人教A版高一年级数学必修一教学案
正弦函数、余弦函数的图像教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5.4.1正弦函数、余弦函数的图像教学设计一．教学目标知识目标：1.经历绘制正弦函数图像的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图像的”五点法”.2.经历绘制余弦函数图像的过程，理解其中运用的图像变换思想.素养目标：经历绘制正弦函数图像、余弦函数图像的过程中，提高学生逻辑推理、数学运算以及直观想象能力.教学重点：绘制正弦函数图像、余弦函数图像.教学难点：准确理解精准绘制图像上点T(x0,sinx0)的原理.二．教学设计现实世界中许多运动变化都有着循环往复、周而复始的规律，比如地球自转，四季变化，围绕其它行星运动，物体做简谐运动时的位移变化(播放图片、动画)，这些现象都可以用三角函数刻画.华罗庚写的一首诗“数无形时少直觉，形少数时难入微”充分肯定了数形结合思想，前面我们主要从数的角度研究了三角函数相关知识，这节课我们主要从形上来研究三角函数.（书写课题）问题1：复习回顾1.三角函数在单位圆中是如何定义的？sinα=cosα=tanα=2.sin(x±2π)=sin(x+π2)=师生活动：研究函数的目的是为了通过函数解决实际具体问题，有了定义接下来当然是图象与性质，本节课我们先研究正弦函数的图象性质.设计意图：复习回顾本节课要用到的知识，规划研究方案，构建本单元的研究路径定义—图象—性质.问题2：正弦函数y=sinx(xϵR)只需要研究哪一个较小区间即可？为什么？师生活动：sin(x±2π)= sinx，自变量每增加（减少）2π正弦函数值将重复出现.设计意图：据此可以简化对正余弦函数的图象与性质研究过程.回忆前面所学知识，绘制函数图像的基本步骤是？（列表、描点、连线）今天我们仍然遵循这种步骤.○1列表y=sinx,x∈[0,2π]x0π6π4π3π2……2πsinx012√22√321 0○2描点师生活动：（0，0）就是原点，（π6，12）纵坐标好找但横坐标不好找，（π4，√22）横纵坐标都不好找，这个π6在x轴如何取？2π如何在x轴上取？都只需要回到横坐标2π如何找？其实2π对应的是（学生答单位圆的周长）我们可以用细线绕圆一周，平铺到x 轴上起点为原点，终点横坐标为2π，那π6只需要把它12等分就行.(几何画板展示圆拉长，线段变圆，显示各分点横坐标)刚才我们找的是横坐标，纵坐标如何找？（单位圆上点的纵坐标平移即可）设计意图：对于2π如何在x 轴上取？形成知识与教学的一个冲突，刚才我们用初中的知识解决高中新问题（线段等分对应单位圆等分）难点的地方在于描点这与以往的函数不同（有化曲为直的过程）.问题3：通过刚才取特殊点的过程，我们会发现对于[0,2π]任取一个值x 0,都可以借助单位圆确定正弦函数值sinx 0,并准确画出点（x 0，sinx 0），那么横坐标x 0在单位圆上表示哪个几何量？sinx 0的几何意义又是什么？设计意图：深化对正弦函数定义的理解.通过分析点的坐标的几何意义，准确描点. 追问：根据上述分析如何具体绘制点B （x 0,sinx 0)？如何描述其过程？工具：细线（软细铁丝)一根师生活动：和学生讨论后小结绘制（x 0,sinx 0）步骤.xyB （x 0,sin x 0)A (x 0,0)PG H O1）用细线绕单位圆圆周测量出角x0所对弧长l.2）在x轴上以原点O为端点取线段OA且OA=l，则A（x0,0）.3）用细线测出点P 到x轴的距离d，4）过A(x0,0）作x轴垂线并截取线段AB=d ，得到点B(x0,sinx0）.若角x0为第一或第二象限角，则点B在x轴上方，若角x0为第三或第四象限角，则点B在x轴下方.教师利用信息技术展示（动画形成过程）分析图象特征（中心对称），有最高点、最低点、与x轴有三个交点（物理中称为平衡点），图象始终面向x轴，教师动作比划举反例，此时学生动手画.问题4：根据函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R 的图象吗？画出该图象.师生活动：由公式一将=sinx，x∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度）就可以得到y=sinx，x∈R 的图象.教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.而且还指出这种方法作图，虽然比较精确，但费时费力在精度不太高时，如何绘制简图?设计意图：绘制函数y=sinx，x∈R 的图象，并培养说理的习惯.再则承上启下.问题5：如何绘制y=sinx x∈[0, 2π]的图像简图?追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动：五个关键点：(0,0)、(π2,1)、(π,0)、(3π2,−1)、(2π,0），再次强调这是非常优美的曲线，想到唐朝诗人张若虚《春江花月夜》中“春江潮水连海平，海上明月共潮生”波浪起伏的样子.设计意图：在确定图象形状时起关键作用，获得“五点法”简便画图.问题6：如何作余弦函数y =cosx的图象呢？师生活动：有了正弦函数图象，可以用同样方法作余弦函数图象，但费时费力.那么sinx与cosx有什么关系？sin(x+π)=cosx是从数的角度思考的，那从形上思考怎样描述？2展示图：余弦曲线是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线.设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，从运动的观点由正弦函数的图象获得余弦函数的图象；增强对两个函数图象之间的认识.问题7：余弦函数在[0, 2π]上有没有五个关键点？师生活动：学生回答之后，完成书中探究.分析图象.设计意图：观察余弦函数图象，利用五点掌握其特征.（今天作图与已往不同1.等分圆周等分线段的方法（用定义）2.正弦函数余弦函数都有五个关键点再扩展到实数集上）为了进一步延伸接下来完成课堂活动.课堂活动：分组协作绘制函数图像，展示点评先用“五点法”画出下列函数的简图，然后再说明如何经过图象变换得到下来函数图像：1.y=1+sinx x∈[0,2π]2. y=−cosx x∈[0,2π]小结：一二一五一种新方法（几何作图）两个图象（一种启示）人生就像正弦曲线，有上坡，也有下坡，有希望的巅峰也有失落的低谷，所以跌倒了爬起来，只要爬起来的次数比跌倒的次数多一次，你就是成功者.一个关系(平移关系)五个关键点.。
人教A版高中数学必修一常州西夏墅教学案映射新,
一、学习目标：1、理解映射的概念，能判断一个对应是否构成映射；2、通过对映射的学习加深对函数概念的理解。
二、复习旧知：复习函数定义：一般地，设A ，B 为两个 ，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 与之相对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的 。
简而言之：函数就是建立在两个非空数集之间的单值对应。
其实生活中还有很多在两个集合之间建立单值对应的例子。
三、问题解决：问题1、你能列举出一些生活中的两个集合之间的单值对应的实例吗？问题2、映射的概念：一般地，设A,B 为两个 ，如果按照某种对应法则f ，对于集合A中的 ，在集合B 中都有 与之相对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作 。
例1、 判断下列对应中，哪些是A 到B 的映射？AAA BB A B B问题3、映射与函数有什么区别和联系？问题4、映射中相关概念的了解集合A中的元素m按照对应法f与集合B中的元素n相对应，则称n为元素m 在集合B中的像，称m为元素n在集合A中的原像。
例2、已知对应法则),(),(:yxyxyxf-+→，则点A（3,4）对应的像为，点B（5,7）对应的原像为。
四、练习反馈：1、根据对应法则，写出给定元素的对应元素。
（1）12:+→xxf(2)21:-→x xg921→→→553→→→2、下列对应关系中，哪些是A到B的映射？（1）. {}{}的平方根；，，，xxfBA→---==:,3,2,1,1239,4,1（2）. 的倒数；，xxfRBRA→==:,（3）. ；，2-:,2xxfRBRA→==3、{}的映射。
到是，使得，试找一个集合若BAxxfAB12:5,3,1-→=五、课堂小结：六、课后作业 基础达标：1、下列从集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是 。
（1） A=B=N +，对应法则|3|:-=→x y x f（2）{}1,0,==B R A ，对应法则⎩⎨⎧<≥=→)0(0)0(1:x x y x f（3） R B A ==，对应法则x y x f ±=→:Q B Z A ==,，对应法则xy x f 1:=→ 2、设{}20|≤≤=x x M ，{}20|≤≤=y y N ，给出下列六个图形，其中表示从M 到N 的映射共有 个。
【教案】函数y=Asin(ωx+φ)教学设计--高一上学期数学(人教A版2019必修第一册)
《5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)》教学设计（一）教学内容建立一般的匀速圆周运动的函数模型；参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响.（二）教材分析1. 教材来源人教版（2019）第五章第六节. 2.地位与作用是研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像和性质的基础.（三）学情分析1.认知基础：学生经历了利用单位圆建立正弦函数模型的过程，而且初中研究过二次函数2()y a x h k =-+中参数,,a h k 对函数图象的影响.2.认知障碍：建立函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的模型时研究质点运动时间x 与质点到达位置之间的关系有一定的困难.（四）教学目标1.知识目标：理解参数ω，φ在圆周运动中的实际意义，掌握参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx＋φ)图象的影响；2.能力目标：通过对筒车介绍，发现三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的模型，通过参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响提高学生分析问题，解决问题的能力；3.素养目标：发展学生的数学建模、数学抽象、逻辑推理与直观想象的数学素养.（五）教学重难点：1. 重点：用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响.2. 难点：将实际问题抽象为数学问题的过程与方法；参数ω，φ对函数y =sin(x +φ)图象的影响的研究过程.（六）教学思路与方法本节课先由筒车问题建立一般圆周运动的函数模型，再借助二次函数中参数对函数图象的影响的研究方法，研究ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响. （七）课前准备PPT ，视频问题1：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？预设答案：筒车运动模型中，盛水桶的运动周而复始，具有周期性，可考虑用三角函数模型去刻画它的运动规律.教学环节：新知探究自主探究获得函数关系h t r H ++=)sin(ϕω 3．明确函数y =A sin(ωx +φ)研究思路 问题3：从解析式看，函数y ＝sin x就是函数y =A sin(ωx +φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形．（1）能否借助我们熟悉的函数y ＝sin x 的图象与性质研究参数A ，ω，φ对函数y =A sin(ωx +φ)的影响呢？ （2）函数y =A sin(ωx +φ)中含有三个不同参数，类比以往研究函数的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？预设答案：类比对二次函数y ＝a (x－h )2＋k ，图象用“控制变量法”的研究过程，具体的操作办法是：可以分别将其中的两个变量特殊化，研究另一个变量对图象的影响，最后，综合分析由一个特别简单的二次函数如何一步一步通过变换得到一个较复杂的二次函数图象的过程．4．探究φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响．问题4：观察当参数φ变化时，函数y ＝sin(x ＋φ)的图象有什么影响？追问1：φ的不同值表示什么含义？结合筒车说明．预设答案：在筒车例子中，φ的不同值表示是初始位置所对应的角不同． 追问2：如果在单位圆上将起点Q 0绕O 1旋转6π到Q 1，让动点P 1以Q 1为起点，按照与P 0一样的方式，运动到点P ，需要多长时间？对应的函数y ＝sin(x ＋6π)图象上的点G 的坐标是多少？。
新版高一数学必修第一册第三章全部教学设计
新版高一数学必修第一册第三章全部教学设计3.1.1 函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。
但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。
所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。
所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.A.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;B.用集合与对应的思想理解函数的概念;C.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：函数的概念及符号()y f x 的理解。
多媒体（单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w 。
2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【答案】不是。
自变量的取值范围不一样。
问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
高中数学人教A版必修1第一章指数函数及其性质教学设计案例
教学设计案例《§2.1.2 指数函数及其性质》教学设计课题§2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修1 A版教学目标1. 通过实例引入指数函数，激发学生的学习兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，体会数学的应用价值；2. 通过牛肉面的实例，激发学生对家乡的热爱之情；3. 通过探究指数函数的底数a的条件，明确数学概念的严谨性和科学性，并领会分类讨论的思想方法；4. 掌握指数函数的概念，并能根据定义判断一个函数是否为指数函数；5. 通过现代信息技术的合理利用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段；6. 通过观察指数函数的图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质；7. 体会数形结合的思想，培养学生发现、分析、解决问题的能力；8. 在探究过程中，让学生体会从特殊到一般的数学方法；9. 会用指数函数及其性质解决指数函数相关问题.教学重点指数函数的概念和性质.教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.授课类型新授课课时安排第一课时（40分钟）教学方法引导启发式、参与发现式教学用具多媒体课件、坐标纸、性质列表.教学过程活动一 体会身边的指数模型1．教师请学生展示牛肉面的拉面过程，让学生抽象出拉面师两手之间的面的根数与对折次数之间的关系.（设计牛肉面的情境，旨在激起学生学习数学的热情，调动学生主体参与学习活动的积极性，并让学生体会身边的指数模型，同时感受家乡美.）2．庄子在《天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”请学生写出截取第x 次后，木棰的剩留量y 与x 的关系式.（设计这个情境，旨在渗透数学史.）3.回顾两个情境，教师提问情境中涉及到的两个关系式*2,x y x N =∈和*1,2xy x N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是不是函数，为指数函数定义的探究做好铺垫. 活动二 探究指数函数的定义1．将活动一得到的关系式*2,x y x N =∈中的定义域扩充到实数集范围，即2,x y x R =∈.提问学生上述关系式是否为函数？2．如果将2,x y x R =∈中的底数2替换为常数a ，它还是函数吗？学生分小组讨论，教师引导学生对参数a 的限定条件进行讨论，得出0>a 且1≠a 的结论. 教师也参与到学生的讨论中，对有困难的小组进行启发.（采用小组合作这种方式，一方面是考虑到小组合作这种特殊的学习模式具有信息密度大、传递速度快等特点，另一方面是为了培养学生的合作意识和语言表达能力，让学生尝试“说数学”.）3．讨论结束后，小组派代表向全班同学展示讨论结果.（学生发表观点，教师及时实施多元评价.）交流后，教师完善定义并用多媒体展示指数函数定义，并指出指数函数的定义是形式化的定义，我们必须严格依照它的形式来判断一个函数是否为指数函数.并用多媒体展示形式中的三个要求.一般地，函数y=a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R.想一想 下列四个函数是不是指数函数？21223;;3;3.x x x y y x y y +=⨯===教师随机提问.（这个环节是为了让学生进一步理解指数函数的形式化定义.）活动三 探究指数函数的图象分小组在事先准备好的坐标纸上用描点法作出下面几个指数函数的图象.○12x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；○24x y =与14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；○35x y =与15xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 要求：每位同学从上述三组函数中选择一组底数互为倒数的指数函数作出函数的图象.（设置这个环节是为了让学生尝试“做数学”，体会知识的生成过程，教师对有困难的同学进行个别指导.）选代表展示自己画出的图象.教师给予及时评价.（教师鼓励性的及时评价有利于学生建立学习数学、探索知识的自信心.）展示交流后，教师用几何画板作出第一组的两个图象，再用EXCEL 画出第二组和第三组的4个函数图象.并请学生对比自己画出的图象.教师进一步用几何画板展示当底数0a且)1a为任意常数时对应的指≠a(>数函数的图象.（EXCEL和几何画板的加入，有利于学生更准确地认识指数函数的图象，节省课堂有效教学时间，同时也体现了信息技术的有效整合.）活动四探究指数函数的性质1.教师结合几何画板，动态呈现底数a变化时的一系列函数图象，让学生仔细观察图象特征，进而归纳相应性质.学生积极发言.学情预设(1).定义域是R ；(2).图象恒过（0，1）点；(3).值域是（0，＋∞）；(4).不是奇函数，也不是偶函数；(5).当a ＞1时，函数在R 上单调递增；当0＜a ＜1时，函数在R 上单调递减；(6).函数图象无限靠近x 轴；(7).当a ＞1时，随着a 的增大，函数图象在第一象限越来越靠近y 轴；当0＜a ＜1时，随着a 的减小，函数图象在第二象限越来越靠近y 轴.学生发言的同时，教师及时板书.2. 教师引导学生回忆并观察自己画出的2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、4x y =与14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭或 5x y =与15xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，说说底数互为倒数的两个函数图象间有没有什么关系.学生发表自己的观点后，教师动态展示2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象关于y 轴对称.教师引导学生猜想=x y a 与1(0⎛⎫=> ⎪⎝⎭xy a a 且1)≠a 的图象是否关于y 轴对称？板书上述性质，并鼓励学有余力的学生课后做出严格证明.（这正体现了新课标中不同的学生在数学上得到不同的发展这一理念）活动五 新知应用○例已知指数函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象过点()π,3,求f (0), f (1), f (-3)的值. 学生独立练习，教师个别指导.结束后，请一位学生口述解题过程，教师实施评价并展示解题过程.解：因为()x f x a =的图象过点(3,)π，所以(3)f π=，即3a π=，解得13a π=，于是 3()x f x π=.所以，10131(0)1,(1)(3).f f f ππππ-====-==活动六 小结归纳 布置作业教师提问：通过这节课的学习，你有哪些收获呢？1.知识：2.数学史：（教师在本环节先引导学生从知识层面对指数函数及其性质进行梳理，深化知识与技能，回顾课堂中认识到的数学人物庄子和华罗庚，旨在渗透数学史并且增强学生的民族自豪感.）●必做:习题2.1 A组5、6题●选做:查阅关于“富兰克林的遗嘱和拿破仑的诺言”相关资料，写一篇不少于300字的小论文,体会并与同伴交流指数函数在生活中的应用.（选做题的加入，一方面是让学生体会数学的应用价值，提高资料检索的能力，另一方面体现了不同的学生在数学上得到不同的发展这一理念.）板书设计。
高一【数学(人教A版)】三角函数的概念-教学设计
课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期上课题三角函数的概念教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1. 初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；2.在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；3.经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象素养.教学重点：任意角的三角函数概念.教学难点：用单位圆上点的坐标定义三角函数.教学过程时间教学环节主要师生活动创设情景，导入新课问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？如右图所示,圆O上的点P以A为起点做逆时针旋转,在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化.根据弧度制的定义，角α的大小与圆O的半径无关，我们能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况?【设计意图】开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点P随着角度的变化而变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指明方向.引导探究，形成新知分析要解决这个问题，我们需要什么工具？①建立函数模型,要利用直角坐标系.②根据任意角的定义，需要借助单位圆.如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标是()1,0，点P的坐标是(),x y. 把该问题抽象为一个质点P从点A()1,0开始在单位圆上的运动.问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？（1）点P在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标x、纵坐标y，弧长l，旋转角度α；（2）判断变量：,,,x y lα间的哪两个变量能否构成函数关系？过过点P作PM⊥x轴于M,根据勾股定理可知221OM PM+=，即221x y+=，显然变量x、y间的对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中我们已经知道变量,lα之间的关系，并且变量,x y与α的关系和,x y与l的关系等价，所以我们研究变量,x y与α的关系.问题2: 若角α终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标呢？追问1：当我们遇到一般性问题应该如何研究？特殊化：不妨设3απ=，此时点P在第一象限, 构造直角三角形，过点P向x轴引垂线交x轴于M,Rt OMP∆中,可得12OM=,32PM=,即12x=,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭.追问2:当23απ=时，点P的坐标是什么？同样,当23απ=时，点P在第二象限, 可得12x=-,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.追问3：任意给定一个角α，点P 的坐标唯一确定吗？因为单位圆的半径不变，点P 的坐标只与角α的大小有关，当角α确定时，点P 的坐标是(),x y 也唯一确定.追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角α的终边与单位圆的交点P 的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？对任意一个实数α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横、纵坐标x 、y 都是唯一确定的，有如下对应关系：任意角α(弧度)→ 唯一实数x ； ①任意角α(弧度)→ 唯一实数y ． ②一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标，无论是横坐标x ，还是纵坐标y ，都是唯一确定的.所以，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角α的函数.【设计意图】以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α (弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.下面给出这些函数的定义：如图，设α是一个任意角，R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(),P x y ，那么把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记做sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记做cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切函数，记做tan α，即()tan 0y x xα=≠. 问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标y →正弦函数；实数α(弧度)对应于点P 的横坐标x →余弦函数；当点P 的横坐标为0时，角α的终边在y 轴上，此时()2k k Z απ=+π∈，所以tan y xα=无意义.用新知标为13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以53515sin,cos,tan 3.32323πππ=-==-【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(),x y，点P与原点的距离为r.求证：sinyrα=，cosxrα=，tanyxα=引导学生分析问题：①你能根据三角函数的定义作图表示sinα和cosα吗？②在你所作的图形中，yr，xr，yx表示什么？你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗？解：设角α的终边与单位圆交于点0P()00,x y，分别过点,P P作x轴的垂线00,PM P M，垂足分别为,M M，则000,PM y P M y==，00,,OM x OM x==OMP∆11OM P∆.所以得到001P M PMr=,即yyr=.因为y与y同号，所以yyr=，即sinyrα=.同理可证：cosxrα=，tanyxα=.【设计意图】通过问题引导，使学生找到OMP∆、11OM P∆，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，我们以后要学习的有关三角函数其他知识都建立在我们对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和体会今天所学的知识.三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角α的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为P ， 即可由点P 坐标(),x y 得到三角函数定义.正弦函数：()sin y x x R =∈;余弦函数：()cos y x x R =∈;正切函数：tan y x =,2x x k k Z π⎧⎫≠+π∈⎨⎬⎩⎭. ②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角α，角α终边上的任意一点P 的坐标为(),x y ，它到原点O 的距离为22r x y =+，那么sin y r α=，cos x r α= ，tan y xα=. 在我们研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？在任意角的三角函数的概念建构的过程中，我们运用了转化与化归、数形结合、函数思想，这些思想方法在我们今后的学习中非常重要，我们一定认真体会.。
高中人教A数学必修一教案
高中人教A数学必修一教案科目：数学年级：高中一年级教材版本：人教A版课题：二次函数的图像和性质教学目标：1. 理解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数的图像特征和变化规律；3. 能够根据给定的二次函数方程绘制函数图像。
教学重点和难点：重点：理解二次函数的图像和性质，掌握绘制二次函数图像的方法。
难点：理解二次函数的开口方向和顶点位置的关系。
教具准备：1. 教科书《数学高中一年级人教A版》；2. 黑板、粉笔、彩色粉笔；3. 计算器；4. 笔记本、铅笔。
教学步骤：一、引入1. 利用实例引入二次函数的概念，让学生观察下列函数的图像：y=x^2、y=-2x^2、y=x^2+2。
2. 让学生讨论观察到的图像特征和规律，引出二次函数的性质和变化规律。
二、概念讲解1. 介绍二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，解释各系数对函数图像的影响；2. 解释二次函数的顶点、开口方向等概念，并讨论它们之间的关系；3. 通过具体实例演示如何根据二次函数方程绘制函数图像。
三、练习和讨论1. 让学生自行绘制几个二次函数的图像，并互相交流讨论；2. 带领学生解决一些练习题，加深对二次函数图像的理解。
四、总结与拓展1. 总结二次函数的图像特征和性质，以及如何绘制函数图像的方法；2. 提出相关拓展问题，激发学生对数学的兴趣和思考能力。
教学反思：本节课注重通过实例和讨论引入二次函数的概念，帮助学生建立直观的数学概念，培养他们的观察和思考能力。
通过练习和讨论，学生能够更好地理解二次函数的图像和性质，掌握绘制函数图像的方法。
在教学过程中，要注重引导学生主动思考和合作讨论，培养他们的数学思维和团队合作能力。
人教a版高中数学必修一函数的应用(一)教学设计
人教a版高中数学必修一函数的应用(一)教学设计课程名称：高中数学必修一-函数的应用（一）适用对象：高中一年级学生课时数：8课时教学目标：1.理解函数的概念及其应用领域；2.掌握函数的应用方法，解决有关函数的实际问题；3.培养学生解决实际问题的数学建模能力；4.培养学生合作学习和探究精神。
教学重点：1.函数的概念及其应用领域；2.函数应用问题的转化和解决方法。
教学难点：1.实际问题的数学建模，将问题转化为函数应用问题；2.函数应用问题的解决方法及其灵活运用。
教学准备：1.教师准备：教学课件、教学素材、实际问题应用案例；2.学生准备：教材、笔、纸等。
教学过程：第一课时：函数的概念及其应用1.导入新课：教师出示一张世界各国人均寿命表格，引导学生思考：为什么有些国家的人均寿命较短而有些国家的人均寿命较长？这背后是否存在着某种规律或关系？2.介绍函数的概念：-教师简要介绍函数的概念，引导学生了解自变量、因变量和函数值的概念；-学生展示函数的图象，让学生感受函数与图象之间的关系。
3.探究函数的应用领域：-教师列举一些函数的应用领域，如物理学中的速度函数、经济学中的利润函数、人口统计学中的增长函数等；-学生小组讨论一个他们感兴趣的应用领域，并展示出来。
第二课时：函数应用问题的转化1.复习函数的概念与应用领域：老师复习第一课时的内容，让学生能够回答与函数相关的问题。
2.引入实际问题：教师提供一个实际问题，如某电商公司销售额与广告费用的关系问题，带领学生思考如何用函数来描述与解决这个问题。
3.讨论与转化：学生自由讨论如何将实际问题转化为函数应用问题；教师引导学生讨论并总结出问题转化的关键点。
第三课时：函数应用问题的解决方法1.引导学生思考解决问题的方法：教师提问：如何找到函数的解析式？如何求解函数的最值？如何解决在一定条件下的函数问题？2.示范解决实际问题：教师提供一个实际问题，带领学生使用已学方法解决；学生分组完成解决问题的过程。
高中人教版数学必修一a教案
高中人教版数学必修一a教案学科：数学年级：高中一年级教材版本：人教版必修一A课时数：1课时主题：多项式教学目标：1. 理解多项式的定义，并能区分单项式、二项式和多项式；2. 能够如何根据多项式的表达式进行分类；3. 能够完成相关的练习和题目。
教学重点：1. 多项式的定义；2. 区分单项式、二项式和多项式。
教学难点：1. 区分单项式和多项式；2. 判断给定的代数表达式是单项式、二项式还是多项式。
教学准备：1. 教材中与多项式相关的知识点；2. 教学投影仪。
教学过程：第一步：导入教师通过引导学生回顾代数基础知识，如代数式、单项式、多项式的概念，并提出今天的教学目标。
第二步：讲解教师通过投影仪展示多项式的定义和表达式，并解释单项式、二项式和多项式的区别。
让学生明白多项式是由多个单项式相加或相减而成，并可以根据项数的不同进行分类。
第三步：练习教师设计一些练习题，让学生进行判断给定的代数表达式是单项式、二项式还是多项式，并进行分类。
学生可以通过小组合作的方式完成练习。
第四步：总结教师归纳总结今天的知识要点，强化学生对多项式的理解。
同时引导学生复习相关的题目和知识点。
第五步：作业布置布置相关的作业，让学生巩固今天的知识点，完成作业后进行下节课的讨论。
教学反思：本节课主要是引导学生理解多项式的概念，根据不同项数进行分类。
通过实例的讲解和练习的方式，让学生掌握多项式的基本概念和相关知识。
在教学过程中，要注意引导学生注意多项式的特点和分类方法，巩固学生对代数知识的理解。
人教A版高中数学必修一常州西夏墅教学案指数新,(1)
学习目标：1．进一步理解指数函数的性质；2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；课前预复习：1．复习指数函数的概念、图象和性质练习：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为 ．若a ＞1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y1．若0＜a ＜1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象恒过(0，1)，那么对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x -1的图象恒过哪一个定点呢？问题解决：例1 解不等式：（1）0.533x ≥；（2）0.225x <； （3）293x x ->； （4）34260x x ⨯-⨯>．小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．例2 说明下列函数的图象与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）22x y -=； （2）22x y +=； （3）22x y =-； （4）22x y =+． 小结：指数函数的平移规律：y ＝f (x )左右平移⇒ y ＝f (x ＋k )(当k ＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移⇒ y ＝f (x )＋h (当h ＞0时，向上平移，反之向下平移)．练习反馈：（1）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数 的图象．（2）将函数f (x )＝3-x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数 的图象．（3）将函数2123xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是 ．（4）对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x -1的图象恒过的定点的坐标是 ．函数y ＝a 2x －1的图象恒过的定点的坐标是 ．小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．（5）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝2|x |和y ＝2|x -2|的图象？（6）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝|2x －1|的图象？ 小结：函数图象的对称变换规律．例3 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＜0时，f (x )＝1－2x ，试画出此函数的图象．例4 求函数1421x x y -=-+的最小值以及取得最小值时的x 值． 小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．练习：（1）函数y ＝a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于 ；（2）函数y ＝2-|x |的值域为 ；（3）设a ＞0且a ≠1，如果y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值；（4）当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，求实数a 的取值范围． 课堂小结：1．指数函数的性质及应用；2．指数型函数的定点问题；3．指数型函数的草图及其变换规律．课后巩固：1．已知0,1a a >≠，x y a =-与x y a =的图象关于 对称；x y a -=与x y a =的图象关于 对称.2. 已知0,1;a a h o >≠>，由 x y a =的图象 向左平移h 个单位 得到x h y a +=的图象； 向右平移h 个单位 得到x h y a -=的图象； 向上平移h 个单位 得到x y a h =+的图象； 向下平移h 个单位得到x y a h =-的图象.3. （1）函数21(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点为___ _________.（2）已知函数13x y a +=+的图象不经过第二象限，则a 的取值范围是__ ___________.4. 怎样由4x y =的图象，得到函数421()22x y -=-的图象？5. 说出函数3x y -=与3x a y -+=(0)a ≠图象之间的关系：能力拓展：6.说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）12x y +=； （2）22x y -=7.说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）21x y =+；（2）22x y =-．8.画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：（1）|22|x y =-；（2）||2x y -=9.（1）求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）；（2）求不等式24x x +≥的解集课后探究（1）函数f(x)的定义域为(0，1)，则函数()222x x f -的定义域为 ．（2）对于任意的x 1，x 2∈R ，若函数f(x)＝2x ，试比较1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与的大小．。
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1 人教A版高一年级数学必修一教学案 课题：《1.3.1单调性与最大(小)值》 第一 课时 2010 年 10 月 9 日 星期 三 单位 微山县第一中学 备课人 裴中军 教学目标：
1、知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念。
（2）初步掌握判定函数单调性的方法； 2、过程与方法：（1）引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构函数单调性概念的过程，经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 （2）体会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力 3、情感态度与价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，体验数学的科学价值和应用价值. 重点： 形成增（减）函数的形式化定义。
难点： 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．
教法： 教师启发讲授，学生探究学习．
关键： 将数学语言符号化
教具： 多媒体
学具： 课型： 新授课
课时： 一课时
学 案 教师活动（含学法指导）
学生活动 设计意图
一、课前预习： 请同学们阅读课本P27-----P29，回答下列问题： 1．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则…( )
A．k＞12 B．k＜12 C．k＞－12 D．k＜－12 2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是…( ) A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减 3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、
一、课前预习：
教师提前
发放学案，以备学生课前
一学生自主学习，合作学习。完成学案的课一、建构主义学习理论认为：学习是学生主动的建构活动，新课 2
x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( ) A.f(x1)－f(x2)x1－x2>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b) D.x1－x2f(x1)－f(x2)>0 4．下图表示某市2008年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图回答下列问题：
(1)这天的最高气温是__________； (2)这天共有______个小时的气温在31 ℃以上； (3)这天在______(时间)范围内温度在上升； (4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约在______内． 二、课堂探究新知
1．创设问题情景、引出概念 问题1：下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 观察问题4中气温随时间变化图象，你还能得到什么信息？ 问题2：在生活中，本人世间们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对本人世间们的生活是很有帮助的．你还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
2．组织合作探究，促进概念建构 问题3：观察多媒体展示的函数的图像 ，指出图像变化的趋势. 图1 图2 图3 问题4：“图像呈逐渐上升趋势”这句话初中是如何描述的？ 问题4：“图像呈逐渐上升趋势”这句话初中是如何描述的？能否给出函数单调性的定义？ 自学 二、课堂探究新知 1．创设问题情景、引出概念 教师运用多媒体出示问题，组织学生讨论，并前预习部分。 1、学生在小组合作学习的基础上自主回答问题1、2 标倡导自主学习、合作学习的学习方式。先学为后教作铺垫。
1、学习应与一定的情境 3
问题5：判断函数 y=x2 (x∈R)是增函数还是减函数？ 问题6: 如何用代数方法证明函数 y=x2在x∈（0，+∞）上是增函数？
问题7:如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 师生活动：引导学生得出： 第1步：将两个“增大”符号化: 第2步：再将“随”符号化 : 第3步：再将 “任意”符号化: 第4步：再将 “区间”符号化:
形成单调增函数定义：
问题8：如何定义单调减函数呢？ 一般地， 是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间. 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有 这个区间就叫做函数y=f(x)的 。
3．深入探究，完善概念 问题9：函数单调性定义中的x1，x2，有何特征？ 问题10：能否换种方式表达函数单调性定义（寻找定义的等价形式）
进行提问。 2．组织合作探究，促进概念建构 教师运用多媒体出示问题，引导学生观察图象的变化。引导学生讨论、交流教师要及时给予评价并进一步完善。 2、学生展示研究成果。 学生在合作学习的基础上分工展示。 让学生讨论能否通过个别数值来说明函数单调性？体会准确表述相联系，创设教学情境，激发学习兴趣。
2、学生对概念的认识，都经历三个阶段：直观感受、文字描述、数学符号语言严格定义，让学生在直观感知的基础上初步进行概念的符号化建构，与学生的认 4
问题11：如何说明一个函数不具有单调性?（只需否定“任意”即可）. 问题12：举例说明一个函数在定义域的若干个区间上具有相同的单调性，能否说在整个定义域上具有单调性？（以
y=x1为例加以说明）
4．自我尝试，运用概念 例1:证明函数f(x)=x+x3在R上是增函数. 运用定义证明函数单调性的一般步骤：取值、作差、变形 、定号. 探究：求函数f(x)=x+x1(x>0)的单调区间. 归纳求函数单调区间的常用方法：（1） （2） （3） 特别注意函数的单调区间不能写成并集的形式。 5．归纳总结、达标评价 （1）课堂总结 问题13:通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 你又掌握了哪些学习数学方法？ 你能用类似的方法得出函数的其它性质吗？ （2）当堂达标测试 （学生根据个人实际情况在规定时间内 教师为学生搭建以下“脚手架”：取特例不能反映本质。强调x1,x2的任意性 教师借助于多媒体进行直观动态演示 并不断追问，让学生自主获得结论。 单调递增的特征. 学生在讨论中获得符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性。 学生类比知起点衔接紧密，符合学生的认知规律. 让学生明白函数的单调性具有区间性，为形成函数单调性的概念奠定基础. 让学生经历概念的形成过程，
问题7的解决被设计成 5
完成各级题目，满分100分） (一)、选择题（A级题，每题10分） 1、下列结论正确的是（ ） （A）函数y=kx（k为常数，k<0）在R上是增函数 （B）函数y=x2在R上增函数
（C）y=x1在定义域内为减函数
（D）y=x1在（-∞，0）上为减函数 2、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ） （A）y=3-x （B）y= x2 （C） y=x1 （D）
y=-x 3、设函数f(x)=（2a-1）x+b是R上的减函数，则（ ） （A）a≥ 21 B、a≤ 21 （C）a＞-21 （D）a＜21 4、函数f(x)在（-2，3）上是增函数，则f(x-5)递增区间是（ ） （A）（3，8） （B）（-7，-2） （C）（-2，3） （D）（0，5） 5、f(x)=- x2+2ax-1+a2在（-∞，2］上为增函数，在区间［2，+∞）上是减函数，则的值f(2)为（ ） （A）-1 （B）7 （C） 3 （D）随a 的变化而定 (二)、填空题（B级题，每题25分）
6、f(x)在（0，+∞）上为减函数，则f(a2-a+1)与f (43)的大小关系是
7、函数f(x)=).1(15),1(12xxxx,则f(x)的递减区间是 (三)、解答题（C级题，选做题 共50分） 8、设函数f(x)在（0，+∞）上为减函数，且有f(2a+1)
三、课后作业:习题1、3 A组练习1——3题.
3．深入探究，完善概念 师生共同点评。教师对学生得出的结论进行评价，并及时修正学生的研究方法和研究方向。 4．自我尝得出单调减函数、单调减区间的定义 在小组合作探究的基础上，让各小组抢答、质疑。 师生合作归纳出运逐层递进的4步，让学生经历概念的符号化过程，深刻理解概念。 问题8通过类比的方法得到，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的.
学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教 6
试，运用概念 师生合作完成解题步骤 师生共同归纳求函数单调区间的常用方法（观察法、定义法、分解法） 5．归纳总结、达标评价 老师补充、完善学生的回答，并帮助学生进用定义证明函数单调性的一般步骤及求函数单调区间的 常用方法 小组讨论 个别展示 学或构造反例来帮助学生理解概念的内涵与外延
让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序， 深化对函数单调性概念的认识。