分数与循环小数(教师版)
第8讲 分数与循环小数—完整版
第8讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1．把下列分数化为小数：（1）34，138，1325； （2）29，311，433；（2）56，522，790； （4）27，313，437；答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) .0.2 ，0.27,0.12(3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.1082．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255.答案：(1)23100，479100(2) 325，512003．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1∙，0.4∙；(2)0.01∙∙，0.35∙∙； (3)0.08∙，0.38∙.答案：(1)19,49(2)199,3599(3)445，7184．把下列循环小数转化为分数：0.7∙，0.12∙∙，0.123∙∙，0.123∙∙答案：79，433，41333，614955.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++（4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。
答案：(1)23 (2)1 (3)213(4)107300 (5)39110解析：（1）123620.10.20.399993++=++==。
（2）23490.20.30.419999++=++==。
（3）3571520.30.50.7199993++=++==。
（4）112112312321390.10.120.123990900900110--++=++==；（5）12123351390.120.239099990110-+=+==。
6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。
第三单元《循环小数》教案方案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了循环小数的基本概念、分类、表示方法以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对循环小数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《循环小数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过小数点后面一直重复的数字？”（例如：购物时找零1.333...元）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索循环小数的奥秘。
（3）解决实际问题：将循环小数应用于实际问题的解决，学生可能会在理解题意和运用知识点上遇到困难。
难点举例：在购物找零等实际场景中，如何运用循环小数的知识进行计算。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，运用生动形象的教学方法，结合实际例子进行讲解，以帮助学生更好地理解和掌握循环小数的知识。同时，加强课堂互动和练习，及时解答学生的疑问，提高教学效果。
在课堂总结环节，我发现学生对循环小数的认识和应用有了明显的提高，但仍有一些学生对知识点掌握不够牢固。为了巩固学生的学习成果，我打算在课后加强个别辅导，关注学生的个体差异，帮助他们弥补知识漏洞。
4.循环小数与分数的关系：探索循环小数与分数之间的转换方法，提高学生解决问题的能力。
5.解决实际问题：运用循环小数的知识解决生活中的问题，增强学生的应用意识。
二、核心素养目标
《循环小数》教学旨在培养学生以下核心素养：
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
第8讲。分数与循环小数—完整版
第8讲。
分数与循环小数—完整版第8讲分数与循环小数本节课程的目标是掌握分数与小数的互相转化方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用。
同时，我们还要学会通过分数的形式判断相应的小数类型，并注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1.把下列分数化为小数：1) $\frac{31}{41}$，$\frac{32}{19}$，$\frac{13}{25}$；2) $\frac{1}{5}$，$\frac{3}{11}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{5}{43}$。
答案：(1) 0.7561，1.6842，0.52；(2) 0.2，0.2727，0.12，0.1163.2.把下列小数化成分数：1) 0.23，0.479；2) 0.12，0.255.答案：(1) $\frac{23}{100}$，$\frac{479}{1000}$；(2) $\frac{3}{25}$，$\frac{51}{200}$。
3.把下列循环小数转化为分数：1) 0.1，0.4；2) 0.01，0.35；3) 0.08，0.38.答案：(1) $\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{1}{99}$，$\frac{7}{20}$；(3) $\frac{2}{25}$，$\frac{19}{50}$。
4.把下列循环小数转化为分数：0.7，0.12，0.123，0.123.答案：$\frac{7}{10}$，$\frac{3}{25}$，$\frac{41}{333}$。
5.计算：1) 0.1 + 0.2 + 0.3；2) 0.2 + 0.3 + 0.4；3) 0.3 + 0.5 + 0.7；4) 0.1 + 0.12 + 0.123；5) 0.12 + 0.23.答案：(1) 0.6；(2) 1；(3) 1/2；(4) 0.39；(5) 0.35.解析：(1) $0.1 + 0.2 + 0.3 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$；2) $0.2 + 0.3 + 0.4 = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} +\frac{4}{10} = \frac{9}{10} = 1$；3) $0.3 + 0.5 + 0.7 = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} +\frac{7}{10} = \frac{15}{10} = \frac{1}{2}$；4) $0.1 + 0.12 + 0.123 = \frac{1}{10} + \frac{12}{100} + \frac{123}{1000} = \frac{321}{825}$；5) $0.12 + 0.23 = \frac{12}{100} + \frac{23}{100} =\frac{35}{100} = 0.35$。
第6课时循环小数与分数的互化(老师)
第6课时 循环小数与分数的互化知识精要一、循环小数与分数的互化1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。
2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。
4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。
5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
二、分数与小数的大小比较比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。
精解名题例题1：将下列分数化成循环小数：338)1( 125)2( 600832)3( 解：（1）42.0 （2）641.0 （3）3138.2例题2：将852.0,35.0,5.0 化成分数。
解：从左到右依次是：33386,9953,95 例题3：将926.0,3051.0,277.0 化成分数。
解：22179907659907772277.0==-= 49957519990150299990115033051.0==-= 9906239906629926.0=-=巩固练习1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414…循环小数：0.567567…，2.0123123…，14.141414…非循环小数： 0.333， 4.18576…，0.2020020002…2、循环小数4.25656…的循环节是_56___，用简便方法写作652.4 保留三个小数写作4.257. 3、分数化为循环小数：=1514139.1 . 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,1211 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是619.0 排在末位的是0619.0 5、循环小数4832.0 与427.0 在小数点后面第___12___位时，在该位上的数字都是4.当堂总结1、 循环小数与分数的互化2、 分数与小数的互化自我测试1、将下列分数化成小数：74， 45， 1312 ， 724 解：从左到右依次是：128574.3,623079.0,871425.02、将下列循环小数化成分数：•8.0 •8.1 78.0 7823.0 解：从左到右依次是：825197,9987,917,983、用“<”符号连结下面一组数中的各个数. 58.0 ，85，58.0 ，8049. 解：8049<85<58.0 <58.04、在234.0,500117,2.1,722.0,722.0,32.1,225,911 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来. 解：234.0500117,722.0225,2.1911===5、把小数0.987654321变成循环小数.(1)如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数第200位上的数字是几？(2)如果要使第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面？ 解：（1）∵（200-9）÷7=27 (2)∴是6（2）循环节肯定包括5∵100-9=91 91÷5=18 (1)∴循环节的两个点加在5和1上面。
人教版循环小数教案
人教版循环小数教案教案标题：人教版循环小数教案教案目标：1. 理解循环小数的概念及其表示方法。
2. 掌握将循环小数转化为分数的方法。
3. 能够进行循环小数的加减乘除运算。
教学重点：1. 循环小数的概念及其表示方法。
2. 将循环小数转化为分数的方法。
教学难点：1. 循环小数的加减乘除运算。
教学准备：1. 教材：人教版小学数学教材。
2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入循环小数的概念：请学生回忆小数的定义，引导学生思考循环小数与非循环小数的区别。
2. 引发问题：举例说明循环小数的概念，例如0.3333...、0.6666...等。
3. 引导学生思考：如何将循环小数表示为分数？二、讲解与示范（15分钟）1. 讲解循环小数的表示方法：使用白板或PPT演示，以具体例子说明循环小数的表示方法。
2. 指导学生转化循环小数为分数：以简单的循环小数为例，引导学生按照步骤进行转化，如0.3333... = 1/3。
3. 指导学生转化复杂的循环小数为分数：以0.6666...为例，引导学生将其转化为分数。
三、练习与巩固（20分钟）1. 分组练习：将学生分成小组，每组完成若干道循环小数转化为分数的练习题。
2. 整体操练：随机抽取几道题目进行整体操练，检查学生的掌握情况。
3. 提问与解答：针对学生容易出错的问题进行提问和解答，帮助学生理解和掌握循环小数的转化方法。
四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：如何进行循环小数的加减乘除运算？2. 演示加减乘除运算：以简单的循环小数为例，演示循环小数的加减乘除运算过程。
3. 练习与巩固：让学生进行一些循环小数的加减乘除运算练习，检查他们的运算能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结：回顾本节课的重点内容，强调循环小数的概念和转化方法。
2. 反思：让学生思考本节课的学习收获和存在的问题，并给予适当的指导和建议。
教学延伸：1. 引导学生探究无限不循环小数的概念和表示方法。
循环小数(挑战题)---教师版
分数与循环小数（挑战级）1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?解：１７＝0.142857，2 ７＝0.285714 ，3７＝0.428571，4 ７＝0.571428，5 ７＝0.714285， 6 ７＝0.857142 ，因此，真分数a７化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27， 又因为1992÷27＝73（组）……21,而21＝8＋5＋7＋1，所以a7＝0..857142，即a ＝6．评注：a7的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?解：由题意得：1.23 a －1.23a ＝0.3，即：0.003 a ＝0.3，所以有：3900a −a ＝31０。
解得a ＝ 90，所以1.23 a ＝1.23 × 90＝123−2 90×90＝11190×90＝1113．计算：0.1 ＋0.125＋0.3 ＋0.16 ，结果保留三位小数。
解： 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16 ≈0.1111＋0.1250＋0.3333＋0.1666＝ 0.7359 ≈0.736方法二：.1 ＋0.125＋0.3＋0.16 = 1 9+ 1 8+3 9 + 1590=55 90+ 1 8 = 11 18+ 18=53 72=07361 ≈0.7364．计算：0.01＋0.12＋0.23＋0.34＋0.78＋0.89解：方法一：原式＝ 190+ 12−190+ 23−290+ 34−390+ 78−790+ 89−890＝ 190+ 1190+ 2190+ 3190+ 7190+ 8190＝ 21690=2.4方法二：原式＝（0.0＋0.1＋0.2＋0.3＋0.7＋0.8）＋（0.01+0.02+0.03+＋0.04+0.08+0.09＝2.1＋0.01×(1＋2＋3＋4＋8＋9) ＝2.1＋190×27＝2.1＋0.3 ＝2.4方法三：如下式，0.011111…0.122222．．．0.233333．．．0.344444．．．(1＋2＋3＋4＋8＋9＝27)0.788888．．．＋ 0.899999．．．2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…＝2.39＝2.4．评注：0.9＝99＝1 ,0.09＝919010．5．将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?解：原式＝ 27999× 179672999999=137× 179672999999= 4856999999=0.004856循环节有6位，100÷6＝16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9。
循环小数与分数的转化教案
循环小数与分数的转化教案一、教学目标1、了解循环小数和分数的概念。
2、掌握将循环小数转化成分数的方法。
3、掌握将分数转化成循环小数的方法。
4、能够熟练地应用所学知识，解决实际问题。
二、教学重点1、掌握将循环小数转化成分数的方法。
2、了解将分数转化成循环小数的方法。
三、教学难点1、如何将分数转化成循环小数。
2、如何通过循环小数判断其对应的分数为何。
四、教学方法1、讲授法：通过讲解理论知识来使学生初步了解循环小数和分数的概念，并介绍相应的转化方法。
2、举例法：选取相关的例子，进行实际操作，使学生更深刻的理解循环小数和分数的转化方法。
五、教学内容1、循环小数和分数的概念循环小数是指小数部分无限重复循环的数，例如，0.6666…，0.2857142857…等。
可以表示为a.bbb…（循环的小数部分）。
分数是指一个数可以表达为两个整数的比值的数，其中分母不等于零，例如，1/2，3/4等。
2、将循环小数转化成分数的方法步骤一：设循环数为x。
步骤二：将x乘以10的n次方，n为循环节长度。
步骤三：将x乘以10的n次方减去x，记作y。
步骤四：设分数为a/b（最简分数）。
步骤五：根据步骤三的y，列式子a/b=y/10的n次方-1。
步骤六：将步骤五中的a/b化简得到分数的形式。
例如，将循环数0.666…转化成分数。
步骤一：设循环数为x=0.666…步骤二：x*10=6.666…步骤三：y=6.666...-0.666 (6)步骤四：分数为a/b（最简分数）。
步骤五：6/10的1次方-1=6/9步骤六：将6/9化简得到分数2/3。
所以，0.666…=2/3。
3、将分数转化成循环小数的方法步骤一：设分数为a/b（最简分数）。
步骤二：将a/b约分，保证分母为2的整数次幂或5的整数次幂。
步骤三：对分子b用除数法，求出其商和余数。
步骤四：将商写小数点右侧，余数乘以10，作为下一次的被除数。
步骤五：根据步骤三的余数，进行第四步和第五步，直到余数为0或者循环节出现。
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识要点
一. 判断分数化成的小数类型；
二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数；
三. 循环小数四则运算；
四. 分数与循环小混合计算；
五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目．
分数化为循环小数：
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求）
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求）
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
循环小数化分数：
1．纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
2．混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
例题精讲
1. 将下列分数化为小数：
23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100
． 【分析与解】
20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166
= ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900⨯⨯+==== ．
2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ．
【分析与解】
123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110
-== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495
== ，136130.01369900220-== ．
3. 循环小数运算：
1）0.1230.2310.312++ ；
2）0.1230.1230.1230.123+++ ；
3）0.1230.123⨯ ；
4）98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++．
【分析与解】
1） 原式2
0.6663== ；
2） 原式0.1231230.123230.12330.123=+++
0.492688779= ；
3） 原式413741
3333002700=⨯=；
4） 原式()()0.10.20.80.020.030.09=+++++++ ．
4. 将算式的结果分别用循环小数和分数表示（分数要化为最简）：
1）0.10.1250.0030.16+++ ；
2）1.860.351⨯ ；
3）1
1
1
1
1
1
235689+++++．
【分析与解】
1） 原式0.11110.125250.00330.1666=+++
0.40635= ；
2） 原式18535199=⨯13
9993724053663=； 3） 原式111111
236589⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
10.20.1250.1=+++
0.4361= ．
5. 计算：0.10.1250.30.16+++ ，结果保留三位小数．
【分析与解】
方法一：0.10.1250.30.16+++
≈0.11110.12500.33330.1666+++
=0.7359
≈0.736．
方法二：0.1
0.1250.30.16+++ 1131598990=
+++ 111188
=+ 5372
= 0.7361
= ≈0.736．
6. 真分数7
a 化为小数后，如果从小数点后第1位数字开始连续若干数字之和是2008，那么a 是多少？ 【分析与解】
10.1428577= ，20.2857147= ，30.4285717= ，40.5714287= ，50.7142857= ，60.8571427
= ． 一个循环节的6位数字之和是14285727+++++=，2008277410÷= ，循环节的前几位数字
之和是10的只有0.285714
中2810+=，那么a 就是2．
7. 某学生将1.23
乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少？
【分析与解】
由题意得：1.23 1.230.3a a -= ，即：0.0030.3a = ，所以有：10
39003=a ．解得90a =，所以2321.23 1.239019011190a -⎛⎫=⨯=+⨯= ⎪⎝⎭
． 8. 将循环小数0.027
与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
【分析与解】
27179672117967248560.0270.1796720.00485699999999937999999999999
⨯=⨯=⨯== ． 循环节有6位，1006164÷= ，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第101位是5，这样四舍五入后第100位为9．
9. 小B 写了一个错误的不等式：0.20080.20080.20080.2008>>>．请给式子中每个小数都添加循环
点，使不等号成立．
【分析与解】
把0.2008添加循环点，可以变成4个循环小数：0.2008
，0.2008 ，0.2008 ，0.2008 ． 0.20080.20082008= ，0.20080.2008008= ，0.20080.200808= ，0.2008
0.200888= ．
．
比较小数点后第5、6、7位，可知0.20080.20080.20080.2008
>>>
思考题
10.给小数0.4081923785添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数．并使得这个循环小数的小
数点后第100位数字是8．
【分析与解】
如果第100位数字是0.4081923785中的第一个8，则从它后一位“1”开始到第100位这97个数字，恰好构成若干个完整的循环节，但97是质数，矛盾．因此第100位数字是0.4081923785中的第二个8．从第二个“8”后面的“5”开始，到第100位有91个数字，91713
=⨯，而循环节长度不大于10，
．
只能是7．因此这个循环小数是0.4081923785。