的坐标，判断向量是否一一共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算假设),(11y x a=，),(22y x b =，那么ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1)，b =(x2，y2)其中ba .由a=λb 得，(x1，y1)=λ(x2，y2)⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ，x1y2-x2y1=0探究：〔1〕消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0∴x2，y2中至少有一个不为0〔2〕充要条件不能写成2211x y x y =∵x1，x2有可能为0(3)从而向量一一共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例：例1a =(4，2)，b =(6，y)，且a ∥b，求y.例2A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P 是线段P1P2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4假设向量a=(-1，x)与b =(-x ，2)一一共线且方向一样，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ，2)一一共线∴(-1)×2-x•(-x)=0∴x=±2∵a 与b方向一样∴x=2例5A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD =(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0∴AB ∥CD又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB =(2，4)，2×4-2×60∴AC 与AB 不平行∴A，B ，C 不一一共线∴AB 与CD 不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.假设a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，那么y=〔〕A.6B.5C.7D.82.假设A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点一一共线，那么x 的值是〔〕A.-3B.-1C.1D.33.假设AB =i+2j ，DC =(3-x)i+(4-y)j(其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向一样且为单位向量).AB 与DC 一一共线，那么x 、y 的值可能分别为〔〕 A.1，2B.2，2 C.3，2D.2，44.a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，那么y=.5.a=(1，2)，b=(x ，1)，假设a+2b 与2a-b 平行，那么x 的值是.6.□ABCD 四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，那么x=.五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕七、板书设计〔略〕八、课后记：。
高中数学第二章平面向量第3节平面向量的基本定理及坐标表示平面向量基本定理数学教案
第1课时平面向量基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a 能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.2．归纳总结，核心必记(1)平面向量基本定理OA＝a，OB＝b，则∠a与b的夹角范围[0，π]特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b θ＝180°a与b反向[问题思考](1)0能与另外一个向量a构成基底吗？提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．[课前反思](1)平面向量基本定理：；(2)基底：；(3)基向量：；(4)向量的夹角： .知识点1对基底向量概念的理解讲一讲1．(1)如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2； ④若存在实数λ，μ，使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④(2)设e 1，e 2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1[尝试解答] (1)由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B.(2)∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线，不能作为平面向量的一组基底．答案：(1)B (2)B类题·通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．练一练1．如果e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的是( )A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：选A A是正确的，B是错误的，这样的a只能是与e1，e2在同一个平面内的向量，不能是空间中的任一向量，C是错误的，在平面α内任一向量都可以表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，D是错误的，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对，综上所述，只有A是正确的.向量的夹角问题知识点2讲一讲2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a 的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[尝试解答] 如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b.因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.类题·通法两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．练一练2．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使AB ＝BD ，则AB ＝BD ，∴∠DBC 为向量AB 与BC 的夹角．∵∠DBC ＝120°，∴向量AB 与BC 的夹角为120°.(2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴AE 与EC 的夹角为90°. 知识点3 平面向量基本定理的应用讲一讲3．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC ＝λOE＋μOF ，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．[尝试解答] 在矩形OACB 中，OC ＝OA ＋OB ，又OC ＝λOE ＋μOF＝λ(OA ＋AE )＋μ(OB ＋BF )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫OA ―→＋13OB ―→ ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB ―→＋13OA ―→ ＝3λ＋μ3OA ＋3μ＋λ3OB ， 所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1， 所以λ＝μ＝34. 类题·通法(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a ，b 是同一平面内的两个不共线向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 2，y 1＝y 2.(2)重要结论设e 1，e 2是平面内一组基底， 当λ1e 1＋λ2e 2＝0时 恒有λ1＝λ2＝0若a ＝λ1e 1＋λ2e 2 当λ2＝0时，a 与e 1共线当λ1＝0时，a 与e 2共线λ1＝λ2＝0时，a ＝0练一练3．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明：设AB ＝b ，AC ＝c ，则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ＝23c ， BN ＝BA ＋AN ＝23c －b . 因为AP ∥AM ， BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ，又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ，所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝45，μ＝35. 故AP ＝45AM . 即AP ∶PM ＝4∶1.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．2．本节课要重点掌握以下三个问题(1)正确理解基底向量的概念，见讲1；(2)求向量的夹角，见讲2；(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3.3．本节课的易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角，如练2.课下能力提升(十七)[学业水平达标练]题组1 对基底向量概念的理解1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：选C 因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．2．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD ＝2DC ，以b 与c 作为基底，则AD ＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：选A ∵BD ＝2DC ，∴AD －AB ＝2(AC －AD )，∴AD －c ＝2(b －AD )，∴AD ＝13c ＋23b . 3.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：选B 取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 题组2 向量的夹角问题4．若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是( )A ．60° B．120°C ．30° D．150°解析：选A 平移向量a ，b 使它们有公共起点O ，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a 与－b 的夹角也是60°.5．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB 与BC 的夹角是( )A ．30° B．60°C ．120° D．150°解析：选C 如图，作向量AD ＝BC ，则∠BAD是AB 与BC 的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，所以∠BAD ＝120°. 6．如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝23，若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC ＝OD ＋OE . 在Rt △OCD 中，∵|OC |＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD |＝4，|CD |＝2， 故OD ＝4OA ，OE ＝2OB ， 即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 题组3 平面向量基本定理的应用7．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ，y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4 解析：选D ∵向量e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.8．已知在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点．若AP ＝mAB ＋211AC ，则实数m 的值为( )A.911B.511C.311D.211解析：选C 设BP ＝λBN ，则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋λBN ＝AB ＋λ(AN －AB )＝AB ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC ―→－AB ―→ ＝(1－λ) AB ＋λ4AC ＝m AB ＋211AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝811，m ＝311.9．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为以a ，b 为基向量的线性组合，即e 1＋e 2＝________.解析：设e 1＋e 2＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，∵a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，∴e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.∴e 1＋e 2＝23a －13b .答案：23a －13b10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.[能力提升综合练]1.如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ； ③CA 与DC ；④OD 与OB .其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④解析：选B AD 与AB 不共线，DA ∥BC ，CA 与DC 不共线，OD ∥OB ，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．2B ．4C ．5D ．7解析：选B 以如图所示的两互相垂直的单位向量e 1，e 2为基底，则a ＝－e 1＋e 2，b ＝6e 1＋2e 2，c ＝－e 1－3e 2，因为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，所以－e 1－3e 2＝λ(－e 1＋e 2)＋μ(6e 1＋2e 2)＝(－λ＋6μ)e 1＋(λ＋2μ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.故选B.3．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，7AE ＝ 5 AB ，AD ＝4AF ，EF 交AC 于点K ，AK ＝λOA ，则实数λ的值为( )A ．－1027B ．－13 C.1027 D.13解析：选 A 因为AK ＝λOA ＝－λAO ＝－λ2( AB ＋AD )，所以AK ＝－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫75AE ―→＋4AF ―→ .又E ，F ，K 三点共线，所以－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋4＝1，解得λ＝－1027.故选A.4．如图，在△ABC 中，M 为边BC 上不同于B ，C 的任意一点，点N 满足AN ＝2NM .若AN ＝x AB ＋y AC ，则x 2＋9y 2的最小值为________．解析：根据题意，得AM ＝32AN ＝32x AB ＋32y AC .因为M ，B ，C三点共线，所以有32x ＋32y ＝1，即x ＋y ＝23⎝⎛⎭⎪⎫0<y <23，所以x 2＋9y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－y 2＋9y 2＝10y 2－43y ＋49＝10⎝⎛⎭⎪⎫y －1152＋25⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y <23，所以当y ＝115时，x 2＋9y 2取得最小值25.答案：255．若a ≠0，b ≠0，|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为________．解析：如图，作OA ＝a ，OB ＝b ，则BA ＝a －b .以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴∠BOA ＝60°，四边形OACB 为菱形．又OC ＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 的夹角为30°.答案：30°6．如图所示，平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 是BC 的中点，设AB ＝b ，AD ＝d ，AM ＝m ，AN ＝n .(1)试以b ，d 为基底表示MN ； (2)试以m ，n 为基底表示AB . 解：(1) MN ＝AN －AM ＝(AB ＋BN )－(AD ＋DM )＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫d ＋12b ＝12(b －d )．(2)m ＝AD ＋DM ＝d ＋12AB ，①n ＝AB ＋BN ＝AB ＋12d ，所以2n ＝2 AB ＋d .②由①②消去d ，得AB ＝43n －23m .7．如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，且AE 与CD 交于点P ，求△APC 的面积．解：设AB ＝a ，BC ＝b 为一组基底， 则AE ＝a ＋23b ，DC ＝13a ＋b .∵点A ，P ，E 共线且D ，P ，C 共线，∴存在λ和μ，使AP ＝λAE ＝λa ＋23λb ，DP ＝μDC ＝13μa ＋μb .又AP ＝AD ＋DP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13μa ＋μb .∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23＋13μ，23λ＝μ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.连接BP (图略)，则S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47＝8，S △PBC ＝14×⎝⎛⎭⎪⎫1－67＝2，∴S △APC ＝14－8－2＝4.。
平面向量基本定理及坐标表示经典教案【强烈推荐】
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算．1． 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．若，为同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一一对实数x,y, 使OB y OA x OP +=。
性质：若x=y=21,则点P 为AB 中点； 若x+y=1，则点A ，B ，P 三点共线。
向量的正交分解：2． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa (2)①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3． 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0. a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1. [难点正本 疑点清源] 1． 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2． 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.答案 0解析 由k a ＋b 与b 平行得－3(2k ＋2)＝2(k －3)，∴k ＝0. 3． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于 ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b 答案 B 解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝x －y 2＝x ＋y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1. 4． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12C ．1D ．2 答案 B 解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2)，而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.题型一 平面向量基本定理例1 （1）若向量()1,1a =, ()1,1b =-,()1,2c =-，则c等于( )A.21a 23-bB.21-a +23bC.23a 21-b D.23-a + 21b答案：.A（2）已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ，则λ+μ= 。
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考情播报
1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点.
2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主.
1.平面向量基本定理
(1)条件:e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量.
结论:对于这一平面内任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =
λ1e 1+λ2e 2.
(2)关于平面向量基本定理的几点说明:
①e 1、e 2为不共线向量,把它们叫做这一平面内所有向量的一组基底.
②平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合
③.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一:λ1、λ
2 是被a 、e 1、e 2唯一确定的数量. 2.平面向量的正交分解与坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内的
一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,因此把(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a=(x,y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2);
(2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1
); (3)若a =(x,y),则λa =(λx,λy);
(4)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2
),则a =b ⇔⎩⎨⎧==；2121y y ，x x (5)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
质疑探究:相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起点和终点坐标可以不同吗?
提示:一定相同.可以不同. 例如A(3,5),B(6,8), AB =(3,3);C(-5,3),D(-2,6),CD =(3,3),
显然AB =CD ,
但A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同.
考向一。
平面向量基本定理及其应用
【例1】 如图所示,在△ABC 中,
H 为BC 上异于B,C 的任一点,M 为AH 的中点,若AM =λAB +μAC ,则λ+μ= .
思维导引:由于B 、H 、C 三点共线,
可用AB 、AC 来表示AH ,
从而求得AM 与AB 、AC 的关系.
解析:由B 、H 、C 三点共线, 可设BH =x HC (x>0),
∴AH -AB =x(AC -AH ),
AH =x x +1AC +x
+11AB ,
又由M 为AH 的中点知 AM =21AH =1)x 21+（AC +1)
x 21+（AB , 又∵AM =λAB +μAC ,
∴λ+μ=1)x 21+（+1)x 21+（=2
1. 答案: 2
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反思归纳：平面向量基本定理表明,平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一表示,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算.
一个结论：
若A,B,C 三点共线，则对于平面内的任意一点O ，都有
变式训练1 如图，在△ABC 中，AN →＝
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NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211
AC →，则实数m 的值为________． )
1(=++=μλμλ解析 设|BP →|＝y ，|PN →|＝x ，。