江西省六校2010—2011学年度高三年级3月联考

江西省六校2010—2011学年度高三年级3月联考数学（理）试题试卷总分：150分 考试时间：120分钟第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡上 1.311ii -- =A .iB .i -C .i 22.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程是A .()1222=-+y x B .()1222=++y xC .()1322=-+y x D .()1322=++y x3.已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为060， 则该圆锥的表面积．．．等于 A .π B . π2 C . π3 D .π44.右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程 序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不 低于90分的同学的频率是 A .0.28 B .0.38C .0.72D .0.625.若212sin sin 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a π，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos πaA .81 B .87 C .41 D .436.已知0>t ，若6)12(0=⎰-dx x t，则t 的值等于A .2B .3C .6D .87.已知nx x ⎪⎭⎫⎝⎛+12的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为A .5B .10C .20D .408.已知函数)24tan(ππ-=x y 的部分图像如右图所示，则AB OB ⋅= A .1 B .2C .3D .49.已知O 为坐标原点，双曲线()0,012222>>=-b a by ax的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于 异于原点O 的点P ，若0)(=⋅+OF PF PO ，则双曲线 的离心率e = A .2B . 3C .2D .310.已知()31+=mx x g ，()x xx f -=33，若对任意的[]2,11-∈x ，总存在[]2,12-∈x ，使得()()21x f x g =，则m 的取值范围是第II 卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上。

11.设△ABC 的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且c A b B a 53cos cos =-，则BA tan tan 的值为 .12.高三毕业时，甲.乙.丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲.乙二人相邻，则甲.丙二人相邻的概率是 . 13.已知三棱锥S A B C -每条棱长均为1，若空间一点P 满足： SC z SB y SA x SM ++=，其中1=++z y x ，则SM 的最小值为 . 14.设函数()()xx x f 21ln -+=的零点为0x ，若0x ()1,+∈k k ，k 为整数，则k 的值等于 .15.考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分. A .（不等式选做题）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 .B .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为3)6sin(=-πθρ，第8题图极坐标为)3,2(π的点A 到直线l 上点的距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11=a ，且1l o g l o g 212+=+n n a a ，数列{}n n a b -是等差数列，首项为1，公差为2,其中*∈N n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .17.（本小题满分12分）已知函数()a x a x x f -+=2cos22sin 3在6π=x 处取到极值.(1)当20π≤≤x 时，求函数()x f 的最小值；(2)若函数()ϕ+=x f y ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πϕ的图像关于原点对称，求ϕ的值.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ,ABCD 是矩形，1==AB PA ，直线PD 与底面A B C D 所成的角等于30°,FB PF =，BC BE λ=()10<<λ.(1)若EF ∥平面PAC ，求λ的值；(2)当BE 等于何值时，二面角A DE P --的大小为45°？19.（本小题满分12分）小明打算从A 组和B 组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛。

已知小明选择A 组动作的概率是选择B 组动作的概率的3倍，若小明选择A 组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择B 组动作则一定能正常发挥并获得8分。

据平时训练成绩统计，小明能正常发挥A 组动作的概率是0.8. (1)求小明选择A 组动作的概率；APDBEF(2)设x 表示小明比赛时获得的分数，求x 的期望.20.（本小题满分13分）已知函数x e x x x f ⋅+-=)33()(2的定义域为[]()N t t ∈-,2，设()n t f m f ==-)(,2.(1)若函数()x f 在[]t ,2-上为单调函数，求t 的值； (2)求证：m n >；(3)当t 取哪些值时，方程())(R m m x f ∈=在[]t ,2-上有三个不相等的实数根？并求出相应的实数m 的取值范围.21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系XOY 中，已知定点),0(a A ,),0(a B -，M ,N是x 轴上两个不同的动点，且)0,(42≠∈=⋅a R a a ON OM ，直线AM 与直线BN 交于C 点.(1)求点C 的轨迹方程；(2)若存在过点)1,0(-且不与坐标轴垂直的直线l 与点C 的轨迹交于不同的两点E .F ，且AF AE =，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、4 12、41 13、36 14、-1或1 15、 A.4≥a 或1-≤a B.2三、解答题：本大题共6小题，满分75分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16、解：（1）由题可得：21=+nn a a ，∴ 数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列。

∴12-=n n a .……………………………………6分（2）由题知：122,121-+=⇒-=--n b n a b n n n n ，∴()()1221212221212-+=-+++⋅⋅⋅+++=-nnn S nn n .…………12分17、解：（1）()x f '=x a x 2sin 22cos 32-由06=⎪⎭⎫⎝⎛'πf 得1=a ……………………………3分 ∴()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx x f ，当20π≤≤x 时，67626πππ≤+≤x ， ∴()x f 的最小值等于1-.…………………………………6分(2)由题知()x f 为奇函数，∴()()ϕϕ+-=+-x f x f 恒成立。

即⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-622sin 622sin πϕπϕx x 展开得：062sin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅πϕx ，………………………8分∴Z k k ∈=+,62ππϕ，………………10分∴125πϕ=…………………………12分18、解：（1）∵平面PBC 平面PAC=AC ，EF ⊆平面PBC ，若EF ∥平面PAC ，则EF ∥PC ，又F 是PB 的中点，∴E 为BC 的中点，∴21=λ…………………5分(2)以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），B （0，1，0），F （0，21，21），D （3，0，0）, 设a BE =，则E （a ，1，0）平面PDE 的法向量=1n （)3,3,1a -，平面ADE 的法向量()1,0,02=n ，22=⋅n n ，(),2233132=+-+⇒a解得23-=a 或23+=a （舍去）,∴当BE=23-时，二面角A DE P --的大小为45°………………………12分19、解：（1）设小明选择A 组动作的概率为P （A ），选择B 组动作的概率为P(B)， 由题知P(A)=3P(B),P(A)+P(B)=1，解得P(A)=0.75…………………………5分 （2）由题知x 的取值为6,8,10.P ()6=x =0.75×0.2=0.15, P ()8=x =0.25, P ()10=x =0.75×0.8=0.6, (10)分 其分布列为故Ex =8.9………………………………………………………………………12分20、解：(1)())(,)1(x f e x x x f x∴-=' 在()),1(,0,+∞∞-上递增，在()1,0上递减，所以,0≤t 又∵N t ∈，故0=t 。

………………………4分(2)因为f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝e.又f (－2)＝13e2<e ，所以f (x )定在x ＝－2处取得最小值，从而当t N ∈时，f (－2)<f (t )，即m <n …………………………………8分 (3)由(1)知f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，故当t ＝0或t ＝1时，方程f (x )－m ＝0在[－2，t ]最多只有两个实数根，所以t ≥2， 且t ∈N …………………………………………………10分当t ≥2，且t ∈N 时，方程f (x )－m ＝0在[－2，t ]上有三个不等实根， 只需满足m ∈(m ax (f (－2)，f (1))，min(f (0)，f (t )))即可.因为f (－2)＝13e2，f (0)＝3，f (1)＝e ，f (2)＝e 2，且f (t )≥f (2)＝e 2>3＝f (0)，因而f (－2)<f (1)<f (0)<f (2)≤f (t )， 所以f (1)<m <f (0)，即e<m <3，即实数m 的取值范围是(e,3)………………………………………………13分 21、解：（1）设点)0,(),0,(),,(n N m M y x C .由M C A ,,三点共线得：xay m a-=-由N C B ,,三点共线得：xay n a +=以上两式相乘得：2222xa y mna-=-，又∵24a ON OM =⋅得24a mn =，化简得C 点轨迹方程为：)0(44222≠=+x a y x …………………………6分 (2)设直线l 方程为：),(),,(),0(12211y x F y x E k kx y ≠-=， 联立⎩⎨⎧=+-=222441ay x kx y 得()044841222=-+-+a kx x k ， 由0)44)(41(464222>-+-=∆a k k 得014222>-+a k a .(1)…………8分 由AF AE =得=-+2121)(a y x 2222)(a y x -+，()k ax x k x x -=--++⇒222121，化简得aa k432-=.(2)……………………11分∵,02>k ∴30<<a .把（2）代入（1）并化简得31>a ，∴331<<a ……………………………………………14分。