对称模型的最值问题-含答案

对称模型的最值问题
【母题示例】
如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．
【命题形式】
以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题．
【母题剖析】
要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解．
【母题解读】
(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点．
(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”
等．
模型一同侧和的最小值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．
【基本图形】
基本
图形
说明
作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当
点P在线段A′B上时取最小值
基本
图形
说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号
【模型突破】
1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．
模型二异侧差的最大值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA－PB|)的最大值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再作过另一定点与该点的直线(如直线A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．
【基本图形】
基本 图形
说明
作A 、A ′关于直线l 对称，则|PA －PB|＝PA ′－PB ≤A ′
B ，当点P 在直线A ′B 上时取最大值
【模型突破】
1．如图，等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________．
2．如图，抛物线y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(4，0)两点，与y 轴交于点
C(0，2)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标．
模型三角内一定点模型
【模型解读】已知一个角和角内一个定点，在角的两边上各取一点，使得这三点构成的三角形周长最小．只需过定点分别作其关于角的两边的对称点，两对称点之间的线段即为所求．
【基本图形】
基本
图形
说明
点P′与点P关于OA对称，点P″与点P关于OB对称，
连接P′P″与OA，OB分别交于点M，N，此时△PMN的周
长最小，最小值为P′P″
【模型突破】
1．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN的周长的最小值是( )
A.
36
2
B.
33
2
C．6 D．3
2．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.OC上点P的坐标为(0，1)，动点S，K分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PS，PK，SK，求△PSK的周长的最小值．
参考答案
【核心母题剖析】
解：如解图，连接BD，PD.
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AC垂直平分BD，
∵点P在AC上，∴PB＝PD，
∴PB＋PE＝PD＋PE，
∴当点P为ED与AC的交点时，PE＋PB最小，最小值为DE. ∵四边形ABCD是正方形，且AD＝2，点E是AB的中点，
∴AE＝1，∠EAD＝90°，
∴由勾股定理得DE＝AE2＋AD2＝5，
即PE＋PB的最小值为 5.
【核心归纳突破】
模型一、同侧和的最小值模型
1．B 2.7
3．(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°，E为AB边的中点，
∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 是等边三角形，
∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝∠DBC＝120°， ∴△ADE≌△CDB.
(2)解：如解图，作点B 关于AC 的对称点B′，连接EB′交AC 于点H ，连接BH ，则点H 即为满足题意的点． 连接CE ，则△CBE 是等边三角形， ∴CE＝CB ＝CB′，∴∠BEB′＝90°， ∴BH ＋EH 的最小值＝EB′＝BB′2－BE 2＝3. 模型二、异侧差的最大值模型
1．4 【解析】如图，作点B 关于CD 的对称点E ，连接AE 并延长交CD 的延长线于P ，连接CE ，BP ，则PE ＝PB ，PA －PB ＝PA －PE ＝AE ，即|PA －PB|的最大值为AE.∵∠BCP＝15°，点E 与点B 关于CP 对称，∴∠BCE＝2∠BCP＝30°，
CE ＝BC.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝60°，∵AC＝BC ，∴AC＝CE ，∴△ACE 是等边三角形，∴AE＝4，即|PA －PB|的最大值为4.
2．解：(1)将点B(4，0)，C(0，2)代入抛物线的函数解析式得 ⎩⎪⎨
⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，
c ＝2，
∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋3
2x ＋2.
(2)令y ＝－12x 2＋3
2x ＋2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，
∴点A 的坐标为(－1，0)，∵点C 的坐标为(0，2)， ∴直线AC 的函数解析式为y ＝2x ＋2. 如解图，连接AC ，
易得抛物线对称轴为直线x ＝3
2，
延长AC 交直线x ＝3
2
于点P ，连接PB ，
此时|PB －PC|＝PA －PC ＝AC 为|PB －PC|的最大值， ∴y P ＝2×3
2＋2＝5，
∴点P 的坐标为(3
2，5)．
模型三、角内一定点模型
1．D 【解析】分别以OA ，OB 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，OP 1，OP 2，P 1P 2分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长的最小值为P 1P 2的长，根据轴对称的性质可知，OP 1＝OP 2＝OP ＝3，∠P 1OP 2＝120°，
∠OP 1M ＝30°，过点O 作MN 的垂线，垂足为Q ，在△OP 1Q 中，可知P 1Q ＝3
2
，∴P 1P 2
＝2P1Q＝3，故△PMN的周长的最小值为3.
2．解：令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，
令x＝0，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
如解图，取点P关于x轴的对称点P′(0，－1)，点P关
于直线BC的对称点P″，则P″的坐标为(2，3)，连接
P′P″，分别交线段BC于S，交线段OB于K，此时△PSK
的周长最小，即为线段P′P″的长．
∴△PSK的周长的最小值为22＋（3＋1）2＝2 5.。