同济-高等数学-第三版(9.3) 第三节 二重积分的应用

y
x
• 选择投影面 选择投影面要考虑两个因素：一是考察所论曲面在 哪一个坐标面的投影区域形式较为简单，二是所论曲面 对应定义在投影区域上的曲面方程的形式是否简单。 曲面片投影本质上是其边界曲线的投影，确定曲线
投影关键是确定相应的投影柱面。
本例曲面片边界曲线为
z x2 y2 , : z2 2 x . 下考察所论曲面片在各坐标面的投影区域及对应曲
z
M
虑小曲面片 A 在点 P( x ,y )
处的切平面。 设切平面被与 A对 应的柱面割下的小平面 的面积为 T. 由于
O
: z f x, y
A
T
T A，故 dT = d A．
D xy
xy
y
P( x,y )
x
• 计算 dT 因为 dT 在 xOy 平面投影亦为 d xy ，而 d xy 易于计 算，故为求 dT 只需计算 dT 与 d xy 间的“缩放率”。 dT 与 d xy 间的“缩放率”取决于 dT 的倾斜程度, dT 的倾斜度可用其法向量表示。 记 n o 为 dT 在点( x ,y )处的单位法向量，作辅助向量 no d T d T , 则 d T 亦为 dT 在点( x ,y )处的法向量，其大小恰好是 dT 的面积，即有 d T no d T d T.
z
: z f x, y
坐标面投影，其结果
是类似的。
O
y
D xy
x
• 曲面向 xOz 平面投影 若考虑向 xOz 平面投影，则将曲面方程该写为
: y = g( z ,x ),( z ,x ) D xz . 相应可求得
A dA dT
D xz D xz D xz 2 2 1 g d xd y gz y d x, z z2 x x, z xzz .
1 z x

2
z y
2
2
dxdy
2
A
D xy
1 z x

z y
dxdy

D xy
R dxdy R2 x 2 y 2
• 选择坐标系进行计算 R A dxdy 2 2 2 R x y D xy
Dxy : x 2 y 2 R 2 sin 2 . 对此二重积分而言，由于
A1 , A2 , „ ， An ，
n i 1
且 A Ai .
于是曲面面积 A 的 计算可归结为小曲面 片 A 的计算。
x
O
D xy
xy
y
• 作切面 —— 化曲为平 任取小曲面片 A，考虑曲面面积元 d A 的计算。 设 A 在 xOy 平面的投影为 xy . 考察曲面面积元 d A与其在 xOy 平面的投影 d xy 的关系。 任取 P( x ,y ) xy，考
R2 x 2 y 2 ,
x, y Dxy .
于是通讯卫星所覆盖的区域
的面积为
A
D xy
R R sin
1 z x

2

2
z y
2
D xy
R
dxdy
2
O
y
D xy x, y x y R sin
2 2
.
x
• 计算曲面元投影缩放率
• 积零为整 —— 求曲面面积 由于在直角坐标系下有 d xy = d xd y，故由元素法 求得曲面 的面积为
A d A d T
D xy D xy D xy
1 f x 2 x , y f y 2 x , y d xy

D xy

曲面分割后化为一系列小平面
片，但小平面片是倾斜的，一般
仍不能直接求面积，为此考虑
将小斜面片向坐标面投影，使 其转化为平面片面积来计算。
A 缩小率

A

D
由曲面与方程的对应关系，曲面 的方程对应于一
个二元函数。从曲面方程的形式看，曲面既可由显式方
程表出，也可由隐式方程表出。为讨论的确定性，下就 曲面方程的不同形式考察曲面面积的计算。 (1) 曲面由显式方程给出 设有曲面 ，其方程为
此时这三种形式的显式方程虽
未必能解出，但其导数却可求得。
因此仍可对选定的投影面按相应的
曲面面积积分公式计算曲面面积。
例：设有一棵地球同步通讯卫星，距地面的高度为
h = 36000 km，运行的角速度与地球自转的角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值。 z 对此实际应用问题首先应考 虑建立合适的坐标系。 容易想到，宜选择地球球心为原
面方程的形式。
• 考虑向 xOy 平面投影的情形
2 2 z x y , 消去 z 得投影柱面 由曲线方程 : z2 2 x . xy:( x -1 )2 + y 2 = 1 . y
: z = f ( x , y )， 将 向 xOy 平面投影，设投影 区域为 Dxy，求曲面 的面积 A．
• 分割 —— 化整为零 将 向 xOy 平面投影，设投影区域为 Dxy . 用平行于 x、y 坐标轴的直线组成的直线网分割投 影区域 Dxy ，以这组直线为准线作母线平行于 z 轴的平 z 面，这组平面将曲面 分割 : z f x, y 为一系列的小曲面片： A
y
D xy
O
R R sin
积分区域为圆域，且被积函数
Dr
x
具有 f( x 2 + y 2 ) 的形式，故宜
采用极坐标进行计算。 作极坐标变换 x = r sin ，y = r cos ，则有 R R , d x d y rdrd . 2 2 2 2 2 R x y R r r R sin , 2 2 2 2 D xy : x y R sin Dr : 0 2 .
由于 cos


由上结果知，该卫星覆盖了 全球三分之一以上的面积，因此 只要使用三棵相隔 60º 的通讯卫 星就可覆盖地球的全部表面。
例: 求曲面 z 面的面积。
2 = 2 x 割下的那部分曲 被曲面 z x y
2 2
曲面面积计算问题首先应 考虑投影面的选择，并由此确定曲 面方程的形式。 选择投影面应使得相应曲面显 式方程易于解出，且投影区域形式 简单。为此需先作所求曲面图形。
• 计算曲面面积
A
D xy
R d x d y R2 x2 y2 D r
2 0
R rdrd R2 r 2
R

d

R sin 0
r
R
R sin 0
0 R2 r 2 R2 r 2 d R 2 r 2 2 R R 2 r 2 R sin 0 2 2 R r
z

M
dT
d T no d T
dA
d xy cos d T
O
y
P x, y
x
d xy
由投影定理 d xy P r j k d T P r j k no d T o o n d T cos n , k o o dT n cos n , k cos dT. o 约定 0 n , k ，则有 cos cos 0 , 2 d xy dT . cos 由曲面方程 z = f( x ,y )，可求得 n f x x , y , f y x , y , 1 , 1 cos . 2 2 x , y fy x , y 1 fx 于是 dT d xy 1 f 2 x , y f 2 x , y d . x y xy cos
选择投影面求曲面面积 • 作所求曲面的图形 方程 z 轴的圆锥面。
x 2 y 2 表示顶点在原点，以 z 轴为对称
方程 z 2 = 2 x 表示母线
平行于 y 轴的抛物柱面。
z
作圆锥面被抛物柱
面割下的那部分曲面的 图形关键是作出两曲面
的交线。
x
O
y
z
z
x2 y2
z2 2 x
O
考察投影区域
d r 2 R

R sin
r
dr
2 2 2 2 R R 1 sin R 2 R 1 cos .
• 结果分析
R ，代入曲面面积计算结果有 Rh 2 R 2 R h . 2 2 A 2 R 1 cos 2 R 1 Rh Rh 由此求得通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 6 A h 36 10 = 42.5% . 2 6 4 R 2 R h 2 6.4 36 10
形的面积可归结为平面直边图形面积和极限来定义。
1
(2) 分析处理曲面面积问题的方法
平面图形因其“平”，故可化为直线的长度来定义
和度量，曲面图形因其“曲”，其面积不能直接归结为 长度单位来定义。但“平和曲”是相对的，在大的范围 内是“曲”的，在小的范围内却可看成是平的。因此可 考虑对曲面进行分割，使其转化为平面问题来处理。
(3) 曲面由隐式方程给出
若曲面方程为 :F( x ,y ,z )= 0 ，则曲面可对应于
以下三种形式的单值函数之一：
: z = f( x ,y ),( x ,y ) D xy , : y = g( z ,x ),( z ,x ) D xz , : x = h( y ,z ),( y ,z ) D yz .
式。第二个阶段讨论的是曲边平面图形的面积计算，其