2020届河南省焦作市普通高中高三下学期四模考试数学(文)试卷及答案
2020年6月河南省大教育合作学校2020届高三质量检测第四次联考(全国卷)文科数学答案
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2020年高考文科数学模拟试卷(四)Word版含答案及解析
2020年高考文科数学模拟试卷（四）时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A. 13B. 13C. 102.集合{|2lg 1}A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B ⋂=（ ）A. [3,3]-B.C. (0,3]D. [- 3.若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin2α=（ ） A. θB. 257-C.1625D.58 4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =( )A. 23B. 32C. 35D. 385.函数)3lny x x =+的图像大致为（ ）A. B. C. D.6.两个非零向量,a b rr 满足2a b a b a +=-=r r r r r，则向量b r 与a b ρρ-夹角为（ ）A. π65B.6π C.π32 D.3π 7.某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ） A.25B.12C.34D.568.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.π83 B.4π C.524π D.724π 9.执行如图所示的程序框图，若输出的p 的值等于11，那么输入的N 的值可以是（ ）A. 121B. 120C. 11D. 1010.下列命题是假命题．．．的是（ ） A. 某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人；B. 用独立性检验（22⨯列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量2K 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大；C. 已知向量(1,2)a x =-r，)1,2(=b ρ，则2x >-是0a b ⋅>rr 的必要条件；D. 1x y =++，则点(, )M x y 的轨迹为抛物线. 11.已知函数1()x x f x ax e+=-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1e B. (1,)-+∞ C. (1,0)- D. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知P 是圆22:(2)(2)1C x y -++=上一动点，过点P 作抛物线y x 82=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 斜率的最大值为（ ） A.14B.34C. 38D.12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______． 14.平面向量与的夹角为，，，则__________．15.如图所示，正方体的棱长为2，E ，F 为，AB 的中点，M 点是正方形内的动点，若平面，则M 点的轨迹长度为______．16.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___三、解答题：共70分。
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析
最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。
2020年河南省焦作市高考数学四模试卷(文科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝（0，+∞），B ={x|√x +1≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．[﹣1，3]B ．（0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]【解答】解：因为集合A ＝（0，+∞），B ={x|√x +1≤2}， 所以B ＝[﹣1，3]，所以A ∪B ＝[﹣1，+∞）． 故选：C ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）（2﹣i ）＝zi ，则z ＝（ ） A ．3+iB ．1﹣3iC ．3﹣iD ．1+3i【解答】解：由（1+i ）（2﹣i ）＝zi ，得3+i ＝zi ， ∴z =3+ii =(3+i)(−i)−i2=1﹣3i ． 故选：B ．3．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=72，S 6＝27，则a 10＝（ ） A ．272B ．352C ．36D ．85【解答】解：由题意利用等差数列的性质得{a 1+2d =726a 1+15d =27，解得{a 1=−12d =2，所以，a 10=−12+(10−1)×2=352，故选：B ．4．（5分）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的23得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的43为第三根琴弦，第三根琴弦长度的23为第四根琴弦，第四根琴弦长度的43为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（ju é）、微（zh ǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ） A ．32B ．8164C ．3227D ．98【解答】解：设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为23，89，1627，6481，五根琴弦的长度从大到小依次为1，89，6481，23，1627，所以“角”和“微”对应的琴弦长度分别为6481和23，其长度之比为3227，故选：C ．5．（5分）函数f(x)=cosx−2x 22x−sinx的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为f(−x)=cos(−x)−2(−x)2−2x−sin(−x)=−cosx−2x 22x−sinx =−f(x)，所以f （x ）是奇函数，排除选项C 和D ，因为x ＝1时，0＜cos1＜1，0＜sin1＜1，所以f(1)=cos1−22−sin1＜0，排除选项A ．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：第一次循环，S=0−1(−1)1=1，n＝1+2＝3；第二次循环，S=1−1(−1)3=2，n＝3+2＝5；第三次循环，S=2−1(−1)5=3，n＝5+2＝7；第四次循环，S=3−1(−1)7=4，n＝7+2＝9，跳出循环，输出S＝4．故选：B．7．（5分）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若n⊂α，m∥n，m⊥β，则α⊥β【解答】解：选项A，直线n可能在平面α内，错误；选项B，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β平行或相交，错误；选项C，α与β相交或平行，错误；选项D，n⊂α，n∥m，且m⊥β，则必有n⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β，正确． 故选：D ．8．（5分）将函数f(x)=3sin(12x −φ)（|φ|＜π2）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g（x ）的图象．若g(π3)=32，则φ＝（ ） A ．−π4B ．−π3C ．π6D ．π3【解答】解：将函数f(x)=3sin(12x −φ)（|φ|＜π2）的图象向左平移π3个单位长度，可得g(x)=3sin[12(x +π3)−φ]=3sin(12x +π6−φ) 的图象， 因为g(π3)=32，所以3sin(π3−φ)=32，即sin(π3−φ)=12， 所以π3−φ=2kπ+π6（k ∈Z ）或π3−φ=2kπ+5π6（k ∈Z ）．因为|φ|＜π2，所以，φ=π6， 故选：C ． 9．（5分）已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线的一个交点为A ，与渐近线的一个交点为B ，AF →=12BF →，则双曲线的离心率e ＝（ ） A ．43B ．2√33C ．√3D ．2【解答】解：因为AF ⊥x 轴，所以|AF|=b 2a ，|BF|=bca ， 又AF →=12BF →，所以b 2a =12⋅bc a，即c ＝2b ．因为c 2＝a 2+b 2，所以a 2=34c 2， 所以e =c a =√43=2√33． 故选：B ．10．（5分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，△BEF 是等边三角形，在正方形ABCD 内随机取一点，则该点取自△BEF 内的概率为（ ）A ．2√3−3B ．2−√3C ．13D ．√33【解答】解：连接BD 交EF 于G ，则BD ⊥EF ，EG ＝FG ，所以∠ABE ＝15°． 设等边三角形BEF 的边长为2，所以AB ＝2cos15°， 所以正方形ABCD 的面积为(2cos15°)2=4cos 215°=4×1+cos30°2=2+√3， 等边三角形BEF 的面积为12×2×2×√32=√3，故所求的概率P =√32+3=2√3−3．故选：A ．11．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为4，cos C 是方程2x 2+5x ﹣3＝0的一个根，则c 2的最小值为（ ） A ．4√2B ．4√33C ．3D ．16√33【解答】解：由2x 2+5x ﹣3＝0得x =12或x ＝﹣3． 因为cos C ∈（﹣1，1），所以cosC =12，所以sinC =√32．由余弦定理得c 2＝a 2+b 2﹣ab ≥ab （当且仅当a ＝b 时，等号成立）． 因为△ABC 的面积为4，所以ab sin C ＝8，所以ab =8sinC ，所以ab =16√33， 所以c 2的最小值为16√33．故选：D ．12．（5分）已知函数f （x ）={2x +4x −5，x ＞0−x 2−3x −3，x ≤0，若函数f （x ）＝﹣x +m 恰有两个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．(−∞，4√3−5)C ．(−∞，−2)∪(4√3−5，+∞)D ．[−3，−2)∪(4√3−5，+∞)【解答】解：令g （x ）＝f （x ）+x ，由题意g(x)={3x +4x −5，x ＞0，−x 2−2x −3，x ≤0.画出g （x ）的图象如图，函数f （x ）＝﹣x +m 恰有两个不同的零点， 即函数g （x ）的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点．因为x ＞0时，3x +4x−5≥4√3−5，x ＜0时﹣x 2﹣2x ﹣3＝﹣（x +1）2﹣2≤﹣2， 所以m ＞4√3−5或﹣3≤m ＜﹣2， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a →=(3，−1)，b →−a →=(−4，2)，则a →⋅b →= ﹣4 ． 【解答】解：由已知可得b →=(−1，1)，所以a →⋅b →=(3，−1)⋅(−1，1)=−4． 故答案为：﹣414．（5分）已知tan2α=−43，则sin αcos α﹣3cos2α＝ ±115． 【解答】解：因为tan2α=−43， 所以sin2α=−43cos2α，所以sinαcosα−3cos2α=12sin2α−3cos2α=−113cos2α． 因为1+tan 22α=1cos 22α，所以cos2α=±35， 所以sinαcosα−3cos2α=±115． 故答案为：±115．15．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AA 1＝2AB ，E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与GH 的夹角的余弦值为 √1010．【解答】解：如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，取DD 1的中点N ，连接EN ，FN ，因为E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CC 1的中点，由长方体的性质可知GH ∥EN ， 所以∠FEN （或其补角）为异面直线EF 与GH 所成的角，因为AA 1＝2AB ，设正方形ABCD 的边长为a ，所以AA 1＝2a ，EF =√AE 2+AF 2=√22a ，EN =√DE 2+DN 2=√52a ，FN =√AD 2+AF 2+DN 2=32a ，在△EFN 中，由余弦定理得cos∠FEN =EN 2+EF 2−FN 22EN⋅EF =(√52a)2+(√22a)2−(32a)22×52a×22a=−√1010， 所以异面直线EF 与GH 的夹角的余弦值为√1010． 故答案为：√1010． 16．（5分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），点A ，F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，直线AP 与以坐标原点O 为圆心，b 为半径的圆相切于P 点，且PF ⊥x 轴；则C 的离心率为√5−12． 【解答】解：设椭圆的半焦距为c ．如图，因为AP 与圆O 相切于P ，所以P A ⊥OP ． 因为|OF |＝c ，|OA |＝a ，PF ⊥x 轴，所以|PF|=√b 2−c 2，|PF |2＝|OF |•|AF |＝c （a ﹣c ）， 所以b 2﹣c 2＝c （a ﹣c ）．因为a 2＝b 2+c 2，所以a 2﹣ac ﹣c 2＝0，因为e =ca ，所以e 2+e ﹣1＝0，因为e ∈（0，1）， 所以e =√5−12．故答案为：√5−12．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）某单位在2019年重阳节组织50名退休职工（男、女各25名）旅游，退休职工可以选择到甲、乙两个景点其中一个去旅游．他们最终选择的景点的结果如表：男性 女性 甲景点 20 10 乙景点515（Ⅰ）据此资料分析，是否有99.5%的把握认为选择哪个景点与性别有关？（Ⅱ）按照游览不同景点用分层抽样的方法，在女职工中选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人游览的景点不同的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k ）0.010 0.005 0.001 k6.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）根据2×2列联表可得，K 2=50(20×15−10×5)230×20×25×25=253≈8.333，由于8.333＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择哪个景点与性别有关． （Ⅱ）游览甲景点的女职工有10人，游览乙景点的女职工有15人， 用分层抽样方法抽取5人，则游览甲景点的女职工应抽取2人，记为a，b，游览乙景点的女职工应抽取3人，记为A，B，C．从5人中随机抽取2人，所有的可能情况有10种：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC；这2人游览的景点不同的情况有6种：aA，aB，aC，bA，bB，bC；设接受采访的这2人游览的景点不同为事件A，所以P(A)=610=35．18．（12分）记数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣n（n∈N*）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{a n+1a n a n+1}的前n项和T n＜1．【解答】解：（Ⅰ）解：∵S n＝2a n﹣n，∴当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1），两式相减得a n＝2a n﹣1+1，即a n+1＝2（a n﹣1+1）．又当n＝1时，有S1＝a1＝2a1﹣1，解得：a1＝1．∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n．∴a n=2n−1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a n+1a n a n+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=(2n+1−1)−(2n−1)(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴T n=(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1＜1．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，E，F分别是BC，A1C1的中点，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝2AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求点C到平面AEF的距离．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点D ，连接DE ，A 1D ． ∵E 是BC 的中点，∴DE ∥AC ，且DE =12AC ． 由三棱柱的性质知AC ∥A 1C 1．∵F 是A 1C 1的中点，∴A 1F ∥AC ，且A 1F =12AC ， ∴A 1F ∥DE ，且A 1F ＝DE ，∴四边形DEF A 1是平行四边形，得EF ∥DA 1． ∵EF ⊄平面ABB 1A 1，DA 1⊂平面ABB 1A 1， ∴EF ∥平面ABB 1A 1；（Ⅱ）解：已知可得：V F−ACE =13×AA 1×S △ACE =13×4×12×√34×22=2√33． 在△AEF 中，AE =√3，AF =√17，EF =√17，AE 边上的高为17−(32)2=√652，∴S △AEF =12×√652×√3=√1954．设点C 到平面AEF 的距离为h ， 则V C−AEF =13×ℎ×S △AEF =2√33， 解得ℎ=8√6565．即点C 到平面AEF 的距离为8√6565．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点A ，点M （2，p ）在抛物线C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过点M 作直线l ，交抛物线C 于另一点N ，若△AMN 的面积为649，求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点M （2，p ）在抛物线C ：y 2＝2px 上，所以p 2＝4p ，所以p ＝4或p ＝0（舍去），所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线C 的方程为y 2＝8x ，M （2，4），A （﹣2，0），所以直线MA 的方程为x ﹣y +2＝0，且|MA|=4√2．所以点N 到直线MA 的距离d =2S △AMN |MA|=2×64942=16√29， 设N 点的坐标为(y 028，y 0)， 则d =|y 028−y 0√2=16√29． 解得y 0=283或y 0=−43．即N 点的坐标为(989，283)或(29，−43)． 若取N(989，283)，则k MN =283−4989−2=35，直线l 的方程为y −4=35(x −2)，即3x ﹣5y +14＝0．若取N(29，−43)，则k MN =−43−429−2=3，直线l 的方程为y ﹣4＝3（x ﹣2），即3x ﹣y ﹣2＝0．所以直线l 的方程为3x ﹣5y +14＝0或3x ﹣y ﹣2＝0．21．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +3x 2（a ∈R ）．（Ⅰ）求f （x ）的极值；（Ⅱ）设g （x ）＝2x ﹣m ，若当a ＝﹣4时，f （x ）﹣g （x ）≥0恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由条件得f （x ）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a x +6x =6x 2+a x（x ＞0）．①当a ≥0时、f '（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增．②当a ＜0时，令6x 2+a ＝0，得x =√−a 6（负值舍去），因为当0＜x ＜√−a 6时f '（x ）＜0，当x ＞√−a 6时，f '（x ）＞0，所以f （x ）在(0，√−a 6)上单调递减，在(√−a 6，+∞)上单调递增．综上，①当a ≥0时，f （x ）无极值；②当a ＜0时，f （x ）有极小值f(√−a 6)=12aln(−a)−a 2ln6−a 2，无极大值．（Ⅱ）当a ＝﹣4时，f （x ）＝﹣4lnx +3x 2．设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝﹣4lnx +3x 2﹣2x +m （x ＞0）．则ℎ′(x)=−4x +6x −2=6x 2−2x−4x =(3x+2)(2x−2)x （x ＞0）． 令h '（x ）＝0，得x ＝1，因为当0＜x ＜1时，h '（x ）＜0，当x ＞1时h '（x ）＞0，所以h （x ）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），所以h （x ）的极小值也是最小值为h （1）＝1+m因为f （x ）﹣g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以1+m ≥0，即m ≥﹣1，故实数m 的取值范围为[﹣1，+∞）．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−2+3cosφ，y =1+3sinφ（φ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣2ρsin θ﹣5＝0．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若与l 平行的直线l '与曲线C 交于A ，B 两点．且在x 轴的截距为整数，△ABC 的面积为2√5，求直线l '的方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程{x =−2+3cosφy =1+3sinφ， 化为普通方程为（x +2）2+（y ﹣1）2＝9．由ρcos θ﹣2ρsin θ﹣5＝0，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y ﹣5＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l 的直角坐标方程为x ﹣2y ﹣5＝0，C （﹣2，1）．设直线l '：x ﹣2y +m ＝0，由题知m ∈Z ．∴C 到直线l '的距离d =5=5， ∴|AB|=2√9−(m−4)25，∴12⋅2√9−(m−4)25⋅√5=2√5， 整理得（m ﹣4）4﹣45（m ﹣4）2+500＝0，∴（m ﹣4）2＝20或（m ﹣4）2＝25， ∵m ∈Z ，∴m ＝﹣1或m ＝9．∴直线l '的方程为x ﹣2y ﹣1＝0或x ﹣2y +9＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|5x ﹣3|﹣|5x ﹣2|．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞3﹣4x 的解集；（Ⅱ）若a ，b ∈R +，1a +2b =2，不等式2a +b ≥f （x ）+2m 2+1恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意：f （x ）＝|5x ﹣3|﹣|5x ﹣2|={ 1，x ≤25，−10x +5，25＜x ≤35，−1，x ＞35. 所以不等式f （x ）＞3﹣4x 可化为{x ≤25，1＞3−4x 或{25＜x ≤35，−10x +5＞3−4x 或{x ＞35−1＞3−4x 解得x ＞1．所以不等式f （x ）＞3﹣4x 的解集为（1，+∞）． （Ⅱ）f （x ）＝|5x ﹣3|﹣|5x ﹣2|≤|5x ﹣3+2﹣5x |＝1 因为a ，b ∈R +，1a+2b =2， 所以2a +b =12(2a +b)(1a +2b )=12(4+4a b +b a )≥12(4+2√4a b ⋅b a )=4， 当且仅当4a b =b a ，即a ＝1，b ＝2时取等号．因为2a +b ≥f （x ）+2m 2+1恒成立，所以4≥1+2m 2+1，解得﹣1≤m ≤1，所以实数m 的取值范围是[﹣1，1]．。
河南省焦作市2020届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题(wd无答案)
河南省焦作市2020届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题一、单选题(★★★) 1. 已知集合，．则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 的展开式的常数项为（）A．9B．8C．D．(★★) 4. “三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴强长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦．第四根琴弦长度的为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“官、商、角（jué）、微（zhǐ）、羽”，则“角＂和“徵”对应的琴弦长度之比为（）A．B．C．D．(★★) 5. 函数的部分图象大致是（）A．B．D．C．(★★) 6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．3B．4C．5D．6(★★★) 7. 已知为奇函数，则（）A．B．1C．0D．(★★★) 8. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A．25B．C．5D．(★★) 9. 如图．四边形是正方形，点，分别在边，上，是等边三角形，在正方形内随机取一点，则该点取自内的概率为（）A．B．C．D．(★★) 10. 在长方体中，底面是正方形，，，，，分别是，，，的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 记双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆．若圆与圆仅有3条公切线，且其中2条恰为双曲线的渐近线，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 抛物线：在点处的切线交准线于，且与轴交于，为的焦点．若的面积为，则（）A．B．C．4D．二、填空题(★★) 13. 已知向量，，则与夹角的余弦值为______．(★) 14. 某一批花生种子的发芽率为，设播下10粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量．若，则______．(★★★) 15. 已知正项数列中，，，，则数列的前60项和 ______ ．(★★★) 16. 已知函数，，若函数的导函数与（）的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为______．三、解答题(★★) 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．（Ⅰ）是边上的中线，若，求的值；（Ⅱ）若，求的周长．(★★★) 18. 如图1在正方形中，，是的中点，把沿折叠，使为等边三角形，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．(★★★) 19. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．(★★★★) 20. 已知函数，其中（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 21. 无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次呼叫信号被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到．（Ⅰ）若要保证基站收到信号的概率大于0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．（Ⅱ）设（Ⅰ）中求得的结果为．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔5秒钟拍发下一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发次呼叫信号，且无线电信号在轮船与基站之间一个来回需要16秒，设轮船停止拍发时，一共拍发了次呼叫信号，求的数学期望（结果精确到0.01）．参考数据：．(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若与平行的直线与曲线交于，两点．且在轴的截距为整数，的面积为，求直线的方程．(★★★) 23. 已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．。
河南省焦作市第二十中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析
河南省焦作市第二十中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，若，则直线：与圆：的位置关系是（）A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离参考答案：C2. 如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为参考答案：答案：D解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B 正确；根据对称性知C正确。
选D3. 在递增等比数列{a n}中，，则公比＝A．-1 B．1 C．2 D．参考答案：C略4. 函数的定义域是(A). (B). (C). (D) .参考答案：C略5. 已知x的取值范围是[0，8]，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．6. 已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于(A)4 (B)5 (C)6 (D)7参考答案：C 【解析】本小题主要考查等差数列的性质。
由得：，故选C。
7. 以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则等于( )A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}参考答案：A9. 将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为A．B．C．1 D．参考答案：A10. 下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；简易逻辑．【分析】由若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则P且q真假不确定，即可判断A；运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断B；由原命题和逆否命题的关系，注意或的否定为且，即可判断C；由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断D．【解答】解：对于A．若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q的真假不定，则A错误；对于B．若a＞0，b＞0，则+≥2=2，当且仅当a=b取得等号，反之，若+≥2即为≥0，即≥0，即有ab＞0，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，则B错误；对于C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，则C错误；对于D．命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则D正确．故选D．【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要考查复合命题的真假、充分必要条件的判断和四种命题及命题的否定形式，属于基础题和易错题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．参考答案：试题分析：由，解得：，所以函数的定义域是．考点：函数的定义域．12. 设变量x，y满足约束条件：则的最大值为________．参考答案：913. 已知函数．若存在，使得，则实数b 的取值范围是____．参考答案：∵f(x)=e x(x?b)，∴f′(x)=e x(x?b+1)，若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，则若存在x∈[,2],使得e x(x?b)+xe x(x?b+1)>0，即存在x∈[,2],使得b<成立，令，则，g(x)在递增，∴g(x)最大值=g(2)=，则实数的取值范围是14. 在中，，则的最大值为。
2020年河南省焦作市城关中学高三数学文模拟试卷含解析
2020年河南省焦作市城关中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）（A）2 （B）1 （C）（D）参考答案：D由程序框图知，，；，；，；，；…∴是以3为周期循环出现的，又，∴,，∴,当时，便退出循环，∴输出。
2. 已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．无穷个参考答案：C3. 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B． +C．7+D．6参考答案：D 【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．4. （5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． 12+ B． 12+ C． 4+ D． 4+参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意作直观图，从而求各部分的体积，再求和．解：由题意作直观图如下，其上方为半球V1=××π×23=π；其下方为长方体V2=2×2×3=12；故该几何体的体积为12+π；故选B．【点评】：本题考查了学生的空间想象力与作图用图的能力，属于基础题．5. 若函数，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有恒成立，此时T为的假周期，函数是M上的a级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当函数，若，使成立，则实数m的取值范围是（）A．B．(－∞,12] C．(－∞,39]D．[12,+∞)参考答案：B根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的3级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=33?f（x﹣6），则有﹣≤f（x）≤，则f（8）=27 f（2）=27 f（0）=，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为，最小值为﹣；对于函数，有g′（x）=分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值g（1）=+m，若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤，得到m范围为.故答案为：B.6. 在直角中，，，为直线上的点，且，若，则的最大值是（）A．B． C. 1 D．参考答案：A解析：因，故由可得，即，也即，解之得，由于点，所以，应选答案A。
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2020年河南省焦作市第六中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，，则此数列的前6项和为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D2. 已知是R上的奇函数，且为偶函数，当时，，则（）A．B．C．1 D．－1参考答案：A3. 函数的图像可能是参考答案：4. 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（）A. B. C. D.C【分析】先根据古典概型概率公式求出两人被封同一等级的概率,再用对立事件的概率公式可求得. 【详解】给有巨大贡献的2人进行封爵,总共有种,其中两人被封同一等级的共有5种,所以两人被封同一等级的概率为,所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为:.故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式.属于基础题.5. 曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1参考答案：A本题主要考查了导数的几何意义和导数的应用。
难度不大.对函数求导得，所以切线斜率，则切线方程为，在坐标系中作出三直线得围成的图形为底为1高为的三角形，所以面积为.6. 设，则＝（）A． B． C． D．D7. 已知等差数列的公差，前n项和为，等比数列的公比q是正整数，前n项和为，若，且是正整数，则等于(A) (B) (C)(D)参考答案：B8. 已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（）A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：B略9. 若集合，则集合A、 B、 C、 D、R参考答案：【知识点】函数的定义域；集合.A1,B1【答案解析】C 解析：解：由题意可知，所以C选项正确.【思路点拨】先根据集合的概念求出集合中元素的范围，再求出交集.10. 下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若则”的否命题为：“若则”；B.“”是“”的必要不充分条件；C.命题“，使得”的否定是：“均有”D.命题“已知若或，则”为真命题.参考答案：【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 A3【答案解析】C 解析：对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=-1?x2-5x-6=0，应为充分条件，故错误．对于D：其逆否命题是“已知若，则且”此命题显然不对，故D错误.所以选C.【思路点拨】根据命题的否定，否命题，四种命题的关系及充分条件，必要条件判断结论.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等差数列的前项和为，若2，4，成等比数列，则=_________。
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