考研数学三 经济ch7 各章复习题目及答案
考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)
2023考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案2024年考研数学复习时间规划复习的阶段大致可以分为三个阶段：基础奠定，强化训练，模拟冲刺。
1、6月之前：夯实基础通过看老师的基础课程数，学习基础知识，有视频的可以结合视屏看，看完一节，知道里面讲的什么，公式、概念。
看完一章，结合之前做的笔记，复盘这一章的内容，主要将说明，各知识点都用在什么地方，然后刷一刷这一章的讲义。
看完一章视频或书籍之后，最后做一做三大计算+660题。
2、7-9月：强化训练方法同打基础阶段。
看完视频后做对应的习题330题。
3、10-11月20日：真题冲刺后期可以做一做近10年的真题了，从近往远做，越近的真题越要花时间研究，不懂的地方可以看看名师的知识点讲解。
真题的错题，尤其要弄懂。
4、11月20日-考前：模拟训练最后一两个星期，就需要持续的模拟考场做试卷的状态和题型，建议大家做一做模拟卷，网上就可以购买，一般12月初都出来了，挑自己喜欢的老师即可。
提示：不要看押题卷，知识点学就会后，以不变应万变。
考研必考科目政治、英语和专业课。
所有专业都会考查政治，虽然管理类联考初试不涉及，但复试会考查。
除小语种专业外，其他专业都会考查英语，主要有英语一和英语二。
考研专业分为13个学科大类，包含上百个专业，每一专业都会有自己的专业课考试。
考研初试科目：初试方式为笔试，共四个科目：两门公共课、两门业务课。
两门公共课：政治、英语一或英语二;业务课一：数学或专业基础;业务课二(分为13大类)：哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学、艺术学等。
法硕、西医综合、中医综合、教育学、历史学、心理学、计算机、农学等属于统考专业课，其他非统考专业课都是各院校自主命题，具体考试科目请参照各大考研院校招生简章。
会计硕士(MPAcc)、图书情报硕士、工商管理硕士(MBA)、公共管理硕士(MPA)、旅游管理硕士、工程管理硕士和审计硕士只考两门，即：英语二和管理类联考综合能力。
数三考研真题及答案
数三考研真题及答案数学是考研数学一和数学二中的一门科目，也是许多考生最为关注的科目之一。
为了更好地备考数学，考生们普遍会通过做真题来提高自己的解题能力。
本文将为大家提供一份数学三（数三）考研真题及答案，希望对考生们的备考有所帮助。
一、选择题1. 集合A由m个不同的整数组成，集合B由n个不同的整数组成，A与B有r个公共元素。
则A与B的并集有几个元素？A. m + nB. m + n - rC. m + n + rD. m - n + r答案：B2. 设函数f(x) = x^n，其中n为大于1的正整数。
若f(2+x) = f(2-x)，则x的值为多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 1，则f(a) + f(-a)的值为________。
答案：22. 设A为一个n阶方阵，若A^2 = A，则称A满足条件________。
答案：幂等矩阵三、解答题1. 解方程组：2x + 4y = 103x - 2y = 7解答：首先，将第二个方程两边同乘以2，得到方程6x - 4y = 14。
然后，将第一个方程和得到的方程相加，得到8x = 24，解得x = 3。
将x的值代入第一个方程，得到3*2 + 4y = 10，解得y = 1。
因此，方程组的解为x = 3，y = 1。
2. 求函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域。
解答：首先，根据指数函数的定义域可知，e^x的定义域为实数集R。
其次，根据对数函数的定义域可知，ln(1 - x)的定义域为(-∞, 1)。
因此，函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域为x < 1。
以上就是数学三（数三）考研真题及答案的部分内容。
希望通过这些题目的练习，考生们能够提高自己的解题能力，为考研数学的顺利通过打下坚实的基础。
祝愿所有的考生都能在考试中取得优异的成绩！。
数学三考研题目答案及解析
数学三考研题目答案及解析数学三考研题目答案及解析：题目：设函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) =f(b) \)，证明至少存在一点\( c \)在区间\( (a, b) \)内，使得\( f(c) = f(a) \)。
答案：根据罗尔定理（Rolle's Theorem），如果一个函数在闭区间\( [a, b] \)上连续，在开区间\( (a, b) \)内可导，并且两端的函数值相等，即\( f(a) = f(b) \)，那么至少存在一点\( c \)在开区间\( (a, b) \)内，使得\( f'(c) = 0 \)。
首先，我们构造一个新的函数\( g(x) = f(x) - f(a) \)。
显然，\( g(x) \)在\( [a, b] \)上连续，并且在\( (a, b) \)内可导，因为\( f(x) \)在这些区间上具有相应的性质。
由于\( f(a) = f(b) \)，我们有\( g(a) = g(b) = 0 \)。
现在，我们可以应用罗尔定理于函数\( g(x) \)在\( [a, b] \)上。
根据定理，存在至少一点\( c \)在\( (a, b) \)内，使得\( g'(c) = 0 \)。
计算\( g'(x) \)，我们得到\( g'(x) = f'(x) - 0 = f'(x) \)。
因此，\( g'(c) = f'(c) = 0 \)。
由于\( g(c) = f(c) - f(a) \)，并且我们已经知道\( g'(c) = 0 \)，我们可以得出\( g(c) = 0 \)。
这意味着\( f(c) - f(a) = 0 \)，即\( f(c) = f(a) \)。
这就证明了至少存在一点\( c \)在区间\( (a, b) \)内，满足\( f(c) = f(a) \)。
考研数三试题及答案
考研数三试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3x^2C. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3答案：A2. 计算积分∫(0到1) x dx。
A. 1/2B. 1C. 0D. 2答案：A3. 设矩阵A为3x3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 4答案：C4. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2+2x+1，求g(-1)的值为_________。
答案：06. 计算定积分∫(1到2) (x^2-1) dx的值为_________。
答案：27. 设向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a和向量b的点积a·b 为_________。
答案：-58. 设函数h(x)=e^x，求h'(x)的值为_________。
答案：e^x三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数y=x^2-4x+4的极值。
答案：函数y=x^2-4x+4可以写成y=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，因此它没有极值。
10. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。
答案：011. 设矩阵B为2x2矩阵，B=|1 2; 3 4|，求矩阵B的行列式。
答案：-212. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e13. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π14. 设函数z=x^2y+y^2x，求偏导数∂z/∂x和∂z/∂y。
答案：∂z/∂x = 2xy + y^2，∂z/∂y = x^2 + 2xy四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
2020全国硕士研究生入学统一考试数学三真题详解
Born to win
(B) E
5X
5
Y 0 ， D
5 X
5
Y
1
5 D X D Y 2 cov X ,Y
7 5
(C) E
3X
3
Y 0 ， D
3 X
3
Y
1
3 D X D Y 2 cov X ,Y
1
（D） E
3 X
3
Y
0,D
3 X
xa
f
(x) sin xa
a
（）
（A）b sin a （B）b cos a （C）b sin f (a) （D）b cos f (a)
【答案】（B） 【解析】由lim f (x) a b, 得 f (a) a, f (a) b ，则
xa x a
lim sin f (x) sin a lim sin f (x) sin f (a) sin f (x)
关与独立等价，故选项（C）符合题意。
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 z arctan xy sin x y ，则 dz 0,
【答案】 1 dx dy
z
y cos x y z
x cosx y
【解析】
,
x 1 xy sin x y2 y
12 3
0 0 1
13
的线性无关的特征向量， 2 应为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量。
这里根据题设，1,2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则1 2 也为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因3 为 A 的属于 1的特征向量，则 3也
考研数学三历年真题及答案
设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件：
， ，且f(0)=0,
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式.
八、〔此题总分值8分〕
设函数f(x)在[0，3]上连续，在〔0，3〕内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(A) 相互独立. (B) 相互独立.
(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ]
【分析】按照相互独立与两两独立的定义进展验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立.
〔5〕设 均为n维向量，以下结论不正确的选项是
(A)假设对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，那么 线性无关.
(B)假设 线性相关，那么对于任意一组不全为零的数 ，都有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(C) 线性无关,那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组 的秩为s，那么 线性无关，因此(C)成立.
(D) 线性无关,那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.
综上所述，应选(B).
【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一组不全为零的数 ，使得 成立，那么 线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，那么 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.
考研数学3真题及答案
考研数学3真题及答案考研数学3真题及答案考研数学是考研考试中的一门重要科目，对于大部分考生来说，数学是一个相对较难的科目。
在备考过程中，了解往年的真题是非常重要的。
本文将为大家介绍考研数学3的真题及答案，希望能对考生的备考有所帮助。
考研数学3是一门综合性较强的数学科目，主要涉及概率论、数理统计、线性代数等内容。
考生需要具备扎实的数学基础和较强的逻辑思维能力。
下面我们就来看一下近几年的考研数学3真题及答案。
2019年考研数学3真题：1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，已知E(X) = a，Var(X) = b，求常数a 和b的表达式。
答案：由E(X) = a和Var(X) = b，可以得到两个方程：∫xf(x)dx = a∫(x-a)^2f(x)dx = b通过求导和积分，可以求出a和b的表达式。
2. 设X1，X2，...，Xn是来自总体X的一个样本，已知样本均值为x̄，样本方差为s^2，求总体均值μ的置信区间。
答案：根据中心极限定理，当样本量n足够大时，样本均值x̄的分布近似服从正态分布。
根据正态分布的性质，可以构造出总体均值μ的置信区间。
3. 设A为n阶方阵，若存在非零向量x使得Ax = 0，则矩阵A一定是奇异矩阵吗？答案：是的，矩阵A是奇异矩阵。
根据线性代数的知识，奇异矩阵的定义是存在非零向量x使得Ax = 0。
因此，若存在非零向量x使得Ax = 0，则矩阵A一定是奇异矩阵。
以上是2019年考研数学3的部分真题及答案，通过解答这些题目，考生可以更好地了解考研数学3的考点和考察重点。
同时，通过对这些题目的分析和解答，考生可以提高自己的数学解题能力和逻辑思维能力。
备考考研数学3时，考生需要系统地学习数学基础知识，掌握概率论、数理统计和线性代数等相关内容。
同时，还需要进行大量的练习和真题训练，提高解题能力和应试能力。
总之，考研数学3是一门相对较难的科目，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。
2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析
2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（ ）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+． 只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】（A ） 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。
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第七章 二重积分一. 比较积分值的大小: 1.设,41⎰⎰+=Ddxdy y x I ,42⎰⎰+=Ddxdy y x I ⎰⎰+=Ddxdyy x I 334其中}2)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x D , 则下列结论正确的是( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I <<解. 区域D 位于直线4=+=+y x y x 及 之间, 所以140<+<y x所以3444y x y x y x +<+<+所以 321I I I <<. (A)为答案. 2.设32,1,)(22，==⎰⎰+-i dxdy eI iD y x i , 其中:}|),{(2221r yx y x D ≤+=,}2|),{(2222r yx y x D ≤+=, }||,|||),{(3r y r x y x D ≤≤=则下列结论正确的是( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I << 解. 因为 0,)(23122>⊂⊂+-y x e D D D 且, 所以231I I I <<, (C) 为答案.3.设,cos221⎰⎰+=Dy x I σ,)cos(222⎰⎰+=Dy x I σ⎰⎰+=Dy x I σ2223)cos(其中}1|),{(22≤+=y x y x D , 则下列结论正确的是( A ) 321I I I << ( B ) 132I I I << ( C ) 231I I I << ( D ) 123I I I << 解. 在区域D 中, 2222222)cos()cos(cos0y x y x yx +<+<+<, 所以321I I I <<.( A )为答案.二. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(化为累次积分(两种形式), 其中D 给定如下:1. D: 由x y 82=与y x 82=所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0及x －2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由122≤+y x , y ≥ x 及x > 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| ≤ 1所围之区域. 解. 1. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===4882022),(),(),(yy xxDdx y x f dy dy y x f dx d y x f I σ2. ⎰⎰⎰⎰++==532721),(),(x x Ddy y x f dx d y x f I σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--++=65572535332123),(),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy3. ⎰⎰⎰⎰-==2221),(),(xxDdy y x f dx d y x f I σ⎰⎰⎰⎰-+=12210222),(),(yydx y x f dy dx y x f dy4. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+==111111),(),(),(0xx x x Ddy y x f dx dy y x f dx d y x f I σ⎰⎰⎰⎰---+--+=111111),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy三. 改变下列积分次序: 1.⎰⎰--axa ax a dy y x f dx 022222),( 2.⎰⎰⎰⎰-+312301),(),(2xxdy y x f dx dy y x f dx3.⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(xxxxdy y x f dx dy y x f dx解: 1.⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+=a a ya aya aya axa ax a dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 22202222222222),(),(),(2.⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+y yxxdx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx 2310312301),(),(),(23.⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(xxxxdy y x f dx dy y x f dx=⎰⎰⎰⎰----+y yyydx y x f dy dx y x f dy 222010),(),(四. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ b 2, y ≥ 0, (b > a > 0)2. D: x 2 +y 2 ≤y, x ≥ 03. D: 0 ≤ x +y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 解. 1. ⎰⎰⎰⎰==baDd f d d y x f I ρρθρθρθσπ)sin ,cos (),(02. ⎰⎰⎰⎰==θπρρθρθρθσsin 02)sin ,cos (),(d f d d y x f I D3. ⎰⎰⎰⎰-==θπρρθρθρθσcos 104)sin ,cos (),(d f d d y x f I D+⎰⎰+θθπρρθρθρθsin cos 120)sin ,cos (d f d五. 求解下列二重积分: 1.⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinxx xdy yx dx dy yx dx ππ2.⎰⎰-xydy edx 021023.⎰⎰Ddxdy xy 6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形4.⎰⎰+Ddxdy yx xy 22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2解.1.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+21221422212cos22sin2sin2sin2dy yyyxy dx yxdy dy yxdx dy yxdx y yxx xπππππ =⎰⎰-=-212212sin42cos2yyd dy yy ππππ=⎰+-21222sin4122sin4dy y y y ππππ=)2(4122cos84332+=-πππππy2.⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----==1122121221022222yyyyxydy ey dy edx dy edy edx=⎰⎰--+1210222yyydedy e=211221022221----=-+⎰⎰edy eyedy eyyy3.⎰⎰Ddxdy xy 6, D: 由34x x y -=的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形.解. 2334'x x y -=, 0)12(6612''2<-=-=x x x x y . 解得 210<<x . 此时图形在x 轴下方. 所以487)(212121062342106221663434-=--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--dx xx x dx xy dy xy dxdy xy xx xx D4.⎰⎰+Ddxdy yx xy 22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2.解. 使用极坐标变换⎰⎰⎰⎰=+45421222sin cos ππρρρθθρρθd d dxdy yx xy D⎰⎰=214542s i n 21ρρθθππd d = 0六. 计算下列二重积分: 1.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ddxdy b y a x 221, D: 12222≤+b y a x .解. 令θρcos a x =, θρsin b y =.雅可比行列式为ρθρθθρθθρθρθρab b b a a y y x x y x =-==∂∂cos sin sin cos ''''),(),(ab abd ab d dxdy b y a x Dπρπρρρθπ32)1(312111232201222=--=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰2.⎰⎰+Ddxdy y x)ln(22, D: 1222≤+≤y x ε, 并求上述二重积分当+→0ε时的极限.解.⎰⎰⎰⎰⎰==+122122022ln ln)ln(εεπρρπρρρθd d d dxdy y xD=)1ln ()ln (2221222-+-=-εεεπρρρπε所以+→0limεπ-=+⎰⎰Ddxdy y x )ln(22.3.⎰⎰--xady y x x a y f dx 0))(()('解.⎰⎰⎰⎰--=--a yaxay x x a dx dy y f dy y x x a y f dx ))(()('))(()('0=⎰⎰⎰⎰+---+-=-+⋅+-a yaa ya y a x y a y a x d dy y f xx y a ay dxdy y f )2(4)()2()('22)('22=⎰⎰-==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-aaf a f dy y f dy ya y a y a x y f 0))0()(()('22arcsin )('ππ4.⎰⎰++--Ddxdy y x y x 222211, D: x 2 + y 2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.解.=++--⎰⎰Ddxdy y x y x 222211⎰⎰⎰+-=+-12211411,dt tt xd d D πθρρρρθρu tt =+-11令 ⎰+1222)1(du u uπθtan =u 令 θθθθππd ⎰4422sec sec tan=)2(8sin 42-=⎰ππθθππd .七. 求证:⎰⎰⎰=21)(2ln )(du u f dxdy xy f D, 其中D 是由xy = 1, xy = 2, y = x 及y = 4x(x > 0,y > 0)所围成之区域. 证明: 令u = xy, y = vx. 即vu x =, uv y =.vv u y x 21),(),(=∂∂. 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===212141)(2ln 21)(21)()(,du u f dv vdu u f dudv v u f dxdy xy f vu D D八. 求证:⎰⎰⎰-≤+-=+2221)(2)(22du u f u dxdy y x f y x证明: 令y x u +=, y x v -=.21''''1),(),(-==∂∂yxy x v v u u v u y x . 所以du dv u f dudv u f dxdy y x f uv u y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--≤+≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+22202122222)(21)()( =⎰--222)(2du u f u九. 设f (t )是半径为t 的圆周长, 试证:⎰⎰⎰-≤++-=atay x y x dt et f dy dx e22222222)(2121ππ证明: 左 =⎰⎰⎰⎰-≤++-=aay x y x d ed dy dx e22022222222121ρρθππρπ⎰-=ad e22221ρπρπρ⎰-=ad ef 022)(21ρρπρ=右十. 设m , n 均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明:0222=⎰⎰≤+dy dx y x ay x nm证明: 区域 D 既对x 轴对称, 又对y 轴对称.当m 为奇数时n m y x 为对于x 的奇函数, 所以二重积分为0; 当n 为奇数时nm y x 为对于y 的奇函数, 所以二重积分为0.十一. 设平面区域}11,1|),{(3≤≤-≤≤=x y x y x D , )(x f 是定义在)1(],[≥-a a a 上的任意连续函数试求: ⎰⎰--++=Df x x f x y I ()1()()1[(2解. 作曲线如图. 令 L y y x y D ,1),0(:31=≥= 围成 L x y x y D ,1),0(:32-=≤= 围成. 1D 按y 2D 按x 轴对称.令)]()1()()1[(2),(x f x x f x y y x f --++=显然 )]()1()()1[(2),(x f x x f x y y x f =--++-=-所以0),(2=⎰⎰D d y x f σ又因为 ),()]()1()()1[(2),(y x f x f x x f x y y x f -=--+-+-=- 所以0),(1=⎰⎰D d y x f σ0),(),()]()1()()1[(221=+=--++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D Dd y x f d y x f dxdyx f x x f x y I σσ。