高中数学 直线与圆锥曲线的位置关系
高中数学第2轮总复习专题6第4课时直线与圆锥曲线的位置关系课件文.ppt
所
以
x y
21 2t ， 1 2t 2
所
以
y
x2 4
，
即x2 4y.因为t 0,1，所以x 2 1 2t 2, 2．
所以所求动点M 的轨迹方程为x2 4y( x 2, 2)．
备选例题: 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点
到点F 1, 0的距离减去它到y轴距离的差都是1. 1求曲线C的方程； 2是否存在正数m，对于过点M m,0且与曲线C
B
(
x
，
2
y2
)，
l的
方
程
为
x
ty
m.
由
x ty
y2
4x
m，
得
y2
4ty
4m
0，
16t2
16m
0， 于
是
y1 y1
y2
y2
4t 4m
.
又FA (x1 1，y1)，FB (x2 1，y2 )，由FA FB 0，
得x1x2
x1
x2 1
y1 y2
0.又x
y2 ， 4
所以 y12 y22 16
xE yE
2t .
2t 1
所 以 kDE
yE xE
yD xD
2t 1 2t 1 2t 2t 2
1 2t.
所 以 t 0,1， 所 以 kDE 1,1．
2因为DM t DE，
所以( x 2t 2，y 2t 1)
t 2t 2t 2,2t 1 2t 1
t 2, 4t 2 2t, 4t 2 2t ．
1.(2011四川卷)在抛物线yx2 ax5(a0)上取横
坐标为x1 4，x2 2的两点，过这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法作者：黄志宁来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期点、直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容，怎样才能学好这部分知识，我认为必须掌握好如何判别过点的直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法.通过本人多年的研究，总结出求过点作直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线方程的解法必须同时具备以下三个步骤：第一步是确定点与圆锥曲线的位置关系，确定直线的条数；第二步是判断直线与圆锥曲线的位置关系；第三步是确定直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况.以下针对三种不同类型的题型进行探讨一、直线与圆或椭圆直线与圆或椭圆有且仅有一个交点，只有相切时才成立.（注意利用判别式为零或斜率不存在的情况）针对点P（m,n）与椭圆＞b＞0)时，①点P在椭圆内，不存在；②点P在椭圆上，只有一条直线，即；③点P在椭圆外时，有两条直线且为切线，利用点斜式求出斜率即可，注意切线垂直于x 轴时的情况【例1】求过点P（0,4）与椭圆有且仅有一个交点的直线方程解：把点P代入椭圆方程的左边得016+169=169＞1，∴点P在椭圆外，有两条直线与椭圆相切设切线方程为：y-4=kx，即y=kx+4，代入椭圆方程得，(9+-∴即∴切线方程为y=±74x+4,所求的直线方程为二、直线与双曲线直线与双曲线有且仅有一个交点有两种可能，即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行且与双曲线相交针对点P（m，n）与双曲线-而言（1）当P点在双曲线内时，能作两条分别与渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点，此时，可以利用点斜式求出直线方程（2）当P点在双曲线上时，能作出三条直线，其中两条为与渐近线平行的交线，一条为双曲线的切线，此时，可以利用点斜式求出交线方程.切线方程利用点斜式求出或用公式-求出（注意当P点在双曲线顶点时切线方程x=a或x=-a）（3）当P点在双曲线外时：①点P只在一条渐近线上时，能作出两条，其中一条为切线（注意斜率不存在的切线），另一条为平行于另一条渐近线的交线②点P在两条渐近线的交点上时，不能作出直线与双曲线有且只有一个交点③点P不在渐近线上时，能作四条，其中两条是切线，两条是与渐近线平行的直线，此时切线可以利用点斜式求出直线方程（注意斜率不存在的切线）【例2】已知双曲线方程-，针对P（m，n）所在平面的位置，求出过点P引直线与双曲线有且只有一个交点的直线方程.①P(3,0)；②P(1,1)；③P(0,0)；④解：选②.把点P代入双曲线方程的左边得14-14=0＜1，则点P在双曲线外双曲线的渐近线方程为：y=±x，可知点P在双曲线的一条渐近线上,则能作出两条满足条件的直线，其中一条为切线，另一条为平行于另一条渐近线的交线交线为：y-1=-(x-1),即y=-设切线为：y-1=k(x-1)，即y=kx+(1-k)，代入双曲线方程得：-［kx+(1-k)］--2k(1-k)x--2k+5)=0.当(1-时,即k=1或k=-1，此时平行于渐近线的直线为y=x(不合题意舍去)或y=-x+2；当(1-时，则由［2k(1-k)］--2k+5)=0得-5=0，则k=-53,k=1(不合题意舍去切线方程为：y=-53x+83.综合所求直线方程为：y=-53x+83或y=-三、直线与抛物线直线与抛物线有且仅有一个交点的两种可能分别是相切和直线平行于抛物线的对称轴针对点Q(m,n)与抛物线而言：（1）当点Q（m,n）在抛物线内时，有且只有一条直线，即y=n，平行于对称轴；（2）当点Q(m,n)在抛物线上时，有两条，其中一条为切线，一条为交线，且交线为y=n.切线时，利用点斜式就可以求出切线方程，或利用公式即：，或利用求导数的方法求斜率；（3）当点Q(m,n)在抛物线外时，有三条.其中两条为切线，一条为交线，交线的方程为y=n，切线时，注意点Q是否在y轴上，利用点斜式就可以求出切线方程【例3】已知抛物线，过点Q（2，3）作一直线与抛物线有且只有一个交点，求这条直线的方程解：把点Q的坐标代入抛物线方程得：左边右边∴左边>右边,∴点Q在抛物线外∴过点Q可以作三条直线与抛物线有且只有一个交点，其中有两条是切线及一条是交线∵Q点不在y轴上，∴交线为y=3，与抛物线有且只有一个交点将切线设为：y-3=k(x-2)，则y=［kx+(3-2k)］，代入抛物线方程得:［kx+(3-2k)］，即--3k+1)x+(3-∵k≠0，∴Δ＝---即-6k+1=0,则k=34±54,故切线为y-3=(34±54)(x-2).综合所求直线方程为：y=3，y-3=(34±54)(x-综合上述过一点引直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况，首先是判断点与圆锥曲线的位置关系，其次判断能引几条与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线，最后利用点斜式设切线方程，解一元二次方程组，二次项系数为零或判别式为零求斜率，从而求出直线方程由于点、直线与圆锥曲线的位置关系与其他知识联系既多又广，因此，它的题型多而又活，常考常新.所以，掌握好点、直线与圆锥曲线的位置关系是很有必要的.希望同学们可以根据上述内容，寻找到适合自己的解决点、直线与圆锥曲线的位置关系的判别方法(责任编辑金铃）。
高中数学 同步教学 直线与圆锥曲线的交点
[练一练]
2．已知动点 P(x，y)满足|3x－54y－1|＝13· x－12＋y－52，则动点 P 的轨迹是(
(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4. 即156－x＝4，解得 x＝356或 x＝－45. 由于|x|≥4，故 x＝－45不合题意，舍去． 由 x＝356得 y＝±65 14. ∴点 P 的坐标为356，±6 514.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题 [典例 2] 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭 圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
一、圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 一个定点 的距离与它到 一条定直线 的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时，圆锥曲线是 椭圆 ；当 e>1 时，圆锥曲线是 双曲线 ；当 e＝1 时，圆 锥曲线是 抛物线 ．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)＝0 和曲线 C2：g(x，y)＝0，由于 M(x0， y0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔ f(x0，y0)＝0 且 g(x0，y0)＝0 ，椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m ①
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线 题型分类 知乎
圆锥曲线题型分类
圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，涉及到许多类型的问题。
下面是圆锥曲线常见的题型分类：
1. 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断直线和圆锥曲线的位置关系，例如直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系等。
2. 弦的垂直平分线问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断一条弦的垂直平分线是否经过某个点，例如一条直线是否经过椭圆的两个焦点。
3. 动弦过定点的问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断动弦是否经过某个定点，例如一条直线是否经过椭圆上的某个点。
4. 过已知曲线上定点的弦的问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断是否存在一条直线经过已知曲线上的某个点，例如一条直线是否经过椭圆上的某个点。
5. 共线向量问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断两条直线是否共线，例如两条直线是否平行或重合。
6. 面积问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件计算圆锥曲线的面积，例如计算椭圆或双曲线的面积。
7. 弦或弦长为定值问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断一条弦或弦长是否为定值，例如一条直线是否经过椭圆上的两点使得这条直线的长度为定值。
8. 角度问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断两条直线或圆锥曲线之间的角度关系，例如两条直线是否垂直或两个圆锥曲线是否相交。
以上是圆锥曲线常见的题型分类，希望能对您有所帮助。
新教材高中数学精品第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等． 考点一 弦长、面积问题 核心提炼已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 考向1 弦长问题例1 (2022·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.(1)解 由题意得，椭圆半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63，所以a ＝3， 又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y ＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±(x －2)，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1·x 2＝34，所以|MN |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝3， 所以必要性成立；充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋b (kb <0)，即kx －y ＋b ＝0， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|b |k 2＋1＝1，所以b 2＝k 2＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 23＋y 2＝1，可得(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6kb1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2，所以|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫－6kb 1＋3k 22－4·3b 2－31＋3k 2＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3， 化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1，所以⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝－2或⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立， 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. 考向2 面积问题例2 (2022·大庆模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴长为23，椭圆左顶点A 到左焦点F 1的距离为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B ，过F 1的直线l 与椭圆C 交于点M ，N ，且S △BMN ＝1827，求直线l 的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝23，a －c ＝1，a 2－c 2＝b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F 1(－1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 即y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4.又S △BMN ＝12·|BF 1|·|y 1|＋12·|BF 1|·|y 2|＝12·|BF 1|·|y 1－y 2| ＝12·|BF 1|·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2 ＝18m 2＋13m 2＋4＝1827，解得m ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 方法二 由(1)知F 1(－1,0)，B (2,0)，当直线l 的斜率不存在时，|MN |＝3，点B (2,0)到直线l ：x ＝－1的距离为3，所以S △BMN ＝92≠1827，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4(4k 2－12)3＋4k 2 ＝1＋k 2·144(k 2＋1)(3＋4k 2)2＝12(k 2＋1)3＋4k 2.因为点B (2,0)到直线l 的距离为d ＝|3k |k 2＋1，所以S △BMN ＝12·|MN |·d ＝12·12(k 2＋1)3＋4k 2·|3k |k 2＋1＝1827，即k 2＝1，得k ＝±1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等． (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12. (1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 解 (1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4.当y ＝0时，解得x ＝－4， 所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m .如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝m ，x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0， 所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0， 即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 即d ＝8＋41＋4＝1255，由两点之间距离公式可得 |AM |＝(2＋4)2＋32＝3 5.所以△AMN 的面积的最大值为12×35×1255＝18.考点二 中点弦问题 核心提炼已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k . 若E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；若E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63.(1)证明：a ＝3b ；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ . ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程． (1)证明 ∵e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63，∴b a ＝33，∴a ＝3b . (2)解 ①由(1)知，椭圆C 的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 当⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部时，⎝⎛⎭⎫9102＋3·⎝⎛⎭⎫－3102<3b 2，可得b >3010. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 22＝910，y 1＋y 22＝－310，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝－39，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，两式作差得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 23(y 1＋y 2)＝－13×⎝⎛⎭⎫－93＝3，所以直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－310＝3⎝⎛⎭⎫x －910， 即y ＝3x － 3.所以直线l 的方程为3x －y －3＝0.②联立⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3b 2，y ＝3(x －1)，消去y 可得10x 2－18x ＋9－3b 2＝0. Δ＝182－40(9－3b 2)＝120b 2－36>0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝95，x 1x 2＝9－3b 210，又∵OP ⊥OQ ，而OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－1)·3(x 2－1)＝4x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3 ＝2(9－3b 2)－27＋155＝6－6b 25＝0，解得b 2＝1，合乎题意，故a 2＝3b 2＝3， 因此椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.规律方法 (1)处理中点弦问题常用的求解方法(2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．跟踪演练2 (1)(2022·太原模拟)若过椭圆x 29＋y 24＝1内一点P (2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( ) A ．8x ＋9y －25＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．4x ＋3y －15＝0 D ．4x －3y －9＝0答案 A解析 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P 为AB 的中点，因为A ，B 在椭圆上，所以x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减得x 21－x 229＋y 21－y 224＝0，因为x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 可得y 1－y 2x 1－x 2＝－89，则k ＝－89，且过点P (2,1)，所以y －1＝－89(x －2)，整理得8x ＋9y －25＝0.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 在双曲线上，且点M (－2,1)为线段PQ 的中点，PQ ∥BF ，双曲线的离心率为e ，则e 2等于( ) A.2＋12 B.3＋12 C.2＋22 D.5＋12答案 A解析 方法一 由题意知F (c ,0)，B (0，b )，则k PQ ＝k BF ＝－b c .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2).因为线段PQ 的中点为M (－2,1)， 所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，又k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b c ，所以－b c ＝－4b 22a 2，整理得a 2＝2bc ，所以a 4＝4b 2c 2＝4c 2(c 2－a 2)，即4e 4－4e 2－1＝0，得e 2＝2＋12. 方法二 由题意知F (c ,0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc .设直线PQ 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 即y ＝kx ＋2k ＋1， 代入双曲线方程，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2k (2k ＋1)x －a 2(2k ＋1)2－a 2b 2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，所以2a 2k (2k ＋1)b 2－a 2k 2＝－4，又k ＝k BF ＝－b c ，所以2a 2·⎝⎛⎭⎫－b c ⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫－b c ＋1＝－4b 2＋4a 2⎝⎛⎭⎫－b c 2， 整理得a 2＝2bc ，所以c 2－b 2－2bc ＝0， 即⎝⎛⎭⎫c b 2－2c b －1＝0，得cb＝2＋1， 则e 2＝c 2a 2＝c2c 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫c b 2⎝⎛⎭⎫c b 2－1＝()2＋12()2＋12－1＝2＋12. 考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用 核心提炼直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程． (2)消元得到关于x 或y 的一元二次方程．(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．例4 (1)已知直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，与直线x ＝－a ，x ＝a 分别交于点M ，N ，F 为椭圆的左焦点，若以MN 为直径的圆为E ，则F ( ) A ．在圆E 上 B ．在圆E 内C ．在圆E 外D ．以上三种情况都有可能答案 A解析 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0， 因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0， 故m 2＝a 2k 2＋b 2.易知F (－c ,0)，M (－a ，－ak ＋m )， N (a ，ak ＋m )，则FM →＝(c －a ，m －ak )，FN →＝(c ＋a ，m ＋ak )，则FM →·FN →＝c 2－a 2＋m 2－a 2k 2＝－b 2＋a 2k 2＋b 2－a 2k 2＝0，故∠MFN ＝90°， 即点F 在圆E 上．(2)(多选)(2022·漳州龙海二中模拟)已知直线y ＝x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)无公共点，则双曲线的离心率可能为( )A ．1 B. 2 C.62D. 3 答案 BC解析 双曲线的一条渐近线为y ＝b a x ，因为直线y ＝x 与双曲线无公共点，故有ba ≤1.即b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1≤1，所以e 2≤2， 所以1<e ≤ 2.易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)． 跟踪演练3 (2022·沈阳模拟)已知A ，B 分别是椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，P 为椭圆C 上一点，若△P AB 的面积是2－1，则P 点的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由C ：x 24＋y 2＝1可得a ＝2，b ＝1 ，所以A (2,0)，B (0,1)，|AB |＝ 5 ，所以直线AB 的方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1，设过点P 与直线AB 平行的直线l ：y ＝－12x ＋t ，则直线l 与直线AB 的距离d ＝|t －1|1＋14＝25|t －1|， 因为点P 为直线l 与椭圆的交点， 所以点P 到直线AB 的距离为d ， 因为△P AB 的面积是2－1,可得S △P AB ＝12×|AB |×d ＝12×5×25|t －1|＝2－1，解得t ＝2或t ＝2－2，当t ＝2时，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋2，可得(x －2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝22，此时P ⎝⎛⎭⎫2，22，当t ＝2－2时，⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋2－2，可得x 2＋(22－4)x ＋10－82＝0，因为Δ＝(22－4)2－4(10－82)＝16(2－1)>0，此时直线l 与椭圆有2个交点，此时有2个点P ，所以共有3个点P .专题强化练一、单项选择题1．直线l 经过P (4,2)且与双曲线x 22－y 2＝1交于M ，N 两点，如果点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －6＝0 C ．2x －3y －2＝0 D ．不存在答案 A解析 当斜率不存在时，显然不符合题意； 当斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 因为点P 是线段MN 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，代入双曲线方程得⎩⎨⎧x 212－y 21＝1，x222－y 22＝1，两式相减得x 21－x 22＝2(y 21－y 22)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1，又直线过点P ，所以直线方程为y ＝x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，y ＝x －2，得到x 2－8x ＋10＝0，经检验Δ>0，方程有解，所以直线y ＝x －2满足题意．2．已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F 的直线l 交该抛物线于M ，N 两点，若|MN |＝52，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x答案 B解析 设直线l ：y ＝－2x ＋p ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋p ，y 2＝2px ， 得4x 2－6px ＋p 2＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则x M ＋x N ＝6p 4＝3p 2. 又|MN |＝52， 所以x M ＋p 2＋x N ＋p 2＝5p 2＝52， 所以p ＝1，所以所求抛物线的方程是y 2＝2x .3．(2022·成都模拟)设O 为坐标原点，直线l 过定点(1,0)，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－14B ．x ＝－12C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 A解析 由题意可知直线l 的斜率不为0.设直线l ：x ＝my ＋1，与y 2＝2px (p >0)联立得y 2－2pmy －2p ＝0，Δ>0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－2p .由OA ⊥OB ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0， 即4p 24p 2－2p ＝0，得p ＝12， 所以其准线方程为x ＝－14. 4．过椭圆内定点M 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M 的“好弦”．在椭圆x 264＋y 216＝1中，过点M (43，0)的所有“好弦”的长度之和为( )A ．120B ．130C ．240D ．260答案 C解析 由已知可得a ＝8，b ＝4，所以c ＝43，故M 为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直于x 轴时弦长最短，所以当x ＝43时，最短的弦长为2b 2a ＝2×168＝4， 当弦与x 轴重合时，弦长最长为2a ＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度之和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.5．已知过椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点的直线l ，斜率存在且与椭圆交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，则点M 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，85 B.⎝⎛⎦⎤－85，0 C.⎣⎡⎭⎫0，85 D.⎣⎡⎭⎫－85，0 答案 C解析 当直线AB 的斜率k ＝0时，即AB 为x 轴，则垂直平分线为y 轴，所以x M ＝0； 当直线AB 的斜率k ≠0 时，又斜率存在，则设直线方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5y 2＝5，y ＝k (x －2)，得(5k 2＋1)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝20k 25k 2＋1，x 1x 2＝20k 2－55k 2＋1， 设N 为线段AB 的中点，所以x N ＝10k 25k 2＋1，代入直线方程可得y N ＝－2k 5k 2＋1， 则AB 的垂直平分线MN 的方程为y ＋2k 5k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －10k 25k 2＋1， 当y ＝0时，x ＝8k 25k 2＋1＝85＋1k 2， 因为k 2>0，所以x ∈⎝⎛⎭⎫0，85， 综上所述，x ∈⎣⎡⎭⎫0，85， 即点M 横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，85. 6．(2022·大连模拟)第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)的国家．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD (如图)，且两切线斜率之积等于－916，则椭圆的离心率为( )A.34B.74C.916D.32答案 B解析 若内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m >1)，∴A (－ma ,0)，B (0，mb )，设切线AC 为y ＝k 1(x ＋ma )，切线BD 为y ＝k 2x ＋mb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋ma )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2k 21＋b 2)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0知， (2ma 3k 21)2－4(a 2k 21＋b 2)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0， 整理得k 21＝b 2a 2·1m 2－1， 同理，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)， ∴(k 1k 2)2＝b 4a 4＝⎝⎛⎭⎫－9162，即b 2a 2＝916，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝74. 二、多项选择题7．(2022·兰州模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，若线段MN 的中点为P ，且线段FP 的长为4，则直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －1＝0B ．x －3y －1＝0 C.3x －y －3＝0 D.3x ＋y －3＝0 答案 AB解析 由y 2＝4x 得p ＝2，所以F (1,0)，准线为x ＝－1，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，消去x 并整理得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，所以y 1＋y 22＝2t ， 依题意得M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则线段MN 的中点P (－1,2t )，因为|PF |＝4，所以22＋4t 2＝4，解得t ＝±3，所以直线l 的方程为x ＋3y －1＝0或x －3y －1＝0.8．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，两条渐近线的夹角正切值为22，直线l ：kx －y －3k ＝0与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设△F 1AB 的内心为I ，则( )A ．双曲线E 的标准方程为x 26－y 23＝1 B ．满足|AB |＝6的直线l 有2条C ．IF 2⊥ABD ．△F 1AB 与△IAB 的面积的比值的取值范围是(2,6]答案 ACD解析 A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，0<θ<π2，因为a >b ，所以0<2θ<π2，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝22，解得tan θ＝22或tan θ＝－2(舍去)，所以b a ＝22，又a 2＋b 2＝9，所以a 2＝6，b 2＝3，所以双曲线E 的标准方程为x 26－y 23＝1，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx －y －3k ＝0，即k (x －3)－y ＝0，则直线l 恒过右焦点F 2，又过焦点F 2的弦最短为2b 2a ＝66＝6，所以满足|AB |＝6的直线l 只有1条，B 错误； C 选项，由双曲线的定义可知，|AF 1|－|AF 2|＝26＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 1|－|BF 1|＝|AF 2|－|BF 2|，因此F 2是△F 1AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此IF 2⊥AB ，C 正确；D 选项，由题意知1F ABIAB S S △△＝12|IF 2|·(|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |)12|IF 2|·|AB | ＝26＋|AF 2|＋26＋|BF 2|＋|AB ||AB |＝46|AB |＋2， 因为|AB |≥6，所以1F AB IAB S S △△∈(2,6]，D 正确．三、填空题9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 2m＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,4)∪(4，＋∞)解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故点(0,1)在椭圆x 24＋y 2m＝1上或内部， ∴1m≤1，且m >0，m ≠4， ∴m ≥1，且m ≠4.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43， 不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43， ∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 11．(2022·绵阳模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)有共同的一焦点，过E 的左焦点且与曲线C 相切的直线恰与E 的一条渐近线平行，则E 的离心率为________．答案 2 解析 因为抛物线与双曲线共焦点，所以c ＝p 2，p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ， 双曲线的左焦点为F 1(－c ,0)，过F 1与一条渐近线y ＝b a x 平行的直线方程为y ＝b a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4cx ，y ＝b a (x ＋c )，得by 2－4acy ＋4bc 2＝0， 所以Δ＝16a 2c 2－16b 2c 2＝0，所以a ＝b ，从而c ＝a 2＋b 2＝2a ，离心率为e ＝c a ＝ 2.12．已知直线y ＝kx ＋2(k >0)与抛物线C ：x 2＝8y 相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，|F A |＝4|FB |，则k ＝________.答案 34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,2)，直线y ＝kx ＋2(k >0)与抛物线C ：x 2＝8y 联立方程得x 2－8kx －16＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝8k 2＋4，y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2)＝4，又因为|F A |＝4|FB |，所以y 1＋2＝4(y 2＋2)，即y 1＝4y 2＋6，所以由y 1＝4y 2＋6和y 1y 2＝4，解得y 1＝8，y 2＝12(负值舍去)， 所以y 1＋y 2＝8k 2＋4＝8＋12，解得k 2＝916，所以k ＝34. 四、解答题13．已知点A (0,2)，B 为抛物线x 2＝2y －2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)A 关于直线y ＝x 的对称点为D ，斜率为12的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，且△MDN 是以MN 为底边的等腰三角形，求△MDN 的面积．解 (1)设C (x ，y )，B (m ，n )，∵B 是AC 的中点，∴⎩⎨⎧m ＝x 2，n ＝y ＋22，∵B 在抛物线x 2＝2y －2上，∴m 2＝2n －2，∴x 24＝2×2＋y 2－2， ∴曲线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意得D (2,0)， 设l ：y ＝12x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ，x 2＝4y ，得x 2－2x －4t ＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4t ，Δ＝4＋16t >0，∴y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2t ＝1＋2t . 设MN 的中点为P ，则P ⎝⎛⎭⎫1，12＋t ， ∵△MDN 是以MN 为底边的等腰三角形，则k DP ·k MN ＝－1，∴12＋t 1－2·12＝－1，解得t ＝32，符合Δ>0. ∴x 2－2x －6＝0，∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎫122·|x 1－x 2|＝1＋14·4－4×(－6)＝35，|DP |＝5， ∴S △MDN ＝12×35×5＝572. 14．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，圆F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和圆F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与圆F 交于A ，B 两点，与椭圆E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 如图，由e ＝32，即c a ＝32， 再由a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2b ，①将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程，可得1a 2＋34b 2＝1，② 由①②可解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1， ∴F (3，0)，∵PF ⊥x 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫3，±12，∴圆F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14. (2)由A ，B 在圆上得|AF |＝|BF |＝|PF |＝r ＝12， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|CF |＝(x 1－3)2＋y 21＝2－32x 1， 同理|DF |＝2－32x 2， 若|AC |＝|BD |，则|AC |＋|BC |＝|BD |＋|BC |， 即|AB |＝|CD |＝1，∴4－32(x 1＋x 2)＝1，∴x 1＋x 2＝2 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －3)，得(4k 2＋1)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1， ∴83k 24k 2＋1＝23， 得4k 2＝4k 2＋1，无解，故不存在．。
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案
①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。
③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。
①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。
①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。
直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。
该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。
该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。
点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。
直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。
求参数的取值范围。
根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。
指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。
<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。
②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。
联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。
(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
例2.已知：A(-3,4),B(4,4)若线段AB与椭圆
没有公共点。求正数a的取值范围。
Hale Waihona Puke 解：线段AB的方程为 y=4 (-3≤x≤4) 得：x =a2 - 8
ⅰ.当a2 -8<0时，方程组无解，即 ⅱ.当a2 -8>4 时，方程组无解，即
例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x2仅有一个公共点，则
满足条件的直线l有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：观察演示 选C
例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆 总有公共点，求b的取值范围。
解：观察演示可得：
例6.过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两
直线与圆锥曲线的位置关系
一． 基本方法： 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的 情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元 二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未 必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
新教材高中数学第二章直线与圆锥曲线的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册ppt
2．中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中 含有 x1＋x2，y1＋y2，yx11－－yx22 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率， 借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
y＝kx－k＋1， 即 y＝kx－k＋1，联立方程x2－y42＝1，
消去 y 得：(4－k2)x2－2k(1－k)x－[(1－k)2＋4]＝0， 因为直线 l 和双曲线 Γ 有且仅有一个公共点， 所以 Δ＝4k2(1－k)2＋4(4－k2)[(1－k)2＋4]＝0， 化简得：80－32k＝0，所以 k＝25 ， 所以直线 l 的方程为：y＝52 x－23 ，即 5x－2y－3＝0.
(2)由A→P ＝3P→B 可得 y1＝－3y2.
由y＝32x＋t， 可得 y2－2y＋2t＝0. y2＝3x，
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入 C 的方程得 x1＝3，x2＝31 .
故|AB|＝4
13 3
.
角度 2 中点弦问题 【典例】已知 P(1，1)为椭圆x42 ＋y22 ＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．
1．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x42 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为(
)
A．2 B．45 5
C．4
10 5
D．8
10 5
【解析】选 C.设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由xy＝2＋x4＋y2t＝，4， 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则 x1＋x2＝－85 t，x1x2＝4（t25－1） . 所以|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|
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(2012· 广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 x2 y2 C1： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1) a b 在C1上． (1)求椭圆C1的方程； (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求 直线l的方程．
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【解析】 1)， 又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 【答案】
菜 单
) B．相切 D．不确定
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直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，
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A
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x2 y2 2．若直线y＝kx与双曲线 － ＝1相交，则k的取值范 9 4 围是( ) 2 2 A．(0， ) B．(－ ，0) 3 3 2 2 2 2 C．(－ ， ) D．(－∞，－ )∪( ，＋∞) 3 3 3 3
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把②代入①解得k2＞3，即k＞ 3或k＜－ 3， π π π 2π ∴直线l的倾斜角的取值范围为( ， )∪( ， )． 3 2 2 3
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菜
单
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1．解答本题(2)时，也可设M(x1，y1)，N(x2，y2)，代 y2－y1 入椭圆方程，两式相减，再把 ＝k，x1＋x2＝－1，y1 x2－x1 ＋y2＝2m－k代入求解． 2．(1)凡涉及到弦中点问题常用“点差法”，也可以 将直线方程代入曲线方程，得到一个一元二次方程，利用 根与系数关系求解．(2)与抛物线焦点弦长相关的问题，要 注意抛物线定义的运用．
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菜
单
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【思路点拨】
(1)由c＝1，点P(0，1)在椭圆C1 上，求
关于a，b的方程；(2)利用待定系数法设l的方程，联立曲线
方程，根据判别式Δ＝0求待定参数．
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【尝试解答】 (1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P(0，1)在曲线C1上， 0 1 ∴ 2＋ 2＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2， a b x2 2 所以椭圆C1的方程为 ＋y ＝1. 2
1 2 【解析】 因为y＝ x ，所以y′＝x，易知P(4，8)， 2 Q(－2，2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2. 所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y ＋2＝0， 将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
【答案】 －4
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(2013· 烟台模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，－ 2 2 2 2)，F2(0，2 2)，离心率为e＝ . 3 (1)求椭圆方程； (2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点 1 M、N，且线段MN中点的横坐标为－ ，求直线l的倾斜角 2 的取值范围． c 【思路点拨】 (1)已知c和 a ，可直接求a、b，注意焦 点在y轴上．(2)可将直线方程和椭圆方程联立，利用根与 系数的关系求解，也可利用点差法求解．
y2＝4x， 由 消去y得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0. y＝kx＋m，
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因为直线l与抛物线C2相切， 所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0， 整理得km＝1.② 2 2 k＝ ， k＝－ ， 2 2 综合①②，解得 或 m＝ 2， m＝－ 2. 2 2 所以直线l的方程为y＝ x＋ 2或y＝－ x－ 2. 2 2
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【解】 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p· 1， 所以p＝2. 故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝ －1.
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(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
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2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两 1＋k2|x2－x1| 点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_________________＝ 1 1＋ 2|y2－y1|. k
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1．直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相 切的什么条件？ 【提示】 必要不充分条件．直线与圆锥曲线相切时，
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二者只有一个公共点，但反过来不成立．如在抛物线y2 ＝ 2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线，则 该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相
【答案】 16
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4．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，
点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切
线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
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已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直 5 线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于 ？若 5 存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
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(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设 直线l的方程为y＝kx＋m， 2 x ＋y2＝1， 由 2 消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝ y＝kx＋m， 0. 因为直线l与椭圆C1相切， 所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0. 整理得2k2－m2＋1＝0.①
线x2 ＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的
长为________．
【解析】
直线l的方程为y＝ 3x＋1，
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y＝ 3x＋1 由 2 得y2－14y＋1＝0. x ＝4y
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
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a a ∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为(－ ， )， 2 2 代入椭圆方程得a2＝3b2， 6 2 2 ∴c ＝2b ，∴e＝ . 3
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【答案】
菜 单
6 3
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菜 单
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－2km 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝ 2 ， k ＋9 1 ∵线段MN中点的横坐标为－ ， 2 k2＋9 1 －2km 1 ∴ · 2 ＝－ ，即m＝ ② 2 k ＋9 2 2k
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菜
单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l
自 主 落 实 · 固 基 础
与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系
平行 是______； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系 平行或重合 是_____________．
自 主 落 实 · 固 基 础
x2 y2 5．(2013· 揭阳模拟)过椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a＞b＞0)的左顶 a b 点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交 点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
高 考 体 验 · 明 考 情
【解析】 x＋a，
由题意A点的坐标(－a，0)，l的方程为y＝
典 例 探 究 · 提 知 能
交，而非相切．
2．过抛物线y2 ＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是 多少？ 【提示】
菜 单
课 后 作 业
当弦垂直于x轴时，弦长最短为2p.
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自 主 落 实 · 固 基 础
x2 1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆 9 y2 ＋ ＝1的位置关系为( 4 A．相交 C．相离
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课 后 作 业
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