2012年数高考学一轮复习 直线与圆的位置关系

第二讲直线与圆的位置关系
班级________姓名________考号________日期________得分________一､填空题:(本大题共9小题,每小题6分,共54分,把正确答案填在题后的横线上.)
1.已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=
2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径R=________.
解析:如图,依题意,AO⊥PA,AB⊥PC,PA=2,PB=1,∠P=60°,
答案
2.如图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=
3.过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l､圆交于点D､E,则∠DAC=________,线段AE的长为________.
解析:如图所示,∵OC⊥l,AD⊥l,∴AD∥OC.
∵BC=3,
∴△OBC 为等边三角形,∠B=60°.
∴∠CAB=30°.∴∠ACO=30°.
∴∠DAC=30°.∴∠EAO=60°.连接OE,
∴∠OAE 为等边三角形.∴AE=3.
答案:30° 3
3.(2010·广东揭阳3月)如图所示,AC 为⊙O 的直径,BD⊥AC 于P,PC=2,PA=8,则CD 的长为________,cos∠ACB=________.(用数字表示)
解析:由射影定理得CD 2
cos∠ACB=sin∠A=sin∠D=
5
CP CD ==
答案:
4.(2010·广东汕头,3月)如图,已知圆O 从圆O 外一点A 引切线AD 和割线
ABC,圆心O 到AC 则切线AD 的长为________.
解析2
答案5.(2010·广东揭阳)如图,已知P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割线PEF 经过
圆心O,若则圆O 的半径长为________,∠EFD 的度数为________.
解析:由切割线定理得PD 2
=PE·PF, ∴PE=216312
PD PF ⨯==4,∴EF=8,OD=4. 又∵OD⊥PD,OD= PO,∠P=30°,
∠POD=60°=2∠E FD,
∴∠EFD=30°.
答案:4 30°
6.如图,PT 切⊙O 于点T,PA 交⊙O 于A ､B 两点,且与直径CT 交于点D,CD=2,AD=3,BD=6,则PB=________.
解析:由相交弦定理得DC·DT=DA·DB,
则DT=9.由切割线定理得PT2=PB·PA,
即(PB+BD)2-DT2=PB(PB+AB).
又BD=6,AB=AD+BD=9,
∴(PB+6)2-92=PB(PB+9),得PB=15.
答案:15
7.如图,AD是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过C作AD的垂线,垂足为B,CB与⊙O相交于点E,AE平分∠CAB,且AE=2,则AB=________,AC=________,BC=________.
解析:∵∠CAE=∠EAB,∠EAB=∠ACB,
∴∠ACB=∠CAE=∠EAB.
又∵CB⊥AD,∴∠ACB=∠CAE=∠EAB=30°.
BC=3.
答案
8.如图,EB､EC是⊙O的两条切线,B､C是切点,A､D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的大小为________.
解析:连接OB,OC,AC,由题意得∠OCE=∠OBE=90°,
∠DCF=∠DAC=32°,
又∵∠E=46°,
∴∠BOC=134°,∠BAC= ∠BOC=67°.
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=99°.
答案:99°
9.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转60°到OD,则PD的长为________.
解析:Rt△OAP中,OP=2OA=2,
∴∠APO=30°.在△POD中,易得OD=1,∠POD=120°,
根据余弦定理,得PD2=12+22-2×1×2cos120°=7,
答案
二､解答题:(本大题共3小题,10､11题14分,12题18分,写出证明过程或推演步骤.)
10.已知弦AB与⊙O半径相等,连接OB并延长使BC=OB.
(1)问AC与⊙O的位置关系是怎样的;
(2)试在⊙O上找一点D,使AD=AC.
分析:(1)判定AC与⊙O的位置关系往往从相切入手分析,满足的条件只需证明OA⊥AC即可.
(2)AD=AC中D点的寻找可借助于等腰三角形中∠C=∠D,通过角之间的关系寻找.
解:(1)∵AB与⊙O半径相等,
∴△OAB为正三角形,
∠OAB=60°=∠OBA,
又∵BC=OB=AB,
∴∠C=∠BAC=30°,故∠OAC=90°,
∴AC与⊙O相切.
(2)延长BO交⊙O于D,则必有AD=AC.
∵∠BOA=60°,OA=OD,
∴∠D=30°,
又∵∠C=30°,
∴∠C=∠D,得AD=AC.
评析:利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系,经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线,从而可转化为证明线线垂直.
11.如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∠CAB=28°.
(1)求∠ACM的度数;
(2)求MN上是否存在一点D,使AB·CD=AC·BC?为什么?
解:(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
又∵∠CAB=28°,
∴∠CBA=62°.
∵MN是切线,C为切点.
∴∠ACM=62°.
(2)在MN上存在符合条件的点D. 证明如下:
过点A作AD⊥MN,垂足为D.如图. 在Rt△ABC和Rt△ACD中,
∵MN切半圆于点C,
∴∠ABC=∠ACD.
∴△ABC∽△ACD,
∴AB BC AC CD
,
∴AB·CD=AC·BC.
同理,过B点向MN作垂线,垂足D′同样符合条件.
12.已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧 AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至
E.
(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为求△ABC外接圆的面积.
解:(1)证明:如图,设F为AD延长线上一点,∵A､B､C､D四点共圆.
∴∠CDF=∠ABC,
又AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB,
∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE,
(2)设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,
则AH⊥BC,
连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,
∴∠OCH=60°,
=得r=2,
设半径为r,则2
∴外接圆面积为4π.。