导数知识点各种题型归纳方法总结

导数的基础知识

一．导数的定义：

2.利用定义求导数的步骤：

①求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；②求平均变化率：00()()

f x x f x y x x

+?-?=

??； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x

?→?=?

（下面内容必记）

二、导数的运算：

（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：

①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；1

1()'()'n n n x nx x

---==-；1

()'m m

n n m x x n -==

③(sin )'cos x x =；④(cos )'sin x x =-⑤()'x x e e =⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；

⑦1(ln )'x x =；⑧1

(log )'(0,1)ln a x a a x a

=>≠且

法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).

法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ?=?+?(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)

法则3：2

()'()()()'()

[]'(()0)()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x g x ?-?=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法：

①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =?③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算

1、已知()2

2sin f x x x π=+-，则()'0f = 2、若()sin x f x e x =，则()'f x =

3.)(x f =ax 3+3x 2+2，4)1(=-'f ，则a=（）

三．导数的物理意义

1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数()0f t '，

即有()00V f t '=。

＝s /(t) 表示即时速度。a=v /(t)表示加速度。

四．导数的几何意义：

函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：

（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-

（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；

解析：（1）3)1x (36x 62x 3|'y k 2000x x 0++=++===当x 0=-1时，k 有最小值3，此时P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，（1）'()0f x >?()f x 该区间内为增函数；（2）'()0f x

注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间

上仍是递增（或递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增?'()0f x ≥在该区间内恒成立；（4）()f x 在该区间内单调递减?'()0f x ≤在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：

步骤：（1）求导数)(x f y '='

(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论

①'()0f x >?()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x

题型二、利用导数求单调区间

求函数)(x f y =单调区间的步骤为：

（1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='

（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）

思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增?'()0f x ≥在该区间内恒成立；

（2）()f x 在该区间内单调递减?'()0f x ≤在该区间内恒成立；

思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义

域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f （x ）在（a ，c ）上为减函数，在（c ，b ）上为增函数则x =c 两侧使函数f '（x ）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以'()0f c =

例题．若函数x

x f ln )(=，若)5(),4(),3(f c f b f a ===则()

六、函数的极值与其导数的关系：

1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有

0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。

②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。

③求极值的步骤：

第一步：求导数'()f x ；

第二步：求方程'()0f x =的所有实根；

第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化，若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值；若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；

若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。

2、函数的最值：

①最值的定义：若函数在定义域D 内存0x ，使得对任意的x D ∈，都有0()()f x f x ≤，（或0()()f x f x ≥）则称0()f x 为函数的最大（小）值，记作max 0()y f x =（或min 0()y f x =） ②如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[,]a b 上必有最大值和最小值。

③求可导函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最值方法：第一步；求()f x 在区间[,]a b 内的极值；

第二步：比较()f x 的极值与()f a 、()f b 的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最

大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。

2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）

3、注意：极大值不一定比极小值大。如1

()f x x x

=+的极大值为2-，极小值为2。

注意：当x=x 0时，函数有极值?f /(x 0)＝0。但是，f /

(x 0)＝0不能得到当x=x 0时，函数有极值；

判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值

题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数

'()f x 的符号()f x 单调性

'()f x 与x 轴的交点且交点两侧异号()f x 极值

'()f x 的增减性()f x 的每一点的切线斜率的变化趋势（()f x 的图象的增减幅度） '()f x 的增()f x 的每一点的切线斜率增大（()f x 的图象的变化幅度快）

'()f x 减()f x 的每一点的切线斜率减小（()f x 的图象的变化幅度慢）例1.已知f(x)=e x -ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：

)(x f '=e

-a.（1）若a≤0，)(x f '=e x -a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.

若a>0,e x -a≥0,∴e x ≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).

（2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.

∴e x -a≥0，即a≤e x 在R 上恒成立.

∴a≤（e x ）min ，又∵e x >0，∴a≤0.

（3）由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.

例2.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3

2时，

y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解（1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,

当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0①

当x=3

2时，y=f(x)有极值，则??

??'32f =0,可得4a+3b+4=0②

由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4,令)(x f '=0,得x=-2,x=3

当x 变化时，y,y′的取值及变化如下表：

-3 (-3,-2) -2

1 y′ + 0 - 0 + y

单调递增 ↗

单调递减 ↘

单调递增 ↗

∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.27

95 例3.当0>x ，证明不等式x x x

<+<+)1ln(1. 证明：x x

x x f +-

+=1)1ln()(，x x x g -+=)1ln()(，则2

)

1()(x x x f +='，当0>x 时。)(x f ∴在()+∞,0内是增函数，)0()(f x f >∴，即01)1ln(>+-+x

x ，

又x

x g +-='1)(，当0>x 时，0)(<'x g ，)(x g ∴在()+∞,0内是减函数，)0()(g x g <∴，即

0)1ln(<-+x x ，因此，当0>x 时，不等式x x x

<+<+)1ln(1成立. 点评：由题意构造出两个函数x

x x f +-+=1)1ln()(，x x x g -+=)1ln()(.

利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.

七定积分求值

1．定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()

()lim n

i a

n i b a

f x dx f n

ξ→∞

=-=∑? 2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；

③求和：1()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1

()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑?

3.曲边图形面积：()()0,b a

f x S f x dx ≥=?；()()0,b

f x S f x dx <=-?

在x 轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程2

1()t t S v t dt =?；变力做功()b

W F r dr =?

4．定积分的性质

性质1??=b

dx x f k dx x kf )()(（其中k 是不为0的常数）

性质21212[()()]()()b

a a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±???

性质3()()()()b c

f x dx f x dx f x dx a c b =+<

5.定理函数()F x 是[,]a b 上()f x 的一个原函数，即()()f x F x '=则

()()|()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-?

导数各种题型方法总结

（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在

（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，

432

3()1262

x mx x f x =--

（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

解:由函数4323()1262x mx x f x =--得32

()332

x mx f x x '=-

- （1）()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，

则2()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法：

∵当0x =时,2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时,2()30g x x mx =--<恒成立

等价于233

x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3

()h x x x

=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==

(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”

则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--<恒成立

变更主元法

再等价于2

()30

F m mx x

=-+>在2

m≤恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

?-<<

例)

a∈

2不等式()

f x a

'≤恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）()()

()433

f x x ax a x a x a

'=-+-=---

令,0

)

f得)

f的单调递增区间为（a,3a）

令,0

)

f得)

f的单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）

∴当x=a时，)

极小值

-当x=3a时，)

f极大值=b.

（Ⅱ）由|)

f'|≤a，得：对任意的],

∈a

x22

a x ax a a

-≤-+≤恒成立①则等价于()

g x这个二次函数max

min

()

g x a

≤

≥-

()43

g x x ax a

=-+的对称轴

x a

=01,

Q12

a a a a

+>+=（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，()

g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

()43[1,2]

g x x ax a a a

=-+++

在上是增函数.

max

min

()(2)2 1.

()(1)4 4.

g x g a a

=+=-+

∴

于是，对任意]2

∈a

x，不等式①恒成立，等

价于

又,1

≤a

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：)

(

)

f>恒成立0

)

(

)

(

)

h恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数32

()

f x x ax

=+图象上一点(1,)

P b处的切线斜率为3-，

（Ⅰ）求,a b的值；

（Ⅱ）当[1,4]

x∈-时，求()

f x的值域；

（Ⅲ）当[1,4]

x∈时，不等式()()

f x

g x

≤恒成立，求实数t的取值范围。

解：（Ⅰ）/2

()32

f x x ax

=+∴

/(1)3

b a

?=-

，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()

f x在[1,0]

-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16

f f f f

-=-==-=

∴()

f x的值域是[4,16]

a a 3a

（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2

h x f x g x x t x x =-=-++-∈

思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-分离变量思路2：二次函数区间最值

二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(2

3++++=．（Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．

解：)14()1(4

1)(2

++++=

'a x a x x f . （Ⅰ）∵()f x '是偶函数，∴1-=a .此时x x x f 3121)(3-=

，34

)(2-='x x f ，令

0)(='x f ，解得：32±=x .

(－∞,－2

－23

(－2

3,23)

3,+∞)

+ 0

－ 0

递增

极大值递减

极小值

递增

可知：

()f x 的极大值为34)32(=-f ，()f x 的极小值为34)32(-=f .

（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，

∴2

1()(1)(41)04

f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法

则22

1(1)4(41)204

a a a a ?=+-??+=-≤，解得：02a ≤≤.

综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .

例5、已知函数3211

()(2)(1)(0).32

f x x a x a x a =

+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++- 1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立

当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。 2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且

单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a --

a-1

-1

（II ）当()[0,1],f x Q 在上单调递增则[]0,1是上述增区间的子集：

1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增符合题意

2、[]()0,11,a ?-+∞，10a ∴-≤1a ∴≤ 综上，a 的取值范围是[0，1]。

三、根的个数问题

提型一函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3

)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．

（1）求实数k 的取值范围；

（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-='∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，

∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设3

12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1

由于02

1<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同

的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2

<---k k k ∴?

??>--<02212k k k ，解得31-

综上，所求k 的取值范围为31-

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321

()22

f x ax x x c =+-+

（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；

（2）若21

()2

g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函

数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =?=2()32f x ax x '=+-，又∵1x =-是()f x 的极值点，则(1)31201f a a '-=--=?=-

2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+= （2）设函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同交点，

等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：

(1)(1)(1)2

f g d b -=-?=--

322111

2(1)222

x x x bx x b ∴+-=---整理得：

即：3211

(1)(1)022

x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根

（计算难点来了：）3211

()(1)(1)022

h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根，

则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：[]()21

(1)(1)(1)102

x x b x b x +-+--+=

3211

(1)(1)022

x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根

等价于211

(1)(1)022

x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。

题型二：切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<

∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-

∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③

由①②③联立得：169a b c =-??

=??=-?

，∴32()69f x x x x =-+-

（2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 32()221290g t t t t m =--+-=令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->?????--+-

>-?

故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-

题型三：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、

解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝x 3－x 2＋10x ， ()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '>，解得5,x >或2x <. 令()0f x '<，解得25x <<

可知函数f (x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5．

（Ⅱ）()f x '＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6,

要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点,()f x '?＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，

＋∞）

根分布问题：

则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2

m m f m m m ?