2019高考数学二轮复习第二部分专题一函数与导数、不等式专题强化练三不等式理

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高考数学二轮复习不等式

(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－－ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212，表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，

(广东专版)2019高考数学二轮复习第二部分专题一函数与导数、不等式第4讲导数与函数的单调性、极值与

②若a＞2，令f′(x)＝0得， a－ a2－4 a＋ a2－4 x＝或x＝ . 2 2
a－当x∈ 0，
a 2
2
a＋－4 ∪(
a2－4 ，＋∞)时，f′ 2
(x)＜0；
a－当x∈
a2－4 a＋ a2－4 ，时，f′(x)＞0. 2 2
2．四个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x.
(3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)． 1 (4)(logax)′＝ (a＞0，且a≠1，x＞0)． xln a 3．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上，函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么 ∫ b a f(x)dx表示直线x＝a，x＝b，曲线y＝f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积．
－
解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]· ex 1 ，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]· e 3＝0⇒a＝－1，
－
则f(x)＝(x2－x－1)· ex 1，f′(x)＝(x2＋x－2)· ex 1 ，
－－
又ex 1＞0恒成立，
－
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f ′(x)＜0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．则f(x)的极小值为f(1)＝－1. 答案：A
＝aln x1 －x1＋x2 x2
1 ＝－a( ＋2ln x2－x2) x2 1 设φ(x)＝－x＋2ln x，x＞1， x 由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且φ(1)＝ 0，从而当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0， 1 所以＋2ln x2－x2＜0，故t＞0. x2

高考数学二轮复习(2)函数、导数与方程、不等式综合问题专题

高考数学二轮复习（2）函数、导数与方程、不等式综合问题专题考向风向标根据2018、2019年真题研究，此专题大概率考察解答题、且会放在压轴题的方向上，同学们应该注意各个考点的学习深度和考点综合起来的认识与理解能力；如果增加难度可能会出填空压轴题。

一、小题优选（填空压轴题）1.已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为____________. 2.设函数()2,01 ,0x x f x x -⎧⎪⎨⎪⎩≤=>，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是____________.答案速查1.c >a >b .2.(,0)-∞.二、大题精选 1.设函数2()ln(1)2x f x x x =+-+，证明：（Ⅰ）当0x >时，()0f x >；（Ⅱ）19210()e 9>.2.已知函数()()21e x f x x -=+，[]0,1x ∈，求证：()11f x x≤+.3.已知函数()sin f x x x =-.证明：（Ⅰ）当0x >时，()0f x >；（Ⅱ）当01x <<时，31()6f x x <.4.已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠．（Ⅰ）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 单调区间；（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|e 1f x f x -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．5.已知函数32()2f x x ax b =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.6.设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a ∈R . (1)若a ≤0，讨论()f x 的单调性； (2)若10ea <<， (i)证明：()f x 恰有两个零点；(ii)设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.7.已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．8.已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． (1)证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； (2)若[0,]x ∈π时，()f x ax ≥，求a 的取值范围．9.已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明： (1)()f x 存在唯一的极值点；(2)()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．答案速查：题一：证明：因为212(2)2()1(2)x xf x x x +-'=-++ 2221401(2)(2)(1)x x x x x =-=≥++++ 所以()f x 在定义域内单调递增，当0x >时，()(0)0f x f >=，故（Ⅰ）成立；（Ⅱ）由（Ⅰ）得当0x >时，2ln(1)2x x x +>+，所以1219ln(1)1929⨯+>+，即102ln 919>，亦即1019ln 29>，1910ln()29>所以19210()e 9>，此题得证.题二：证明：法一：因为[]0,1x ∈，所以原不等式等价于22(1)e 1xx -+≤，令22()(1)exh x x -=+，[]0,1x ∈，则2()2(1)e 0xh x x x -'=-+≤，所以()h x 在[]0,1上单调递减，所以()(0)1h x h ≤=，此题得证；法二：设()e (1)xg x x =-+，[]0,1x ∈因为()e 10xg x '=-≥，所以()g x 在[]0,1上单调递增，即()e (1)(0)0xg x x g =-+≥=，1e xx +≤所以22(1)e xx +≤，22(1)e1xx -+≤，所以21(1)e 1x x x-+≤+，此题得证. 题三：因为()1cos 0f x x '=-≥所以()sin f x x x =-单调递增，（Ⅰ）当0x >时，()sin (0)0f x x x f =->=，此题得证；（Ⅱ）法一：令31()sin 6g x x x x =--，则21()1cos 2g x x x '=--，()sin g x x x ''=-，由（Ⅰ）得sin x x >，所以()0g x ''<，所以()g x '在(0,1)上单调递减，所以()(0)0g x g ''<=，所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(0)0g x g <=，即31()6f x x <，此题得证；法二：令31()sin 6g x x x x =--，则22211()1cos 2sin 222x g x x x x '=--=-，由（Ⅰ）得sin x x >，所以2222112sin 2()02222x x x x -<-=，所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(0)0g x g <=，即31()6f x x <，此题得证. 题四：（Ⅰ）1y =；（Ⅱ）()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅲ）1(0,][e,)e+∞U .题五：(1)当0a >时，()f x 在(,0),(,)3a -∞+∞单调递增，在(0,)3a 单调递减；当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；当0a <时，()f x 在(,),(0,)3a -∞+∞单调递增，在(,0)3a 单调递减； (2)满足题设条件的,ab 存在；0,1a b ==-或4,1a b ==.题六：(1) 当a ≤0，()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)(i)由(1)知，21e ()xax f x x-='，令2()1e x g x ax =-，由10e a <<可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)1e 0g a =->，且221111(ln )1(ln )1(ln )0g a a a a a =-=-<，故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x ='在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a <<.当0(0,)x x ∈时，0()()()0g x g x f x x x=>='；所以()f x 在0(0,)x 内单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，0()()()0g x g x f x x x=<='，所以()f x 在0(,)x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点. 令()ln 1h x x x =-+，当1x >时，1()10h x x=-<'，故()h x 在 (1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-，从而1ln 111111(ln )ln(ln )(ln 1)e ln(ln )ln 1(ln )0a f a h a a a a a a=--=-+=< 1ln 11111)(ln 1)e ln(ln )ln 1(ln )0a a h a a a a a--=-+=<，又因为0()(1)0f x f >=，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯一零点，又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.(ii)由题意：01()0()0f x f x ⎧=⎨=⎩'，即012011e 1ln (1)e xx ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，于是1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e1x x x x x -=-，因为当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故10220101(1)e1x x x x x x --<=-，两边分别取对数，得1020lne ln x x x -<，于是10002ln 2(1)x x x x -<<-，整理得：0132x x ->.题七：（1）当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递减；当2a >时，()f x在(0,2a ，()2a +∞单调递减，在单调递增；（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121212121212()()ln ln 11ln ln 2f x f x x x ax x x x x x x x ax x --=--+---=-+-2222ln 21x ax x -=-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(1,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--.8.(1)证明：设()()cos sin 1g x f x x x x ==+-'，()cos g x x x ='，当(0,)2x π∈时，()0g x >'；当(,)2x π∈π时，()0g x <'，所以()g x 在(0,)2π上单调递增；在(,)2ππ上单调递减，又因为(0)0g =，()02g π>， ()2g π=-，故()g x 在(0,)π存在唯一零点.所以()f x '在(0,)π存在唯一零点；(2) (,0]-∞.9.(1)证明：()f x 的定义域为(0,)+∞,11()ln 1ln x f x x x x x-=+-=-'；令1()ln g x x x =-，211()0g x x x=+>'恒成立，所以()f x '单调递增，又(1)10f =-<'，1ln 41(2)ln 2022f -=-=>'，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得0()0f x ='，又当0x x <时，()0f x <'，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x >'，()f x 单调递增，因此()f x 存在唯一的极值点；(2)证明：由(1)知，0()(1)2f x f <=-，又22(e )e 30f =->，所以()0f x = 在0(,)x +∞内存在唯一根x α=，由01x α>>得011x α<<，又1111()()(1)ln10f f αααααα=---==，又因为()f x 在0(0,)x 上单调递减，故1α是()0f x =在0(0,)x 的唯一根，综上()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.。

2019版高考数学理全国一轮复习规范答题强化练一函数与导数含解析精品

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规范答题强化练(一)函数与导数(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x+x2-x, g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值.(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F′(x)=e x-2.(1分)令F′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F′(x)=e x-2<0,得x<ln 2,所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,所以l的方程为y=1.依题意,g′(x)=2x+a,g′(1)=2+a=0,所以-错误！未找到引用源。

=1, c=1.于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h′(x)=e x-(a+1).(6分)①当a+1≤0时,因为h′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;(7分)若a+1<0,取x0<0且x0<错误！未找到引用源。

,此时h(x0)=错误！未找到引用源。

-(a+1)x0-b<1-(a+1)错误！未找到引用源。

-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h′(x)=0,得x=ln (a+1).由h′(x)>0,得x>ln (a+1);由h′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在(ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min=(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b≥0”成立.所以b≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G′(x)=1-ln x.令G′(x)=0,得x=e.由G′(x)>0,得0<x<e;由G′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,当x=e时, G(x)max=e-1.从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.综上, a+b的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x+x2-xln a-b(a, b∈R, a>1),e是自然对数的底数.(1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数.(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x+x2-x-4,所以f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分) 当x<0时, e x<1,所以f′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分) f(1)=e-4<0, f(2)= e2-2>0,所以存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=错误！未找到引用源。

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf

训练　函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D　[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A　[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B　[函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B　[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析　由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值．答案　9 7．解析　f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)．答案　(－3,1) 8．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案　(－4,0) 9．解　由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解　(1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1；当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2，所以函数f(x)的值域为[1,2]．据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点；并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解　f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．则当0＜t＜t＋2＜时，t无解；当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－；当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增．所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解　2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明　问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)．由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2019高考数学二轮复习第二部分专题一函数与导数不等式专题强化练四导数与函数的单调性极值与最值理

专题强化练四导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．曲线y ＝e x＋2x 在点(0，1)处的切线方程为() A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x －1 C ．y ＝3x ＋1 D ．y ＝－x ＋1解析：求导函数得y ′＝e x ＋2，当x ＝0时，y ′＝e 0＋2＝3，所以曲线y ＝e x＋2x 在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.答案：C2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为()解析：法一易知函数y ＝－x 4＋x 2＋2为偶函数，所以只需研究y ＝－x 4＋x 2＋2在x ＞0时的图象与性质．又y ′＝－4x 3＋2x (x ＞0)，令y ′＞0，得0＜x ＜22；令y ′＜0，得x ＞22所以y ＝－x 4＋x 2＋2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上递减．因此选项D 满足．法二令x ＝0，则y ＝2，排除A ，B ；令x ＝12，则y ＝－116＋14＋2＝316＋2＞2，排除C.答案：D3．(2018·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[]a －1，a ＋1上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．(1，2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0，3]解析：易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x.由f ′(x )＝x －9x＜0，解得0＜x ＜3.因为f (x )＝12x 2－9ln x 在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.答案：A4．(2018·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为()A ．2e －1B ．－1eC ．1D ．2ln 2解析：由题意知f ′(x )＝2ef′（e ）x －1e，所以f ′(e)＝2ef′（e ）e －1e ，f ′(e)＝1e，所以f ′(x )＝2x －1e，令f ′(x )＝0，得x ＝2e ，当x ∈(0，2e)时，f ′(x )＞0，当x ∈(2e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减，所以f (x )的极大值为f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 答案：D5．(2018·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为()A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数解析：f ′(x )＝(x ＋2)e x－(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x－3x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x＝3x ＋2.易知x ＝－2是f (x )的一个极值点．又e x＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x与y ＝3x ＋2有两个交点，又e －2≠3(－2)＋2＝－4.所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．答案：C二、填空题6．(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________．解析：因为f ′(x )＝e x ·1x＋e x ln x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x .所以f ′(1)＝e(1＋ln 1)＝e.答案：e7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点O (0，0)处的切线方程为________．解析：由于y ′＝2x ＋1，所以k ＝y ′|x ＝0＝20＋1＝2，所以切线方程为y ＝2x .答案：y ＝2x8．(2017·山东卷改编)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是________(填序号)．①f (x )＝2－x;②f (x )＝x 2；③f (x )＝3－x;④f (x )＝cos x .解析：若f (x )具有性质M ，则[e xf (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]＞0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )＞0在f (x )的定义域上恒成立．对于①式，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)＞0，符合题意．经验证，②③④均不符合题意；只有①f (x )＝2－x具有M 性质．答案：① 三、解答题9．已知函数f (x )＝e xcos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x·cos x －x ，所以f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0，所以y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2sin x ·e x≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立，。

高考数学二轮复习函数的新定义问题

专题强化练
考点一
特征函数
考向1 高斯函数
例1 (2022·长治模拟)已知函数f(x)＝x－[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]＝1，[－0.5]＝－1)，则以下关于f(x)的性质说法错误的是
√A.f(x)是R上的增函数
B.f(x)是周期函数 C.f(x)是非奇非偶函数 D.f(x)的值域是[0,1)
√D.任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
因为 f(x)＝10，，xx为为有无理理数数，，所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确.
2an1an ≠常数，
故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；
对于③，ffaan＋n1＝|a|an＋n|1|＝aan＋n 1＝|q|，
故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；
对于④，ffaan＋n1＝lnln|a|an＋n|1|＝lnln|a|an·nq| | ＝ln|alnn|＋|anl|n|q|＝1＋llnn||aqn||≠常数，故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”.
跟踪演练2 (1)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新不动点”，给
出下列函数： ①g(x)＝ 1 x2；②g(x)＝－ex－2x；
2 ③g(x)＝ln x；④g(x)＝sin x＋2cos x.

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专题强化练三不等式一、选择题1．(2018·湖南衡阳第一次联考)若a 、b 、c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2＜bc 2B.1a ＜1bC.b a ＞a bD ．a 2＞ab ＞b 2解析：若c ＝0，则A 不成立；1a －1b ＝b －a ab ＞0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab＜0，选项C 错．由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ，且ab ＞b 2，从而a 2＞ab ＞b 2，D 正确．答案：D2．(2018·合肥模拟)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则使f (a )＋1≥f (a ＋1)成立的a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞－2)∪(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：f (a )＋1≥f (a ＋1)⇔1－a 1＋a ＋1≥－aa ＋2，从而a 2＋3a ＋4（a ＋1）（a ＋2）≥0.因为a 2＋3a ＋4＞0对一切a ∈R 恒成立，所以原不等式等价于(a ＋1)(a ＋2)＞0，解得a ＜－2或a ＞－1. 故所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．答案：C3．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0，的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]D ．(－∞，8]解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线y ＝－2x 并平移，过点A 时，y ＝－2x ＋z ，在y 轴上的截距最小．又A (1，4)，则z min ＝2×1＋4＝6. 所以a ≤6，即a 的取值范围是(－∞，6]．答案：C4．(2018·长郡中学联考)当0＜m ＜12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[－2，0)∪(0，4]B ．[－4，0)∪(0，2]C ．[－4，2]D ．[－2，4]解析：易得1m ＋21－2m ＝1m （1－2m ），且0＜m ＜12.又m (1－2m )＝12·2m (1－2m )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋（1－2m ）22＝18. 当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取“＝”，所以1m ＋21－2m ＝1m （1－2m ）≥8.要使原不等式恒成立，只需k 2－2k ≤8，解得－2≤k ≤4. 答案：D5．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，得A (3，－1)．由图形知，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10. 答案：C6．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0.答案：A 二、填空题7．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点(2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，故z max ＝2＋13×3＝3.答案：38．(2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x ＞0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．解析：当－3≤x ≤0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为x 2＋2x ＋a －2≤－x 恒成立，即a ≤－x 2－3x ＋2恒成立，所以a ≤(－x 2－3x ＋2)min ＝2；当x ＞0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为－x 2＋2x －2a ≤x 恒成立，即a ≥－x 2＋x 2恒成立，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋x 2max ＝18.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 9．在平面直角坐标系xOy 中，M (a ，b )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0所表示的区域上任意动点，则b －1a －4的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则M (a ，b )在△AEF 内(含边界)．易知b －1a －4表示点M 与点B (4，1)连线的斜率，当点M 与点A 重合时，k AB 取最大值．又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9.解得点A (3，－1)，所以b －1a －4的最大值为k AB ＝1－（－1）4－3＝2. 答案：210．设满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，的实数x ，y 所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是________．解析：作出不等式组表示的平面区域Ω，如图中阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO (含内部及边界)．易知BC ⊥AB ，则外接圆的圆心为AC 的中点，又A (0，6)，C (2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r ＝12|AC |＝10，故所求外接圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1011．(2018·河南八校质检)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值是________．解析：因为a 3＝7，a 9＝19，所以公差d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12[(n ＋1)＋9n ＋1]≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3. 当且仅当n ＋1＝9n ＋1即n ＝2时取等号．故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 答案：3 三、解答题12．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。