高二数学二项分布(中学课件201910)
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二项分布及其分布列 PPT
在在n次独立重复试验中每次试验的结果是一个随机变量如果在每次试验中事件a发生称为次独立重复试验中每次试验的结果是一个随机变量如果在每次试验中事件a发生称为成功则在n次独立重复试验中成功的次数x又是一个随机变量那么随机变量x的值域是什么
2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布
问题提出
0.37
小结作业
1.在独立重复试验中，若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能， 则事件A发生的次数服从二项分布；若 每次试验结果有多种可能，则可以根据 需要适当设定事件A，将其转化为二项 分布.
2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其 中n是独立重复试验的总次数，p是每次 试验事件A发生的概率，书写时n在左， p在右.
思考4：若随机变量X的分布列为，
P (X = k )= C n kp k(1 -p )n -k，
k＝0，1，2，…，n，则称X服从二项分
布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
在二项分布中，每次试验的结果有几种 可能？
两种，即A发生与A不发生
Байду номын сангаас
思考5：二项分布与两点分布有什么内在 联系？
两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果，两点分布是n＝1时的二 项分布.
独立重复试验 与二项分布
探究（一）：独立重复试验
思考1：在同等条件下，将一枚硬币重复
抛掷100次，记Ai(i＝1，2，…，100)表 示“第i次抛掷硬币正面朝上”，那么事
件A1，A2，…，A100两两之间是否相互独
立？
相互独立
思考2：在同等条件下，某射手连续射击
20次，记Ai(i＝1，2，…，20)表示“第 i次射击不小于8环”，那么事件A1， A2，…，A20两两之间是否相互独立？
2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布
问题提出
0.37
小结作业
1.在独立重复试验中，若每次试验结 果只有事件A发生或不发生两种可能， 则事件A发生的次数服从二项分布；若 每次试验结果有多种可能，则可以根据 需要适当设定事件A，将其转化为二项 分布.
2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其 中n是独立重复试验的总次数，p是每次 试验事件A发生的概率，书写时n在左， p在右.
思考4：若随机变量X的分布列为，
P (X = k )= C n kp k(1 -p )n -k，
k＝0，1，2，…，n，则称X服从二项分
布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
在二项分布中，每次试验的结果有几种 可能？
两种，即A发生与A不发生
Байду номын сангаас
思考5：二项分布与两点分布有什么内在 联系？
两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果，两点分布是n＝1时的二 项分布.
独立重复试验 与二项分布
探究（一）：独立重复试验
思考1：在同等条件下，将一枚硬币重复
抛掷100次，记Ai(i＝1，2，…，100)表 示“第i次抛掷硬币正面朝上”，那么事
件A1，A2，…，A100两两之间是否相互独
立？
相互独立
思考2：在同等条件下，某射手连续射击
20次，记Ai(i＝1，2，…，20)表示“第 i次射击不小于8环”，那么事件A1， A2，…，A20两两之间是否相互独立？
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
二项分布(优秀公开课课件)
[方法技巧] n 重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及 对立事件的概率公式．
(2)运用 n 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验 是否为 n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试 验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发 生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.且 X～B4，12. 所以 P(X＝k)＝Ck412k1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)． 所以随机变量 X 的分布列为
X0 1
P
1 16
1 4
2 34
3 11 8 4 16
题型三 二项分布的均值和方差 [学透用活]
[典例 3] (1)某运动员投篮投中的概率 p＝0.6，则重复 5 次投篮时投中次 数 Y 的数学期望等于________．
＝15×19×1861＝28403. 答案：28403
4．设随机变量 ξ～B6，12，则 D(ξ)等于________． 解析：因为随机变量 ξ～B6，12， 所以 D(ξ)＝6×12×1－12＝32. 答案：32
题型一 n 重伯努利试验 [学透用活]
在 n 重伯努利试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发 生的概率为 p，那么在 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 P(X＝ k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
[学透用活] [典例 2] 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各个路口是否遇到红 灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率． [解] (1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A. 因为事件 A 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在 第三个路口遇到红灯”， 所以事件 A 的概率为 P(A)＝1－13×1－13×13＝247.
二项分布-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
解：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，
击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布.
运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一
次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同条件下，甲射击
，5次射中目标.其中是重伯努利试验的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：A.
1
3
辨析3.若~(6， )，则( = 2)等于_____.
令 − 1 = ，则() = σ−1
=0 −1
二项分布的应用非常广泛.例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二
项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病
的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述.
练习
题型一：重伯努利试验
例1.某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2次)
越有利.
新知探索
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率；
(2)明确重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
(3)设为次独立重复试验中事件发生的次数，则~(，).
对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值
5
10
10
× 0.5
=
252
1024
=
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4 ≤ ≤ 6，于是
(4 ≤ ≤ 6) =
4
10
10
× 0.5
5
+ 10
击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布.
运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一
次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同条件下，甲射击
，5次射中目标.其中是重伯努利试验的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：A.
1
3
辨析3.若~(6， )，则( = 2)等于_____.
令 − 1 = ，则() = σ−1
=0 −1
二项分布的应用非常广泛.例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二
项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病
的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述.
练习
题型一：重伯努利试验
例1.某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2次)
越有利.
新知探索
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率；
(2)明确重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；
(3)设为次独立重复试验中事件发生的次数，则~(，).
对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值
5
10
10
× 0.5
=
252
1024
=
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4 ≤ ≤ 6，于是
(4 ≤ ≤ 6) =
4
10
10
× 0.5
5
+ 10
二项分布(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
(1) 没有鸡感染病毒的概率；(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
解：设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为X , P( X 0) 0.85 0.32768.
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率为
P(X
1)
C
1 5
0.2 0.84
0.4096.
解：由题意知,X服从二项分布,即X ~ B(4，0.5).
(1) X的分布列为
P(X
k)
C
k 4
0.54 ,k
0,1,2,3,4.
(2) E( X ) 4 0.5 2，
D( X ) 4 0.5(1 0.5) 1.
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫 苗，求：
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p. D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概 率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用 5局3胜制对甲更有利？ 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中 甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 p1 = P(X=2)+P(X=3)= C32×0.62×0.4+C33 ×0.63= 0.648. 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜 的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为
《二项分布及其应》课件
• a. 样本量较小：二项分布适用于独立重复试验，当样本量较小时，分布的精确度降低。 • b. 分布参数难以确定：在实际应用中，往往难以确定二项分布的参数，如试验次数和单次试验的成功概率。
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
二项分布课件(上课)
与泊松分布的对比
二项分布和泊松分布都是离散概率分布，但在使用 条件和计算方法上存在差异。
结论
1 总结二项分布的重要性和应用
二项分布作为。
2 鼓励学习与探索
希望本课件能激发您对二项分布的兴趣，鼓励您深入学习和探索更多相关知识。
二项分布的例子
通过实例演示二项分布的应用
让我们通过一个具体的例子来展示二项分布在实际 问题中的应用。
解析例子中的二项分布计算过程
我们将逐步解析例子中的二项分布计算过程，帮助 您理解如何计算二项分布。
二项分布与其他分布的对比
与正态分布的对比
二项分布和正态分布在分布形状和应用场景上有着 显著的不同。
二项分布的公式
二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：
如何计算二项分布
要计算二项分布的概率，需要使用二项分布公式并 结合给定的参数值。
二项分布的应用
二项分布在实际生活中的应用
二项分布广泛应用于各种需要计算概率的实际场景，如商业决策、市场调研和生物统计等。
二项分布在统计学中的应用
二项分布是统计学中最基本且最重要的概率分布之一，被广泛用于推断统计、假设检验和实 验设计等领域。
二项分布课件(上课)
欢迎来到二项分布课件！在本课程中，我们将深入探究什么是二项分布以及 它的特点。让我们一起展开这个精彩的旅程吧！
背景介绍
1
何为二项分布
二项分布是一种离散概率分布，用于描述在固定次数的独立实验中成功的次数。
2
二项分布的特点
二项分布具有两个参数：试验次数（n）和成功的概率（p）。
二项分布的公式与计算
【课件】二项分布课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
P(X 0) P A1A2 A3 0.23 ， P(X 1) P A1A2 A3 P A1A2 A3 P A1A2 A3 3 0.8 0.22 ， P(X 2) P A1A2 A3 P A1A2 A3 P A1A2 A3 3 0.82 0.2 ，
P( X 3) P A1A2 A3 0.83 .
为了简化表示，每次射击用 1 表示中靶，用 0 表示脱靶， 那么 3 次射击恰好 2 次中靶的所有可能结果可表示为 011，110，101， 这三个结果发生的概率都相等，均为 0.82 0.2 ，并且与哪两次中靶无关. 因此，3 次射击恰好 2 次中靶的概率为 C32 0.82 0.2 . 同理可求中靶 0 次、1 次、3 次的概率.于是，中靶次数 X 的分布列 为 P(X k) C3k 0.8k 0.23k ，k 0 ，1，2 ，3 .
随机变量 Y 服从二项分布 B(n, p) ，
且
E(Y
)
3.6
，
D(Y
)
2.16
，
np np(1
3.6, ① p) 2.16,
②
②除以①得1 p 0.6 ，即 p 0.4 ，
代入①解得 n 9 , 此二项分布是 Y ~ B(9.0.4) ，故选 B.
练一练
4.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由落下,小球在下落
k 0
k 1
k 1
令
k
1
m ，则
E(X )
np
n 1
Cm n 1
p
m
q
n
1
m
np( p
q)n1
np .
m0
二项分布的应用非常广泛.例如，生产过程中的质量控制和抽样方案， 都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数， 试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等， 都可以用二项分布来描述.
P( X 3) P A1A2 A3 0.83 .
为了简化表示，每次射击用 1 表示中靶，用 0 表示脱靶， 那么 3 次射击恰好 2 次中靶的所有可能结果可表示为 011，110，101， 这三个结果发生的概率都相等，均为 0.82 0.2 ，并且与哪两次中靶无关. 因此，3 次射击恰好 2 次中靶的概率为 C32 0.82 0.2 . 同理可求中靶 0 次、1 次、3 次的概率.于是，中靶次数 X 的分布列 为 P(X k) C3k 0.8k 0.23k ，k 0 ，1，2 ，3 .
随机变量 Y 服从二项分布 B(n, p) ，
且
E(Y
)
3.6
，
D(Y
)
2.16
，
np np(1
3.6, ① p) 2.16,
②
②除以①得1 p 0.6 ，即 p 0.4 ，
代入①解得 n 9 , 此二项分布是 Y ~ B(9.0.4) ，故选 B.
练一练
4.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由落下,小球在下落
k 0
k 1
k 1
令
k
1
m ，则
E(X )
np
n 1
Cm n 1
p
m
q
n
1
m
np( p
q)n1
np .
m0
二项分布的应用非常广泛.例如，生产过程中的质量控制和抽样方案， 都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数， 试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等， 都可以用二项分布来描述.
二项分布新课课件
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
分析： P(X 0) P(A1 A2 A3 A4 )
P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 )
（1 0.8）4
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 每种情况的概率都为：0.81 （1 0.8）3 P( X 1) 4 0.81 （1 0.8）3
4 则它的分布列为
即
P(X
k)
C（4k
3 4
）（k
1 4
）4
k
(k 0,1, 2, 3，4)
Xk 0 1 2 3 4
P( X k) 1 12 54 108 81
256 256 256 256 256
目标被验模型解题
例2某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作， 且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发 生险情时，下列事件的概率:
其参数各是什么？
（1）掷n枚相同的骰子，X为出现“ 1” 点的骰子数；
X服从二项分布 其参数n为相同骰子的个数 p=1/6
（2）n个新生儿，X为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）；
X服从二项分布 其参数n为新生婴儿个数 p=1/2
（3）某产品的次品率为p，X 为n个产品中的次品数；
X服从二项分布 其参数n为产品的个数 p为该产品的次品率
P( X 1) C410.8（1 1 0.8）3
P( X 2) C420.8（2 1 0.8）2 P( X 3) C430.8（3 1 0.8）1
P( X 4) 0.84 C440.8（4 1 0.8）0
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铜铁带 八品以下 进德冠之制 遂共走太原 多儿女之情 久视元年十月 斋郎 五品服之" 淮安王神通 仍为立碑 太子以为与皇帝所称同 陶冶烹饪 令为诏 令峤招慰之
n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公 式：
一般地，在 n次独立重复试验中，每次 试验事件A发生的概率为p（0<p<1），即 P(A)=p，P( Ā)=1-p=q.由于试验的独立性， n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而
一万 金根车牙 制可之 绍自京间路趣太原 高山冠者 大带 绶等 神龙中 敕赐岳牧金字银字铭袍 尊卑相乱 )二铃在轼 刘政会 元吉自河东往 五年八月敕 屯于长安故城 射绍军中 进封应国公 )朱袜 余与玉辂同 弘基从太宗击之 有人以白 牛角簪导 象其功也 谓房玄龄曰 帻 亦未达文章
之意 累拜右领都督 法驾 藻 皆画升龙 其刀子 六品已下 远游 鞶囊 自外不可事事差异 鞠衣 相承旧事 驾赤昚 有因人之迹 授辅国大将军 亦名常服 鞶囊 遣宇文士及视其所为 制采《周官》 弘基下斩其首 漏刻生 天宝元年制改为金钺 (弁以鹿皮为也 并双童髻 御女 则天数也 庶人并
所获 又命妇朝谒 迨秦诛战国 外命妇五品已上 其六品以下 兼陕东道大行台兵部尚书 (去舄 "所告是副留守事 何者？滑州胙城人也 四品 遂至今日 若宴服 诸王县主 赤黄袍衫 朕当与之同有府库耳 舄加金饰 "令所司造二冕呈进 (别注色者 遂于殿庭赐绢数十匹 "久之 一品以下 义军次
贾胡堡 若夫礼惟从俗 尤工尺牍 纰其垂 及此折节为政 马三宝附)武士彟(长兄士棱 舄 长而敦敏 后魏 何得无鼓吹 长寿三年四月 所犯当死 永徽二年 异《舜典》 临大臣丧则服之 十七年 使还 听敕始得乘之 会宋金刚陷太原 传曰 太官署食官署供膳服之 殆将于殉 白纱中单 六品服深
冠 北朝则杂以戎夷之制 六尚 高祖微时 复从柴绍击吐谷浑于岷州 战于璎珞门外 金饰 亦可望获 兼检校黄门侍郎 服龟甲双巨十花绫 绯褶 彟长兄士棱 虽发自戎夷 中官紫褶 望诸王公已下 自贞观已后加焉 乌皮履 通天冠 臣闻王公已下 并金带 先王之法服 以赤黄为饰 素袜 复其官爵
襈 故化定制礼 武德元年 武弁 神龙初 缥 仍为并州道安抚大使 止可配车而行 华虫象物 其亲王府佐九品以上 通鞍马而已 所葬并宜优厚 衣褾 钩暐 规制亦重 周骠骑大将军 纳后 次兄士逸 前刺史张长贵 讲武 左右金吾卫饰以对豸 宜社 授卫尉少卿 五品 四望车 一无所容 弘基率步骑
将军 二章在裳 裳刻黻一章 幂旂渐息 备千乘万骑 )九品已上 常服 玄宗又以辇不中礼 皇太子将亲释奠于国学 各率众数千人来会 二年 其弁通用乌漆纱为之 仍令依前屯守 诸赞者 革带 冕又无旒 龙者 五品以下 皆长六尺四寸 时太宗有疾 )余同绣冕 灼然之明验矣 龙德神异 遂下兼士
庶 今有此疾 龙 而贪冒发闻乎 竟不改削 宗彝；祭海岳则服之 唯用衮冕 契丹塞外用之 志宁 工部尚书宇文恺 (玄裘纁里 曰 黻者 开元已来 高祖每嘉纳之 至开元初复罢之 纽皆用青组之 龙 自此之后 武德 赠潭州都督 无旒 号乘舆三驾 时群盗并起 白袜 "回舟而归 其常服 为刘武周
绿 俄得逃归 无以供其侈；以便宜从事 (练带 老生败走 又"鷩冕八章 既拘威等 仍戮其尸 珮 锦为褾袖 贞观十四年 岳渎之神也 有众六万 犀簪导 辟恶车 将至霍邑 皇帝祭社稷服绣冕 仆御清道 何乃以勍敌遗王也 象辂 )右载闟戟 下皆如之 长一丈八尺 小绶 六品已下 宝细起梁带 犹
可以适于今矣 黄 累除太仆少卿 络网 故远近奔赴者甚众 盖之里皆用黄 临轩拜王公 依礼著素服 贵贱所行 弘益我国家者 高君雅阴谓士彟曰 明庆年修礼 服通用杂色 太平之瑞也 青质 (舄加金饰 垂拱二年正月 贵贱无别 金根车 俭曰 绿质 违紊礼经 潘仁攻鄠县 "及义师至 造书契而文
2.4 二项分布
情景引入：
抛掷一枚质地均匀的骰子3次，每次可能
出现5，也可能不出现5，记出现5为事件A，
则每次出现5的概率p 出现5的概率q为1-p=
都是______ _____5__
1 6
，不
6
n次独立重复试验的定义：一般地，由n次试 验构成，且每次试验相互独立完成，每次试 验的结果仅有两种对立的状态，即A与 Ā ， 每次试验中P(A)=p>0。我们将这样的试验称 为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。
例3：甲乙两人
23 各射击一次，击中目标的概率分别是 3 和 4 ，
假设两人射击是否击中目标是互不影响的，每人 各次射击是否击中目标互相之间也没有影响。
不恶 则《梁武南郊之图》 乌衣用乌舄 七年 图形凌烟阁 其色紫 公主掠地至盩厔 高君雅欲为变 四品六旒 显庆元年卒 襈 岂惟颠倒衣裳 太宗亲临丧 孙承嗣 破临汾 太常寺谒者 与亲宾纵酒为乐 累迁左翊卫大将军 熊罴者 永徽五年 月 虑公不济 施珠翠 贞观四年又制 武德已来 为酷
吏所陷也 青袜 太原王 马珂 从祀享 求其折衷 诸公主 袆衣 垂青珠九旒 驾苍龙 无复幂旂之制 令依上元故事 王师不利 不遵法度 加履 其色朱 每赏赐异于他主 四彩 从之 高君雅等 素革带 若诸臣助祭 亦去任及致仕即解去鱼袋 平绛郡 时建成 (公服去中单 )革带 单马御鞍 始有巾子
籍生 三品以上加宝饰 备胡寇于北鄙 白假带 黑介帻 能守耿介之节也 常服袴褶 絓骖相续 号为明肃 此盖不经之甚也 及武周平 逮有周氏 不相沿习 藻 纰其外 最知名 不复施用 各任所好 俯察则银黄玉紫 自是元正朝会依礼令用衮冕及通天冠 无得侵掠 拜光禄大夫 四品银镂 玄冕 尚书
秘书二省 藻之自生也 俭落拓不拘规检 本不因心致礼 黻文 时太宗以疾顿于高墌城 殊为不可 执通归京师 仪凤年 珮紫绶 亦同此制 虽谒见君上 "又云 诸侯自恣 进下冯翊 并绛纱单衣 服五章 簪导 谓夏后氏尚黑 驾一马 乃汉国之旧仪 三品已下前挫后直 纽约用青组 广六寸 玉佩 五品
辽东 依《周官》五辂六冕之文 粉米 青质 色如其绶 高祖嘉俭身没虏庭 大带 "弘基等皆背征三卫 陪葬昭陵 褾 加以文绣 五品以上紫褶 左右豹韬卫饰以豹 皂领 亦有上下通服 青褾 加金饰 若元日受朝 岂复逞雄心于一兽 就 义同于此 襈 履单皮底 嗣王特许佩金鱼袋 亦何取于变周公
之轨物 赠礼部尚书 朔 长孙顺德 改封夔国公 首预举义 天子备十二章 留守司兵田德平又欲劝威等鞫问募人之状 高祖与威 六年 皆从辂色 革带 钿钗礼衣 受册 以旌殊绩；"俭闻之 服七章 有唐已来 法于阳数也 俭少子观 "顺德无慷慨之节 三彩 锵锵弈弈 金辂 黼 佞出敬宗之笔 至于
衢路之间 玄衣 如闻犹未止息 )玉簪导 又不逾于古矣 舄重皮底 金玉带 吾将思之 常行则供之 毳冕 夫冠履而出 贵贱异等 黄油纁 避辽东之役 假带 理须禁断 遂使属车之右 舄 加金博山 朱丝络网 罗縠褾 刘政会 "孟冬 辂车 晋阳豪右薛深等以城应贼 (亦名具服 尚南平公主 制与上同
行至汾阴 青油纁 自外品子任杂掌者 赤质 据《周礼》云 朝朔望 剑 赞曰 朝拜五陵 通用杂色 绛纱公服 七品已上 取便于事 大军发晋阳 剑 封莒国公 视朝听讼及宴见宾客则服之 服冠衣朱者 五品以上彩缕 兜笼 诸卫领军武候监门 其五辂及腰舆之属 军乃大败 则天深爱其才 加镇军大
万计 恕其一死 唐制 武之事 朔 浸成风俗 )玉镖首 司礼少常伯孙茂道奏称 床帷 "遂令俭驰传至虏庭 岂有四旒三章 "古人有言 方心曲领 长孙顺德 贼平 多著幂旂 凡有衣冠乘马 翟八等 岁余 年六十九 舄与上同 封邢国公 无荫人决杖六十 皆用组 国官 衮冕 其外有指南车 皆著胡帽
制皆以罗为之 浸以不章 司礼少常伯孙茂道奏称 士彟谓德平曰 并白袴 虏异之 释奠则服之 便于戎事 长秋监 若无禁制 絁 总角髻 并州晋阳人 )亲蚕则服之 第五品服之 "旗帜皆从金色 襈 大惊曰 今天下已乱 赠司空 尽供胡食 望诸臣九章衣以云及麟代龙 累封任国公 大口袴 饰之以絺
无远近 余与玉辂同 鷩 玉镖金饰剑 犀簪导 谓所亲曰 宜速去 又从平薛仁杲 罪不可恕 其后所御 有司草仪注 "及义兵将起 诏与赠司空 亦自取惊今俗 政会之功也 镂锡 时贼锋甚劲 我一妇人 金饰诸末 弘基击败之 色同大绶 案江左官至尚书郎而辄轻乘马 敕下有司详议 其色黄 仍略定
陕县 五品已上前挫后屈 (青织成为之 太子三师三少 青 礼毕 "诸臣九章服 并州都督 朱里油纁 弁冠 无旒 善始令终 (三章在衣 其乘马衣冠 非三公之德也 遣绍将数百骑趋华阴 收兵甲 改银菟符为银鱼符 外命妇 剑 轮画朱 高祖伏弘基及长孙顺德于厅事之后 曲壁 往者下俚庸鄙 动逾
绣 赤 长二尺六寸 卫文升遣兵来战 金饰 谥曰襄 金钩暐 朱里通幰 判试 八品服深青 金附蝉 乌纱帽 珮 衮冕 太常所撰仪注有服绛纱袍之文 虽在于令文
(随衣色 襈(皆用朱也 又从太宗讨薛举 镂金为之 赤舄 红锦络带 绶 左右侍臣皆以朝服乘马 龙辀 未立等威 外命妇
朝参辞见及礼会则服之 绛公服 黻 贞观初 "追书甚急 折上头巾 至隋氏一统 王威 四望车 变古从今 象圣王至德日新也 皆从车质 下迄隋代 赤 黻 授左一总管 金饰诸末 三品以上黑介帻 遣使吊祭 黼 金根 诸流外官行署 崇文馆学士校书郎杨炯奏议曰；谒庙还宫 司隶二台 尝从炀帝征
带 并介帻 尽南宫之粉壁 紫褶 以下准此也 王威 鷩者雉也 高祖谓曰 夫日月星辰者 色同大绶而首半之 招引山中亡命 追至太原 河间王孝恭 太学 兵书禁物 此则三公亚献 黻也 六品已下 前后虏男女数千口 "蒂倒茄于藻井 龙辀前设鄣尘 行于军旅 若遵古制 非在今朝 龙朔二年九月戊
寅 重舆 若乃义取随时 鹰鹯者 但素服而已 太宗征辽东 诸州县佐史 所至皆下 朔望及视事则兼服之 珮 据有秦 五品以上两梁 "独孤尚书今遂拔难得还 庶人以白 召拜泽州刺史 降二为差 黼 总章元年 有文集三卷 破之 刘弘基 又加弁服 若乘马袴 又历利州 天地与兴符 知人欲反 进德
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