2018-2019学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学八年级(下)月考数学试卷(3月份)(解析版)

2018-2019学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）一．选择题（共10小题，30分）1．下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（）A．B．C．D．2．下列根式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形4．下列计算中，正确的是（）A．3+2＝5B．3•3＝3C．÷＝2D．＝﹣6 5．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．全等三角形的对应边相等C．全等三角形的对应角相等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等6．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB＝CDC．AD∥BC，AB＝DC D．AB＝DC，AD＝BC7．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对8．填幻方：将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字2、4固定在图中所示的位置时，按规则填写空格，所有可能出现的结果有（）A．4种B．6种C．8种D．9种9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．1810．已知平面直角坐标系内有一点P（2，4），过P点作一条不过原点的直线1，若直线l 交x轴于点A（x，0），交y轴于点B（0，y），则+有（）A．最小值0.05B．最大值0.05C．最大值0.5D．最小值0.5二．填空题（共6小题，18分）11．计算：＝；＝．12．化简二次根式a的结果是．13．△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，BE ＝2，CF＝4，则EF的长为．14．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF 相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．16．正方形ABCD中，点E在边CD上，点P在线段AE上，且到A、B、D三个顶点的距离分别为、2、6，则四边形BCDP的面积为．三．解答题（共8小题，72分）17．计算：（1）（﹣）﹣2（﹣）；（2）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2．18．（1）已知：a＝﹣2，b＝+2，求代数式a2b﹣ab2的值；（2）已知实数x、y满足x2+10x++25＝0，则（x+y）2019的值是多少？19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；（2）线段AC的长为，CD的长为，AD的长为；（3）△ACD为三角形，四边形ABCD的面积为．20．在▱ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E点、CF平分∠DCB交AB于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BG平分∠ABC交CD于G点，且AD＝2EG＝2，求四边形ABCD的周长．21．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？22．如图1所示，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形．（1）利用它们之间的面积关系，探索出关于a、b、c的等式；（2）利用（1）中发现的直角三角形中两直角边a，b和斜边c之间的关系，完成问题：如图2，在直角△ABC中，∠C＝90°，且c＝6，a+b＝8，则△ABC的面积为；（3）如图3所示，CD是直角△ABC中斜边上的高，试利用（1）的结论证明CD2＝AD •BD．23．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，AB＝3，点E、F在直线AB上，且∠ECF＝60°．（1）求AC边的长；（2）如图1，点E、F在线段AB上时，若EF＝AF，求证：BE＝EF；（3）如图2，F在AB上，E在AB的延长线上时，AF＝m，BE＝n，则n＝（用含m的式子表示）．24．在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（﹣b，0），若b＝++4，C点是B点关于y轴的对称点．（1）判断△ABC的形状并证明；（2）P点在第一象限，且∠APC＝135°，试探究关于P A、PB、PC三条线段的确定数量关系；（3）E点在BC上，F为线段AE的中点，EF绕E点顺时针旋转60°得到EG，E点从B 点沿BC运动到C点，求G点随E点运动的路径长．2018-2019学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数分别进行分析．【解答】解：A、根据二次根式有意义的条件可得：3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误；B、根据二次根式有意义的条件可得：6+2x≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误；C、根据二次根式有意义的条件可得：x﹣3≥0，解得x≥3，故此选项正确；D、根据二次根式有意义的条件可得：x+3≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误；故选：C．2．下列根式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、原式＝，不是最简二次根式；C、原式＝，不是最简二次根式；D、原式＝2，不是最简二次根式，故选：A．3．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形【分析】13，12，5正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而求解．【解答】解：∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故选：C．4．下列计算中，正确的是（）A．3+2＝5B．3•3＝3C．÷＝2D．＝﹣6【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．3与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3•3＝9，此选项错误；C．÷＝＝2，此选项正确；D．＝6，此选项错误；故选：C．5．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．全等三角形的对应边相等C．全等三角形的对应角相等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【解答】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；B、逆命题为：对应边相等的三角形全等，是真命题；C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，是假命题；D、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故选：C．6．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB＝CDC．AD∥BC，AB＝DC D．AB＝DC，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；【解答】解：A、由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；B、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；C、由AD∥BC，AB＝DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；D、由AB＝DC，AD＝BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：C．7．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO 和DO的长即可．【解答】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，∴OB＝＝3米，在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，∴OD＝＝4米，∴AC＝OD﹣OB＝1米．故选：A．8．填幻方：将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字2、4固定在图中所示的位置时，按规则填写空格，所有可能出现的结果有（）A．4种B．6种C．8种D．9种【分析】根据题意可知，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大，1只能在2的左边，3只能在4的左边，9只能在第3行第三列，5只能在右上角或左下角，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大，∴1只能在2的左边，3只能在4的左边，9只能在第右下角，5只能在右上角或左下角，5之后与之相邻的可填6、7、8中的任意一个，余下的两数按从小到大只有一种方法，∴共有2×3＝6种结果．故选：B．9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．18【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∵MP＝AE＝2∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，∴S阴＝6+6＝12，故选：B．10．已知平面直角坐标系内有一点P（2，4），过P点作一条不过原点的直线1，若直线l 交x轴于点A（x，0），交y轴于点B（0，y），则+有（）A．最小值0.05B．最大值0.05C．最大值0.5D．最小值0.5【分析】将点代入y＝kx+b，求出k与b的关系式，得到y＝kx+4﹣2k，可以求出x与y 的代数式，所以+＝（+）2+，利用二次函数的性质即可求解；【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b，将点P（2，4）代入，得：4＝2k+b，∴b＝4﹣2k，∴y＝kx+4﹣2k，∴x＝，y＝4﹣2k，∴+＝+＝＝＝++＝（+）2+，∴有最小值；故选：A．二．填空题（共6小题）11．计算：＝5；＝π﹣2．【分析】根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：＝5；＝π﹣2．故答案为：5，π﹣2．12．化简二次根式a的结果是﹣．【分析】根据二次根式有意义的条件得到a≤﹣2，再根据二次根式的性质得原式＝a•，然后去绝对值后约分即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a≤﹣2，∴原式＝a•＝a•＝﹣．故答案为﹣．13．△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，BE ＝2，CF＝4，则EF的长为2．【分析】延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，易证△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可证明∠ABG＝90°，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF＝EG，即可求得EF的长，即可解题．【解答】解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝．故答案为：214．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：13，84，85．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，故答案为：13，84，85．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF 相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3．【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故答案为：+3．16．正方形ABCD中，点E在边CD上，点P在线段AE上，且到A、B、D三个顶点的距离分别为、2、6，则四边形BCDP的面积为43．【分析】根据旋转作辅助线，构建旋转三角形，根据勾股定理的逆定理证明△BP'P是直角三角形，再得△DPG是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AD的长，根据面积差可得四边形BCDP的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，将△APD绕点A顺时针旋转90°到△ABP'，连接PP'，过D作DG⊥AE于G，如图所示：由旋转得：AP'＝AP＝，∠P AP'＝90°，P'B＝PD＝6，∴∠AP'P＝45°，PP'＝AP＝2，∵P'B2+P'P2＝62+22＝40，PB2＝（2）2＝40，∴P'B2+P'P2＝PB2，∴∠PP'B＝90°，∴∠AP'B＝∠APD＝90°+45°＝135°，∴∠DPG＝45°，∴△DPG是等腰直角三角形，∵PD＝6，∴PG＝DG＝PD＝3，∴AG＝AP+PG＝+3＝4，由勾股定理得：AD＝＝＝5，∴四边形BCDP的面积＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△APB＝（5）2﹣S△AP'P﹣S△BP'P＝50﹣××﹣×6×2＝43，故答案为：43．三．解答题（共8小题）17．计算：（1）（﹣）﹣2（﹣）；（2）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣+2＝4﹣；（2）原式＝9﹣5﹣（3﹣2+1）＝4﹣4+2＝2．18．（1）已知：a＝﹣2，b＝+2，求代数式a2b﹣ab2的值；（2）已知实数x、y满足x2+10x++25＝0，则（x+y）2019的值是多少？【分析】（1）先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；（2）根据非负数的性质求得x、y的值，然后代入求值即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝+2，∴ab＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，a﹣b＝﹣2﹣﹣2＝﹣4，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣1×（﹣4）＝4；（2）∵实数x、y满足x2+10x++25＝0，∴（x+5）2+＝0，∴x+5＝0，y﹣4＝0，解得，x＝﹣5，y＝4，∴x+y＝（﹣5）+4＝﹣1，∴（x+y）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；（2）线段AC的长为2，CD的长为，AD的长为5；（3）△ACD为直角三角形，四边形ABCD的面积为10．【分析】（1）根据题目要求结合网格画图即可；（2）把线段AC、CD、AD放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；（3）根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，用矩形EFMN的面积﹣四周4个三角形的面积＝四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）AC＝＝2；CD＝＝；AD＝＝5；（3）∵（2）2+（）2＝52，∴△ACD是直角三角形，S四边形ABCD＝4×6﹣×2×1﹣×4×3﹣×2×1﹣×3×4＝10．故答案为：2，，5；直角，10．20．在▱ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E点、CF平分∠DCB交AB于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BG平分∠ABC交CD于G点，且AD＝2EG＝2，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠DEA＝∠DCF，可证AE∥CF，即可得结论；（2）分两种情况讨论，由角平分线的性质和平行四边形性质可求CD的长度，即可求四边形ABCD的周长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB∵AE平分∠DAB交CD于E点、CF平分∠DCB交AB于点F．∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，∠DCF＝∠BCF＝∠DCB，∴∠EAB＝∠DCF∵AB∥CD∴∠DEA＝∠EAB∴∠DEA＝∠DCF∴AE∥CF，且AB∥CD∴四边形AECF是平行四边形；（2）如图，当点G在点E右侧，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝2∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB∵AB∥CD∴∠DEA＝∠EAB∴∠AED＝∠DAE∴AD＝DE＝2，同理可得：BC＝GC＝2∵AD＝2EG＝2∴EG＝1∴CD＝DE+EG+GC＝5∴四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝14如图，若点G在点E左侧，同理可得：DE＝GC＝2，GE＝1∴CD＝DE+EC﹣GE＝3∴四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝10综上所述，四边形ABCD的周长为14或10．21．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？【分析】（1）如图，作AH⊥OB于H．解直角三角形求出AH与150km比较即可解决问题．（2）如图，设AR＝AT＝150km，求出RT，利用时间＝，计算即可解决问题．【解答】解：（1）如图，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，OA＝240km，∠AOH＝30°，∴AH＝OA＝120km，∵120＜150，∴A城受到这次台风的影响．（2）如图，设AR＝AT＝150km，则易知：RH＝HT＝＝90（km），∴RT＝180km，∴受台风影响的时间有180÷30＝6小时．22．如图1所示，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形．（1）利用它们之间的面积关系，探索出关于a、b、c的等式；（2）利用（1）中发现的直角三角形中两直角边a，b和斜边c之间的关系，完成问题：如图2，在直角△ABC中，∠C＝90°，且c＝6，a+b＝8，则△ABC的面积为7；（3）如图3所示，CD是直角△ABC中斜边上的高，试利用（1）的结论证明CD2＝AD •BD．【分析】正方形面积为四个直角三角形面积与小正方形面积的和．由此可逐步解答本题．【解答】解：（1）由题意得，c2＝4××ab+（b﹣a）2即c2＝a2+b2（2）由（1）得，c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣2ab＝36，∴ab＝14∴S＝＝7故答案为7．（3）由题可知，∠ACD＝∠CBD∠ADC＝∠CDB∠CAD＝∠BCD∴△ACD∽△CBD∴即CD2＝AD•BD．23．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，AB＝3，点E、F在直线AB上，且∠ECF＝60°．（1）求AC边的长；（2）如图1，点E、F在线段AB上时，若EF＝AF，求证：BE＝EF；（3）如图2，F在AB上，E在AB的延长线上时，AF＝m，BE＝n，则n＝（用含m的式子表示）．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，由直角三角形的性质可得AB＝2CD，AC＝2CD，即可求AC的值；（2）作点A关于直线CF的对称点G，连接FG、CG、EG，由“SAS”可证△GCE≌△BCE，可得EG＝BE，∠B＝∠EGC，即可证△FEG为等边三角形，可得结论；（2）将△BCE绕点C顺时针旋转60°，得到△GCH，连接AG，过点H作DH⊥CG，由旋转的性质可得BC＝CG，BE＝GH＝n，∠BCG＝60°，∠CGH＝∠CBE＝180°﹣∠ACB＝150°，通过证明△NCF∽△DCH，可得，即可求解．【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD∴AC＝2CD，BD＝AD＝CD，∵AB＝3，∴AD+BD＝AB＝3＝2CD∴CD＝∴AC＝（2）如图1﹣1，作点A关于直线CF的对称点G，连接FG、CG、EG，∵G为点A关于直线CF的对称点；∴△ACF≌△GCF，∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．又∵AC＝BC，∴CG＝CB，∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，∴∠ECG＝∠ECB，在△GCE和△BCE中∴△GCE≌△BCE（SAS），∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，∵∠ACB＝120°，∴∠A+∠B＝60°，∴∠EGC+∠FGC＝60°，又∵AF＝EF＝FG，∴△FEG为等边三角形，∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°，得到△GCH，连接AG，过点H作DH ⊥CG，∵将△BCE绕点C顺时针旋转60°，得到△GCH，∴BC＝CG，BE＝GH＝n，∠BCG＝60°，∠CGH＝∠CBE＝180°﹣∠ACB＝150°∴∠DGH＝180°﹣∠CGH＝30°，且DH⊥CG∴DH＝GH＝，GD＝DH＝n，∵∠ACB＝120°，∠BCG＝60°∴∠ACG＝∠BCG＝60°，且AC＝BC∴CG⊥AB，AN＝BN＝，CN＝∴FN＝m﹣∵∠CNF＝∠CDH＝90°，∠NCF＝∠DCH，∴△NCF∽△DCH∴∴∴n＝故答案为：24．在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（﹣b，0），若b＝++4，C点是B点关于y轴的对称点．（1）判断△ABC的形状并证明；（2）P点在第一象限，且∠APC＝135°，试探究关于P A、PB、PC三条线段的确定数量关系；（3）E点在BC上，F为线段AE的中点，EF绕E点顺时针旋转60°得到EG，E点从B 点沿BC运动到C点，求G点随E点运动的路径长．【分析】（1）如图1中，△ABC是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义即可判断．（2）结论：：①当点P在△AOC的外部时，PB﹣PC＝P A．如图2中，作AE⊥P A交PB于E．证明△BAE≌△CAP（SAS），△AEP是等腰直角三角形即可．②当点P在△AOC 内部时，如图2﹣1中，P A2＝2PB2+PC2．（3）如图3中，连接AG，OG．首先证明∠EOG＝30°，推出点G的运动轨迹是线段（图中线段G″G′），利用等腰直角三角形的性质求出G′G″即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：∵b＝++4∴a﹣4≥0，8﹣2a≥0∴a＝4，b＝4∴A（0，4），B（0，﹣4）∵B，C关于y轴对称，∴C（4，0），∴OA＝OB＝OC，∵∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）结论：①当点P在△AOC的外部时，PB﹣PC＝P A．理由：如图2中，作AE⊥P A交PB于E．∵∠APC+∠ABC＝180°，∴A，B，C，P四点共圆，∴∠APE＝∠ACB＝45°，∵∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴AE＝AP，∵∠BAC＝∠EAP＝90°，∴∠BAE＝∠CAP，∵AB＝AC，AE＝AP，∴△BAE≌△CAP（SAS），∴BE＝PC，∴PB﹣PC＝PB﹣BE＝PE＝P A．②当点P在△AOC内部时，如图2﹣1中，P A2＝2PB2+PC2．理由：将△PBC绕点B顺时针旋转90°得到△HBA，∵∠BHP＝45°，∠BHA＝∠BPC＝135°，∴∠AHP＝90°，∴P A2＝AH2+PH2，∵PC＝AH，PH＝PB，∴P A2＝PC2+2PB2．（3）如图3中，连接AG，OG．∵EF＝EG，∠FEG＝60°，∴△EFG是等边三角形，∴FG＝FE＝F A，∴∠AGE＝90°，∠EAG＝30°，∵∠AGE＝∠AOE＝90°，∴A，E，G，O四点共圆，∴∠EOG＝∠EAG＝30°，∴点G的运动轨迹是线段（图中线段G″G′），由题意△G′AG″是等腰直角三角形，AG′＝AG″＝2，∴G′G″＝6．∴当E点从B点沿BC运动到C点，G点随E点运动的路径长为6．。