2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题39 开放性问题(含解析)(003)
开放性问题
一.选择题
1. （2019•广东省广州市•3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α
（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为15°或45°．
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，∠BAD＝45°，即α＝45°．
故答案为：15°或45°
【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．
2. （2019•甘肃省庆阳市•4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为
这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝
综上所述，特征值k为或
故答案为或
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注
意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
二.填空题
1.
三.解答题
1. 1. （2019•江西•9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下研究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时铅笔AB的中点C与点O重合。
数学思考;
(1)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm ;
①用含x的代数式表示：AD的长是cm ，BD的是
cm
②y与x的函数关系式是自变量x的取值范围是
活动二
x(cm) 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y(cm) 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象
数学思考
请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质
【考点】此题主要考察相似三角形的判定及性质，难度不大．需要注意的是自变量的取值范围，要考虑端点值。
最后一问开放题，说明函数图像的性质，可以从图象位置，增减性，最值等几个角度入手，考察同学们的发散思维能力．
【解析】（1）∵AB=12且C为AB中点
∴AC=BC=6
∵CD=x
∴AD=AC+CD=6+x
BD=BC-CD=6-x
②：∵BG⊥OF
∴BG∥AE
∴△BGD△AOD
则有
错误！不能通过编辑域代码创建对象。
依题意得：AO=AC=6
代入得：
错误！不能通过编辑域代码创建对象。
，此时自变量x的取值范围是06．∴
错误！不能通过编辑域代码创建对象。
（2
x(cm) 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y(cm) 0 0.55 1.2 1.58 2 2.47 3 4.29 5.08 6
②如图所示。
（3，2）和（0，6）③如图所示。
（3）性质可从三个角度入手，从图象位置，增减性，最值三个角度入手
从位置角度：当06时，图象在象限内的图象在第一象限
当06时，图象与坐标轴有两个交点
从增减性角度：当06时，y随x增大而减小
从最值角度理解：当x=6时，y取到最小值为0
2. （2019•浙江杭州•4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，
函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式y＝﹣x+1．
【分析】根据题意写出一个一次函数即可．
【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，
∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，
∴
解得：，
所以函数的解析式为y＝﹣x+1，
故答案为：y＝﹣x+1．
【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．3. （2019•贵州省安顺市•14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，
B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；
（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A（0，3），∴B（﹣4，1）
①当点B、C、M三点不共线时，
|MB﹣MC|＜BC
②当点B、C、M三点共线时，
|MB﹣MC|＝BC
∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，
过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）
在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，
在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，
过点P作PQ⊥P A于点P，则∠APQ＝90°，
过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°∠P AG＝∠QAP，∴△PGA∽△QP A
∵∠PGA＝∠ACB＝90°
∴①当时，
△P AG∽△BAC，
∴＝，
解得x1＝1，x2＝0，（舍去）
∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，
∴点P为（1，6）；
②当时，
△P AG∽△ABC，
∴＝3，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），
∴此时无符合条件的点P
综上所述，存在点P（1，6）．
4.
5.
6.
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10.。
2020年中考数学一轮专项复习——图形的对称中考真题汇编(含详细解答)
2020年中考数学一轮专项复习——图形的对称中考真题汇编一．选择题1．（2019•深圳）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2019•兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（）A．B．C．﹣1 D．﹣14．（2019•攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种6．（2019•乐山）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1 C．D．7．（2019•台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（）A．：1 B．3：2 C．：1 D．：28．（2019•湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B．C．D．9．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）10．（2019•重庆）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4C．2+4 D．3+211．（2019•重庆）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD 翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．12．（2019•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题13．（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．15．（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．16．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．17．（2019•泰安）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．18．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．19．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．20．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．21．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．22．（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．23．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD 上，若DE＝5，则GE的长为．24．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB 的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．三．解答题25．（2019•天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．26．（2019•临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．27．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．28．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．29．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．30．（2019•鞍山）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．参考答案一．选择题1．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，∴BD＝AB＝2，∴OD＝BO＝OC＝1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE＝DC＝，DF⊥CE，∴OE＝﹣1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°，∴∠ODM＝∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM＝OE＝﹣1，故选：D．4．解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等边三角形，显然F G≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④错误，故选：B．5．解：共有6种拼接法，如图所示．故选：D．6．解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝，∴BE＝．根据折叠性质可得BF＝2BE＝3．∴CF＝3﹣．∵AD∥CF，∴△ADG∽△FCG．∴．设CG＝x，则，解得x＝﹣1．故选：A．7．解：如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM＝∠MDF＝∠FDN＝∠NDK，∴∠CDK＝∠DKF＝90°，DK＝FK，DF＝DK，∴＝＝＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），∴＝＝，∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为：1，故选：A．8．解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB，∴PM＝AB，∵PM＝＝，∴AB＝，故选：D．9．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．10．解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．11．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．12．解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形E FGH 的面积＝×正方形ABCD 的面积＝，∴正方形EFGH 的边长GF ＝＝∴HF ＝GF ＝∴MF ＝PH ＝＝a∴＝a ÷＝故选：A ．二．填空题（共12小题）13．解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值，∵MC ＝＝∴A ′C 的最小值＝MC ﹣MA '＝﹣1故答案为：﹣114．解：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°，∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，A ′B ′∥AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．16．解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．17．解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．18．解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝﹣（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．19．解：如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H为AB的中点，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝，故答案为：．20．解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案为a+8b．21．解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴D x，∵•x•x＝1，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）＝10+6．故答案为10+622．解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．∴tanαn＝＝．故答案为：．23．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S＝AB•AF＝BF•AH，△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案为：．24．解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．三．解答题（共6小题）25．解：（1）如图①，直线m即为所求（2）如图②，直线n即为所求26．解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．27．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．28．解：（1）如图所示：（2）依题意有＝，解得m1＝，m2＝（负值舍去），经检验，m1＝是原方程的解．故m的值是；（3）∵≠，∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．29．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠E CB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．30．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，∵C（3，2），C2（﹣2，﹣3），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，∴直线l垂直平分直线CC2，∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．。
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题10 平面直角坐标系与点的坐标(含解析)(002)
平面直角坐标系与点的坐标一.选择题1. （2019·贵州安顺·3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵m2+1＞0，∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，∴点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，故选：D．2.（2019•海南省•3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（3，0）【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．3．(2019•浙江丽水•3分)如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处【考点】用方向角+距离表示地理位置．【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处故选D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．4.．（2019湖南常德3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）【分析】坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．5．（2019•山东青岛•3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．二.填空题1.（2019•四川省广安市•3分）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是x＞1．【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可．【解答】解：∵点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，∴x﹣1＞0解得x＞1，即x的取值范围是x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2. （2019•甘肃庆阳•4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．3. （2019•黑龙江省绥化市•33x的取值范围是．答案：x≠4考点：分式的意义。
2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编(含详细解答)
2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编一．选择题1．（2019•济南）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．（2019•湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°3．（2019•大连）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．菱形D．平行四边形4．（2019•内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 5．（2019•河北）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对6．（2019•毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方7．（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（）A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）9．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）10．（2019•贵港）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n 的值是（）A．1 B．3 C．5 D．7 11．（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+） D．（﹣3，）12．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）13．（2019•呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（）A．（﹣2，），（2，﹣）B．（﹣，2），（，﹣2）C．（﹣，2），（2，﹣）D．（，）（）14．（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）15．（2019•青岛）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）16．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）17．（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF＝BC D．S四边形AEOF＝S△ABC 18．（2019•天津）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC二．填空题19．（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D 旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．20．（2019•包头）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．21．（2019•梧州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP 的长是．22．（2019•河池）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．23．（2019•贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE 交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．24．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．25．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．26．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．27．（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为．28．（2019•哈尔滨）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．29．（2019•海南）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB ＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝．30．（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．三．解答题31．（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．32．（2019•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B （﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）33．在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．34．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．（2）如图2，CP＝BC，求的值．（3）在（2）的条件下，若MD＝，求线段AB的长．35．（2019•日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．36．（2019•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADE的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）37．（2019•辽阳）如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．（1）∠AFD与∠BCE的关系是；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．①∠AFD与∠GCD的关系是，请说明理由；②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．38．（2019•本溪）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．故选：D．3．解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．4．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.6，故选：A．5．解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．6．解：如图所示：每次旋转4个图形为一个周期，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．7．解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴点P′的坐标为（3，﹣2）．故选：D．8．解：如图，在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，∴BC＝OC＝×＝1，∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，∴点B′的坐标为（，﹣1）．故选：A．9．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10．解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，则m+n＝﹣2+7＝5．故选：C．11．解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．12．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．13．解：如图，连接OA、OD，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，∴D（，﹣2），∵B、D关于原点对称，∴B（﹣，2），故选：B．14．解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，∴A′（，1）．故选：A．15．解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．16．解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），故选：A．17．解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，选项D正确．故选：C．18．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故D正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误故选：D．二．填空题（共12小题）19．解：过点A作AM⊥BC于M，∵BD＝DC＝2，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；故答案为：8．20．解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，∴∠ACB＝∠AED＝100°，∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故答案为：121．解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．22．解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1过点C作CD⊥x轴于点D，则易知△ACD≌△BAO（AAS）∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2∴C（3，2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得∴∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．故答案为：y＝2x﹣4．23．解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB•GF＝FN•AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．故答案为6﹣2．24．解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．25．（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，26．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．27．解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，∴点A的坐标为（3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，则点A′的坐标为（1，2），再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．28．解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝故答案为29．解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝故答案为：30．解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm，故答案为：（10﹣2）cm．三．解答题（共8小题）31．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A 1C1＝4，∴NC 1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．32．解：（1）如图，△A l B1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．33．解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，OA＝＝，所以点A所经过的路径长＝＝π．△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（﹣1，﹣1）．34．解：（1）∠D＝∠AMP．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°．∴∠D+∠DMA＝60°．由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．∴∠D＝∠AMP；（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．∴∠GCP＝∠B＝30°，∠BCG＝150°．∵∠ACB＝90°，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝BM＝AM．∴∠MCB＝∠B＝30°．∴∠MCG＝120°．∵∠MAD＝180°﹣60°＝120°．∴∠MAD＝∠MCG．∵∠DMG﹣∠AMG＝∠AMC﹣∠AMG，∴∠DMA＝∠GMC．在△MDA与△MGC中，∴△MDA≌△MGC（ASA）．∴AD＝CG．∵CP＝BC．∴CP＝BP．∵CG∥BM，∴△CGP∽△BMP．∴＝＝．设CG＝AD＝t，则BM＝3t，AB＝6t．在Rt△ABC中，cos B＝＝．∴BC＝3t．∴＝＝；（3）如图，由（2）知△CGP∽△BMP．则MD＝MG＝．∵CG∥MA．∴∠CGH＝∠AMH．∵∠GHC＝∠MHA，∴△GHC∽△MHA．∴＝＝＝．∴HG＝MG＝×＝．∴MH＝﹣＝．由（2）知，CG＝AD＝t，则BM＝AM＝CA＝3t．∴CH＝t，AH＝t．∵∠MHA＝∠DHM，∠HMA＝∠D．∴△MHA∽△DHM．∴＝．∴MH2＝AH•DH，即（）2＝t t．解得t1＝，t2＝﹣（舍去）．∴AB＝6t＝2．35．证明：（1）∵对角线AC的中点为O∴AO＝CO，且AG＝CH∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA）∴FO＝EO，且GO＝HO∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴AE2＝（9﹣AE）2+9，∴AE＝536．解：（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，∴＝＝1．（2）如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．不妨设∠ADC＝30°，则AD＝AC，AE＝AB，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∴＝＝．（3）如图3中，如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n∴＝＝．37．解：（1）如图1，AF与CD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，∴∠ACD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠BCE，故答案为：∠AFD＝∠BCE；（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，∵∠AMC＝∠DMF，∴△ACM∽△DFM，∴∠ACD＝∠AFD，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，∴△AOD≌△COG（SAS），∴AD＝CG，∴CG＝CD，∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，故答案为：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，∴∠GCA＝∠BCE，∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠GCB＝∠ACE，由①知，CG＝CD，CD＝CA，∴CG＝CA，∵BC＝EC＝4，∴△GCB≌△ACE（SAS），∴BC＝CE＝4，∴GB＝AE，∵CG＝CD，OG＝OD，∴CO⊥GD，∴∠COG＝∠COB＝90°在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠ACB＝2，CO＝BC•cos∠ACB＝2，在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2，∴GB＝CO+BO＝2+2，∴AE＝2+2．38．解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，∴∠OCA＝∠A，∵BE＝ED，BO＝OA，∴OE∥AD，OE＝AD，∴CE＝EO．∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图2中，∵OC＝OA，DA＝DB，∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，∴∠COA＝∠ADB，∵∠MON＝∠ADB，∴∠AOC＝∠MON，∴∠COM＝∠AON，∵∠ECO＝∠OAC，∴∠MCO＝∠NAO，∵OC＝OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM＝ON．②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，∵△OCM≌△OAN，∴CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，∴BD＝m，∵BE＝ED，∴CE＝BD＝m，∴EM＝CM+CE＝m+m．如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，∴∠ONH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HN＝m，∵AH＝m，∴CM＝AN＝m﹣m，∵EC＝m，∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．。
2020年中考数学一轮专项复习——全等三角形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——全等三角形基础过关1. (2019安顺)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A. ∠A＝∠DB. AC＝DFC. AB＝EDD. BF＝EC第1题图2. 如图，△ABC中AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定()A. △ABD≌△ACDB. △ABE≌△ACEC. △BDE≌△CDED. 以上答案都不对第2题图3. (2019柳州)如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对第3题图4. 如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为()A．30°B．35°C．40°D．50°第4题图5. (2019呼和浩特)下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为________．6. (人教八上P56复习题12第9题改编)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，若AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm.则BE的长________．第6题图7. 如图，AB＝DE，AC＝DF，已知点E、C在线段上BF上，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF.第7题图8. (2019陕西)如图，点A、E、F、B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD.求证：CF＝DE.第8题图9.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.求证：△ABC≌△CDE.第9题图10.已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF. 求证：∠A＝∠C.11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADE＝∠ECD，DB＝DC.求证：△ABD≌△EDC.第11题图能力提升1. 如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为43，则AC＝________．2. (2019温州)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．第2题图满分冲关(2019安顺)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为________；(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．题图参考答案基础过关1. A 【解析】由题意可知，∵AB ∥ED ，∴∠ABC ＝∠DEF ，又∵AC ∥DF ，∴∠DFE ＝∠ACB ，B 、C 、D 选项中已知条件均可与题干中的条件构成角角边或角边角，使得△ABC ≌△DEF ，A 选项中∠A ＝∠D ，可判定△ABC ∽△DEF ，并不能判定全等．2. B3. C 【解析】△ABD ≌△CDB ，△ADO ≌△CBO ，△AOB ≌△COD ，△ABC ≌△CDA ，共4对全等三角形．4. C 【解析】∵△ACB ≌△A ′CB ′，∴∠A ′CB ′＝∠ACB ＝70°.∵∠ACB ′＝100°，∴∠BCB ′＝∠ACB ′－∠ACB ＝30°.∴∠BCA ′＝∠A ′CB ′－∠BCB ′＝40°.5. ①②6. 0.8 cm 【解析】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°，∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠ADC ∠EBC ＝∠DCA BC ＝CA，∴△CEB ≌△ADC (AAS)，∴BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5 cm.∵DC ＝CE －DE ＝2.5－1.7＝0.8 cm ，∴BE ＝0.8 cm.7. 证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE AC ＝DF BC ＝EF， ∴△ABC ≌△DEF (SSS)．8. 证明：∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴AF ＝BE ， ∵AC ∥BD ， ∴∠CAF ＝∠DBE ， 在△ACF 与△BDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ∠CAF ＝∠DBE AF ＝BE， ∴△ACF ≌△BDE (SAS)． ∴CF ＝DE .9. 证明：∵AC ∥DE ，∴∠ACD ＝∠D ，∠E ＝∠ACB ， 又∵∠ACD ＝∠B ， ∴∠D ＝∠B ，在△ABC 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠E ∠B ＝∠D AC ＝CE， ∴△ABC ≌△CDE (AAS)．10. 证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E 、F ， ∴∠AED ＝∠CFD ＝90°， ∵D 为AC 的中点， ∴AD ＝DC .在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC DE ＝DF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL)， ∴∠A ＝∠C .11. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠EDC ， 在△ABD 和△EDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2DB ＝DC ∠ABD ＝∠EDC， ∴△ABD ≌△EDC (ASA)．能力提升1. 4 【解析】如解图，将△ACD 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AEB .∵四边形内角和360°，∠BAD ＋∠BCD ＝120°，∴∠D ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABE ＋ABC ＝180°，∴E 、B 、C 三点共线，根据旋转性质可知∠EAC ＝60°，AE ＝AC ，∴△AEC 是等边三角形，S 四边形ABCD ＝S △AEC ＝34AC 2＝43，解得AC ＝4(负值已舍)．第1题解图2. (1)证明：∵CF ∥AB ， ∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F . ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCD ∠BED ＝∠CFD BD ＝CD， ∴△BDE ≌△CDF (AAS)； (2)解：∵△BDE ≌△CDF ， ∴BE ＝CF ＝2，∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3. ∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ， ∴AC ＝AB ＝3.满分冲关解：(1)AD ＝AB ＋DC ；【解法提示】∵AB ∥CD ，∴∠EFC ＝∠EAB ，又∵AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠EAB ，∴∠DAE ＝∠EFC ，∴DF ＝AD ，又∵DF ＝DC ＋CF ，CF ＝AB ，∴AD ＝AB ＋DC .(2)AB ＝AF ＋CF .证明：如解图，延长AE 交DF 的延长线于点G ，解图∵E 是BC 的中点， ∴CE ＝BE ， ∵AB ∥DC ， ∴∠BAE ＝∠G .在△AEB 和△GEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠G ∠AEB ＝∠GEC BE ＝CE，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ， ∵AE 是∠BAF 的平分线， ∴∠BAG ＝∠F AG ，∵∠BAG ＝∠G ，∴∠F AG ＝∠G ，∴F A ＝FG ，∵CG ＝CF ＋FG ，∴AB ＝AF ＋CF .。
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题30 圆的有关性质(含解析)(002)
圆的有关性质一.选择题1.（2019湖北宜昌3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2. （2019•甘肃庆阳•3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB ＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3. （2019·贵州安顺·3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选：D．4. （2019•河北省•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．C．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．5. （2019•贵州省铜仁市•4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；100°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，6. （2019•海南省•3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．7．（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2【分析】连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠P AB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，P A＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．【解答】解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D 作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝F A＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．9．(2019•湖北宜昌•3分)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( ) A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二.填空题1.（2019•湖北省随州市•3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为______．【答案】40°【解析】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2.（2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．3. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4. （2019•黑龙江省绥化市•3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．答案：53或52考点：等边三角形，三角函数。
2020年中考数学第一轮复习 第四节 因式分解 知识点+真题(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第一章 数与式第四节 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式 整式的积 【注意：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【注意：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【注意：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】 三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【注意：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【中考真题考点例析】考点一：因式分解的概念A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x +2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2. （2019山东东营）因式分解：x(x-3)-x+3= ．对应练习2－1．（2019年济南）分解因式：244m m -+=_____．（ ） （ ）对应练习2－2．（2019年莱芜）分解因式：a 3﹣4ab 2= ．考点三：因式分解的应用例1. 答案：6，1对应练习1－1． 答案：D考点二：因式分解例2. 答案：B对应练习2－1． 答案：2(2)m -对应练习2－2． 答案：a （a+2b ）（a ﹣2b ）考点三：因式分解的应用例3. 答案：4对应练习3－1． 答案：18【聚焦中考真题】一、选择题：1．（2019年山东临沂）将a 3b －ab 进行因式分解，正确的是（ ）A ．a(a 2b －b)B ．ab(a －1)2C ．ab(a+1)(a －1)D ．ab(a 2－1)2．（2019潍坊）下列因式分解正确的是（ ）A ．3ax 2－6ax=3(ax 2－2ax)B ．x 2+y 2=(－x+y)(－x －y)C ．a 2+2ab －4b 2=(a+2b)2D ．－ax 2+2ax －a=－a(x －1)23.（南昌）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2-xy+x=x （x -y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a -b ）2C ．x 2-2x+4=（x -1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x -3）4．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+95．（佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）6．（恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）2二、填空题：7.（2019年威海）分解因式:2x 2－2x ＋＝ .8．（2019年淄博）分解因式：=++x x x 6523 ．A ．3x -6x=x （3x-6）B ．-a +b =（b+a ）（b-a ）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）233．（内江）若m-n=6，且m-n=2，则m+n= ．参考答案一、选择题：1-5 CDBDC 6 C二、填空题：6.答案：()221 12x-7.答案：()()32++xxx8.答案：m(x+y)(x-y)9.答案：m(m-5)10.答案：B11.答案：2)2 (-ba12.答案：x(2-x)(2+x)13. 答案：5(x+2)(x -2)14. 答案：m(m+2)(m -2)15. 答案：b(a+2b)(a -2b)17. 答案：-91(3x+1)(3x -1)16. 答案：3(a+2b)(a -2b)17. 答案：2x(x -2)18. 答案：2m(m+2)(m -2)19. 答案：2（a+2b ）(a -2b)20. 答案：22）（-x21. 答案：a(b+1)(b -1)22. 答案：(x -1)23. 答案：a(a -2)24. 答案：x(x+y)25. 答案：(a+3)(a -3)26. 答案：x -227. 答案：(x+y)(x -y)28. 答案：(x+3y)(x -3y)29. 答案：a(m+2n)(m -2n)30. 答案：))((22x y x y y x -+ 31. 答案：332. 答案：2433. 答案：x(x+1)(x -1)34. 答案：-31。
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)
第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. （2019重庆模拟）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是 （ ）A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . （2019临沂）如图，在？ABCD 中，M, N 是BD 上两点,个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（）B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图，将矩形纸片 数为（ ）ABCD 沿BD 折叠，得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图，矩形 ABCD 中，A （-2, 0）, B （2, 0）, C （2, 2）,将AB 绕点A 旋转，使点 B 落在边CD 上的点E 处，则点E 的坐标为（）B. (2击，2) D. (2^3-2, 2)4. （2019贵阳模拟）如图，在矩形ABCD （ ） ABCD 中，AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ，6.如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线，垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为（A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . （2020原创）如图，点O 是矩形 则^ BOE 的周长为（）ABCD 对角线 AC 的中点，OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.（人教八下P55练习2题）如图，？ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形，AB =4.（1）求证：四边形ABCD是矩形;（2）求四边形ABCD的面积.8. （2018遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.（2019徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点，若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知：如图，在？ABCD中，AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证：△ ABE^A CDF ;(2)求证：四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图，在^ ABC中，AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O.(1)求证：△ OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.第12题图1 . （2019台州）如图，有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点 D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角 “最 小时，tan a 等于（）2 .如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点，且 AEXBE,则线段CE 的最 小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论：① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC；④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图，在矩形ABCD中，ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数；(2)若BC=1,求^ BCH的面积；(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形（建议时间：40分钟）名■基础过关1. （2019玉林）菱形不具备的性质是（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. （2019 河北）如图，菱形ABCD 中，/ D= 150°,则/ 1 =（）A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. （2019襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C, D两点，连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是（）A.正方形B.矩形第3题图4. （2019呼和浩特）已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为（）A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. （2019宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . （2019赤峰）如图，菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点，则OE 的长是（）A. 2.5B. 3第6题图7. （2019天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A, B两点的坐标分别是（2, 0）, （0, 1）,点C, D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . （2019永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。
2020年九年级中考数学一轮复习 平面直角坐标系 练习(含答案)
2020年中考数学一轮复习平面直角坐标系一、单选题1．初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）2．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平面直角坐标系的第四象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）4．如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2)5．若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜0 B．0＜a＜2C．a＞2 D．a＜06．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，1），将线段AB平移后，A点的坐标变为（﹣3，2），则点B的坐标变为（）A．（﹣1，2）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（1，2）7．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是()A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．(10，10)8．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）9.在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（））C．（）D．（﹣1，1）A．（1，1）B．（010．直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣2，﹣1）D．（+1，+1）二、填空题11．某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m - i,n - j]，并称a+b为该生的位置数.若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m•n的最大值为_____________.12．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.13．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”.如图，若()P 1,1-，()Q 2,3，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS SQ 5+=或PT TQ 5.+=环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A ，B 两个小区的坐标分别为()A 3,1，()B 5,3-，若点()M 6,m 表示单车停放点，且满足M 到A ，B 的“实际距离”相等，则m =______．14．正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C 、…按如图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A 、…和点1C 、2C 、3C 、…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点n B 的坐标是__________．（n 为正整数）三、解答题15．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为______，A n的坐标（用n的代数式表示）为______．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？16．已知△ABC中，点A(-1，2)，B(-3,-2)，((3，-3)，试解決下列问题:(1)在直角坐标系中画出△ABC．(2)求△ABC的面积17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC沿AA′的方向平移，使得点A移至图中的点A′的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△A′B′C′（其中B′、C′分别是B、C的对应点）．（2）(1)中所得的点B′，C′的坐标分别是，．（3）求出△ABC的面积．18．在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．（1）a= ，b= ，点B的坐标为；（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．19．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.（1）a=___，b=___，△BCD的面积为______；（2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时，BECBCO∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D10．A11．3612．（-2，-2）13．0．14．1(21,2)n n --15．解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3， ∴A 3（5+3，2），A n （()132333n -++++n L 个，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．16.解：（1）△ABC 如图所示：（2）△ABC的面积是13.17.（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；(2)点B′的坐标是;(5,3),点C′的坐标是：(8,4)；故答案为(5,3),(8,4)；(3)△ABC的面积为：6−12×1×2−12×1×2−12×3=52.18.(1)∵a、b60.b-=∴a−4=0，b−6=0，解得a=4，b=6，∴点B的坐标是(4,6)，故答案是：4,6,(4,6)；(2)∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O−C−B−A−O的线路移动，∴2×4=8，∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8−6=2，即当点P移动4秒时,此时点P在线段CB上,离点C的距离是2个单位长度,点P的坐标是(2,6)；(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：5÷2=2.5秒，第二种情况，当点P在BA上时,点P移动的时间是：(6+4+1)÷2=5.5秒，故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒.19.（1）解：如图1中，∵|a+3|+（b-a+1）2=0，∴a=-3，b=4，∵点C（0，-3），D（-4，-3），∴CD=4，且CD∥x轴，∴△BCD的面积=1212×4×3=6；故答案为-3，-4，6．（2）证明：如图2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）解：如图3中，结论：BECBCO∠∠=定值=2．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-3），D（-4，-3），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，∴BEC BCO∠∠=2。
2020年中考数学第一轮复习 第十九讲 解直角三角形 知识点+真题
2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十九讲解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数注意：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< ，cosA< ，tanA>注意：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A（）⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA·tanB=三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB注意：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角俯角 ⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=hl。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 OC 表示OD 表示 （也可称东南方向）3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案注意：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决【中考真题考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2019年威海）如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点。