第11讲_函数的图像
总复习《第11讲 函数的图象》
会作图 会识图
会用图
范例1
变式1
变式2
题目:函数
y＝x|x| 的图象大致是 ( A )
总结： 1.定义域[左右位置] 4.奇偶性[图像对称] 2.值 域[上下位置 5.周期性[循环往复] ] 6.特殊点[必经之路]
范例1
变式1
变式2
题目:函数 y＝2x－x2 的图象大致是 ( A )
1.定义域[左右位置] 4.奇偶性[图像对称] 2.值 域[上下位置 5.周期性[循环往复] ] 6.特殊点[必经之路]
范例1
变式1
3
变式2
x 题目:函数 y x 的大致图象是 C . 3 1
◇◇图见P32例题2
范例2
变式1
变式2
题目:函数
f(x)＝x|4－x| , (x∈R).
(1)作出函数f(x)的图象; (2) 求f(x)的单调递减区间;
谢 谢 大 家！
2.转化：y1 log 1 x
2
x
1 y2 2
x
3.作图：略
范例2
变式1
x
变式2
题目:方程 2 log 1 x 1 0 的根的个数是
2
.
总结： 1.解不等式转化为函数的高低问题.
[数的大小]↔ [图象的高低]
2.解方程转化为函数图象相交问题.
[根的个数]↔ [图象交点个数]
(3)求不等式 f(x)>0的解集;
(4)若方程 f(x)-a=0有三根. 求a的取值范围;
范例2
变式1
x
变式2
题目:方程
2 1 0 的根的个数是
.
范例2
新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.
第11讲 二次函数的图像与性质
3. (2013· 聊城 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 1 2 1 2 ＝ x 经过平移得到抛物线 y＝ x － 2x， 其对称轴与两 2 2 段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( )
A． 2
B． 4
C． 8
D． 16
变式:如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点 A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动 到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为 .A来自BCD
2.二次函数的增减性
请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质.
(3)当x x=-2 时,y最小值= -1 ; (4)当x x﹤-2 时,y随x的增大而减小; 当x x＞-2 时,y随x的增大而增大;
低 , 小结:当a＞0时,图象有最＿点 小 函数有最＿＿值， b x<＿＿ - 2a ,y随x的增大而减小, x>＿＿ - b ,y随x的增大而增大;
1.当 a＞0 时,开口向上;当 a＜0 时,开口向下;
2.它的对称轴是 直线x=h ;顶点坐标为 (h,k) ;
3.增减性如何考虑?a,h,k分别表示的意义是什么?
1.二次函数的图像与性质(一般式)
(1)图象的开口方向 向上 ,顶点坐标 (-2,-1) 对称轴直线x=-2 ; (2)图象与x轴的交点为 (-3,0),(-1,0) ; 图象与y轴的交点为 (0,3) .
考点5:确定a、b、c等符号
自学检测5:(6分钟)
1.(2014•黔东南)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列4个 结论： ①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0； ④b2-4ac＞0 其中正确结论的有 .
高考数学对数与对数函数复习课件
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二 对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二 常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.
第11讲 一次函数的图象与性质
【拓展】 一次函数图象与坐标轴围成的图形面积的计算(如图) (1)S△AOB＝12AO·BO＝12|yA|·|xB|； (2)S△AOC＝12AO·CP＝12|yA|·|xC|； (3)S△BOC＝12BO·CQ＝12|xB|·|yC|.
4．如图，已知直线 y＝kx＋b 经过点 A(5，0)，B(1，4)． (1)方程 kx＋b＝0 的解是 x＝5 ， 不等式 kx＋b<0 的解集是 x>5 ； (2)kx＋b>4 的解集是 x<1 ；
3．一次函数与一元一次不等式的关系： (1)从“数”上看：kx＋b>0 的解集⇔y＝kx＋b 中，y>0 时 x 的取 值范围； kx＋b<0 的解集⇔y＝kx＋b 中，y<0 时 x 的取值范围． (2)从“形”上看：kx＋b>0 的解集⇔函数 y＝kx＋b 的图象位于 x 轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围； kx＋b<0 的解集⇔函数 y＝kx＋b 的图象位于 x 轴下方部分对应的 点的横坐标的取值范围．
直 线 y ＝ kx ＋ b ―向―上―平―移――m（――m― ＞―0）―个―单――位―长―度→ 直 线 y ＝ kx＋b＋m ； 直 线 y ＝ kx ＋ b ―向―下―平―移――m（――m― ＞―0）―个―单――位―长―度→ 直 线 y ＝ kx＋b－m ．
简记为“左加右减，上加下减”，左右平移只给 x 加减，上下平 移给整体加减．
1．已知函数 y＝(m－1)xm2＋3 是关于 x 的一次函数，则 m 的值 为 －1 ．
一次函数的图象与性质 1． 一次函数的图象特征：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过
点(0，④ b )和(⑤ －bk ，0)的一条⑥ 直线 ．特别地，正比例函数 y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0，⑦ 0 )和(1，⑧ k )的一条⑨ 直线 ．
人教版数学九年级上册第11讲 平面直角坐标系、函数及其图象-课件
解析：由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1 200 m，故A不符合题意；由纵坐标看出 小涛家离报亭的距离是1 200 m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去 报亭的平均速度是80 m/min，故B不符合题意；返回时的解析式为y＝－60x＋3 000， 当y＝1 200时，x＝30，由横坐标看出返回时的时间是50－30＝20 min，返回时的速度 是1 200÷20＝60 m/min，故C不符合题意；由横坐标看出小涛在报亭看报用了30－15 ＝15 min，故D符合题意．故选D.
A
解析：由点P(－1，1)到P′(4，3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，∴点 Q(－3，1)的对应点Q′坐标为(2，3)，点R(－1，－1)的对应点R′(4，1)，故选A. 【思路点拨】由点P(－1，1)到P′(4，3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位， 据此可得．
D
C
解析：观察图形得：函数没有最大值，没有最低点，函数图象关于原 点对称，故选C. 【思路点拨】根据特殊点的实际意义即可求出答案；观察函数图象，得出正确的表述即可．
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
A
A 【思路点拨】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；根据关于y轴的 对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
x≥2 解析：依题意，得x－2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2.
第11讲 幂函数(讲义)
第11讲 幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称； 例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。
高一数学下册(春季)-第11讲-正切函数的图像性质与最值
高一下册（春季）数学辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题正切函数的图像性质与最值教学内容1. 熟练掌握对数函数的性质；2. 会应用对数函数的图像与性质解决综合问题。
（以提问的形式让学生讨论完成）1. 在不同的坐标系中，分别画出正切函数图像和余切函数图像xyO xyO2. 归纳填表格：三角函数 正切函数tan y x = 余弦函数cot y x =定义域 ,2x k k Z ππ≠+∈,x k k Z π≠∈ 值域 y R ∈y R ∈最值 无最值 无最值 奇偶性 奇函数奇函数周期性 T π=T π=单调性 递增区间：2(,,)2k k x k Z ππππ-∈∈+； 没有递减区间；递减区间：(,),x k k k Z πππ∈+∈； 没有递增区间；轴对称 没有没有渐进性 渐近线：,2x k k Z ππ=+∈渐近线：,x k k Z π=∈中心对称性 对称中心是(,0)k π及(,0),2k k Z ππ+∈（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.求下列函数的定义域xy tan 11+=解：要使函数有意义，则需满足()Z k k x x ∈+≠≠+20tan 1ππ且即()()Z k k x Z k k x ∈+≠∈+≠ππππ432，且故所求函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠Z k k x k x x ，，且ππππ432试一试：求下列函数的定义域x y tan 33-=要使函数有意义，需满足,0tan 33≥-x 结合正切函数 的图像可得Z k k x k ∈+<<+-,62ππππ原函数的值域为[)+∞-,5(2)令()()011111,,tan 222=-+++-∴++-+=∴∈=y t y t y tt t t y R t x t 当y=1时,t=0,即tanx=0,当()()，时，0141122≥--+=∆≠y y y即1331031032≠≤≤∴≤+-y y y y ，且，综上所述, 原函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，. 点评：求含有正弦函数的复合函数的值域，一般采用还原法例4. 已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合． 试题分析：辅助角公式求解此类问题，为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
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第11讲 函数的图像
一、知识梳理
1.利用描点法作函数图像 基本步骤：列表、描点、连线 具体步骤：
首先：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；
其次：列表（最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）. 2．函数图像的三种变换 (1)平移变换
口诀：左加右减，上加下减．
(4)伸缩变换
)0)((>=a ax f y 的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的 坐标变为原来的 倍，
坐标 而得到．
)(x af y =的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的 坐标不变， 坐标伸长为原来的 ．
3．几个重要结论
(1)若f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，则y ＝f (x )的图像关于直线 对称．
(2)设y ＝f (x )定义在R 上，则y ＝f (x －m )与y ＝f (m －x )(m >0)的图像关于直线 对称． (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，对任意x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图像关于x ＝a ＋b
2
对称．
(4)函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图像关于x ＝b －a
2
对称．
题型一 利用变换作图
例1.作出下列函数的图像． (1)f (x )＝
x
1＋|x |
； (2)f (x )＝|lg|x －1||．
例2.作出下列函数的图像．
(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝
x ＋2x －1； (3)y ＝(12
)|x |
； (4)y ＝|log 2x －1|．
例3．要得到函数y ＝8·2－x 的图像，只需将函数y ＝x
⎪⎭
⎫
⎝⎛21的图像( )
A ．向右平移3个单位
B ．向左平移3个单位
C ．向右平移8个单位
D ．向左平移8个单位
规律方法 函数图像的作法
题型二知式选图或知图选式问题
例2.函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式是（）( )
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝cos x x
C．f(x)＝x c os x D．f(x)＝x·(x－π
2
)·(x－
3π
2
)
例3.函数y＝1－
1
x－1
的图像是 ( )
例4.当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是 ( )
例5.函数y＝x
2
－2sin x的图像大致是( )
规律方法函数图像的识辨方法 题型三函数图像的对称性
例6.(1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为．
例7．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图像关于直线x＝1对称，则a的值为( )
A
．
3
B．2 C．1 D．－1
例8.设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称例9.已知函数f(2x＋1)是奇函数，则y＝f(2x)的图像关于下列哪个点成中心对称（）A．(1,0) B．(－1,0) C．(
1
2
，0) D．(－
1
2
，0) 题型四函数图像的应用
例10.函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________．
例11.不等式log2(－x)＜x＋1的解集为__________．
例12.若直线y＝x＋m和曲线y＝1－x2有两个不同的交点，则m的取值范围是________．。