26.1.1二次函数

y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 也叫二次函数的一般形式
注意：Biblioteka （1）等号左边是变量y，右边是关于自 变量x的 整式。 （2）a,b,c为常数，且 a≠0. （3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没 有一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
1.说出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数、常数项. （1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2.指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
例1.下列函数中，哪些是二次函数？ 若是,分别指出二次项系数,一次项系数, 常数项。
(1) y=3(x－1)² +1 (3) s=3－2t²
1 __
(2) y=x+ x (4) y=(x+3)² －x²
26.1.1二次函数
回顾
什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y， 当变量x在某个范围内取一个确定的值， 另一个变量y总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们 把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x 的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
y=kx+b (k≠0)
一次函数 正比例函数y=kx (k≠0)
3、下列函数中，（x是自变量），是二 次函数的有( C ) A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1 C y=x2 D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数 的条件是( C ) A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数
m=2/3 n=2/3
m=2/3
n=-4/3
1 d n n 3 2
M
N
1 2 3 即 d n n② 2 2
观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
1 n2 3 n② d 2 2
y 20x 40x 20③
2
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其 中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫 做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
函 数
反比例函数
y=k/x (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
投掷过程中的篮球
问题1: 正方体的六个面是全等的正方 形,设正方形的棱长为x,表面积为y, 它们 的具体关系可以表示为 y=6x2①
问题2: 多边形对角线条数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它 有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点 不相邻的各顶点,可以作 (n-3)条对角线.
1 __
(5) y= x² －x
(6) v=8πr²
例2.m取何值时，函数y= (m+1)x
+(m-3)x+m是二次函数？ 解:由题意得 m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
m 2 2m 1
函数y ax bx c(其中a, c是常数)， b,
2
当a, c满足什么条件时 b, （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠 墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为 xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的 函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： y=x(40-2x) x m
即：y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
y m2
x m
＝192（m2）
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自 变量的二次函数，求m、n的值。
2m+n=2
∵ ⑤ ∵
2m+n=2② ① ∵ m-n=1
∴
2m+n=1③ ∵ m-n=2
∴
∵
2m+n=2
④
2m+n=0
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
m=4/3 n=-2/3
（3）当m2－7=2且m+3≠0即m=3
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球 队数 n 之间的关系式.
1 m nn 1 2
即
1 2 1 m n n 2 2
解：（1）a 0
(2)a 0, 0 b
(3)a 0,b 0,c 0
m2-7 y=（m+3）x
（1）m取什么值时，函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，函数是反比例函数？
（3）m取什么值时，函数是二次函数？
解:（1）当m2－7=1且m+3≠0即m=±2 2
（2）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6