轴对称相关最值问题

与轴对称有关的最值问题【典型题型一】：如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。

APD BEC图（5）【典型题型二】如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。

【练习】 1、( 温州中考题 ) 如图（ 5），在菱形 ABCD中，AB=4a,E 在 BC上，EC=2a，∠ BAD=1200, 点 P 在 BD上，则 PE+PC 的最小值是（）解：如图（ 6），由于菱形是轴对称图形，因此 BC中点 E 对于对角线 BD的对称点 E 必定落在 AB的中点 E1，只需连结 CE1，CE1 即为 PC+PE的最小值。

这时三角形 CBE1 是含有 30 角的直角三角形， PC+PE=C1E=23 a 。

因此选（ D）。

2、如图（ 13），一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋 B 西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家，他可以达成这件事所走的最短距离是（）（A） 4+ 185 英里（B） 16 英里（C） 17 英里（D） 18 英里3．如图， C为线段 BD上一动点，分别过点 B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD，连结 AC、EC。

已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.请问点 C知足什么条件时， AC＋CE的值最小 ?ＡＣ' 4．如图，在△ ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， D是 BC边的中点， E是 AB边上一动点，则 EC＋ED的最小值为 _______。

E即是在直线 AB上作一点 E，使 EC+ED最小作点 C对于直线 AB的对称点 C' ，连结 DC'交AB E DC' EC+ED DBC' DB=1 BC=2 于点，则线段的长就是的最小值。

在直角△中，，依据勾股定理可得， DC'= 55．如图，等腰 Rt△ABC的直角边长为 2，E是斜边 AB的中点， P 是 AC边ＣＢD Ａ上的一动点，则 PB+PE的最小值为E 即在 AC上作一点 P，使 PB+PE最小P作点 B对于 AC的对称点 B' ，连结 B'E，交 AC于点 P，则 B'E = PB'+PE = PB+PEB'E 的长就是 PB+PE的最小值B' ＣＢF在直角△ B'EF 中，EF = 1 ，B'F = 3 依据勾股定理， B'E = 10A D6．如下图，正方形 ABCD的面积为 12，△ ABE是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，E 在对角线 AC上有一点 P，使 PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）P A．2 3 B．2 6 C．3 D． 6B C即在 AC上求一点 P，使 PE+PD的值最小点 D对于直线 AC的对称点是点 B，连结 BE交 AC于点 P，则 BE = PB+PE= PD+PE，BE的长就是 PD+PE的最小值 BE = AB = 2 37．如图，若四边形 ABCD是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm，E 为边 BC上的一个动点， P 为C'BD上的一个动点，求 PC+PD的最小值；A D作点 C对于 BD的对称点 C' ，过点 C'，作 C'B⊥BC，交 BD于点 P，则 C'E 就是 PE+PC的最小20值直角△ BCD中，CH= 错误！不决义书签。

直角△ BCH中，BH= 8 5 △BCC'的面积为：5 PHBH× CH = 160B CE 因此 C'E × BC = 2 × 160 则 CE' = 16A8．如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；点 C 对于 BD 的对称点是点 A ，过点 A 作 AE ⊥BC ，交 BD 于点 P ，则 AE 就是 PE+PC 的BPD最小值在等腰△ EAB 中，求得 AE 的长为 5 29．如图， MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN ＝30° ，B 为 A N 弧的中ECA点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为 ( )BA 2 2B 2C 1D 2即在 MN 上求一点 P ，使 PA+PB 的值最小作点 A 对于 MN 的对称点 A' ，连结 A'B ，交 MN 于MN PO点 P ，则点 P 就是所要作的点 A'B 的长就是 PA+PB 的最小值 连结 OA'、O B ，则△ OA'B 是等腰直角三角形因此 A'B = 2A'10 如图，一次函数 y = 1 2 x 与反比率函数 y =k x交于点 A ，AM ⊥x 轴于点 M ，S △OAM= 1(1) 求 k 的值，k x(2) 点 B 为双曲线 y=上不与 A 重合的一点，且 B(1，n) ，在 x 轴上求一点 P ，使 PA+PB 最小 ( 1) 由 S △OAM = 1 知， k = 2(2) 作点 A 对于 x 轴的对称点 A ’，连结 A ’B ，交 x 轴于点 P ，连结 PA ，则 PA+PB 最小。

用待定系数法求直线 A ’B 的分析式为 y = - 3x + 5 ， 由于点 P 在 x 轴上，因此设 y = 0 ，即 0 = - 3x + 5 ， 解得 x = 5 3 因此 P( 5 3，0)11．如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角均分线．（1）由图察看易知 A （0，2）对于直线 l 的对称 点 A ′的坐标为（ 2，0），请在图中分别注明 B （5，3）、C （－2，5）对于直线 l 的对称点 B ′、C ′的地点，并写出他 们的坐标： B ′、C ′；（2）联合图形察看以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P （a ，b ）对于第一、三象限的角均分线 l 的对 称点 P ′的坐标为（不用证明）；（3）已知两点 D （1，－3）、E （－ 1，－4），试在直线 l 上确立一点 Q ，使点 Q 到 D 、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标．yB'(1) 点 B(5，3) 、C(-2 ，5) 对于直线 l 的对称点 B'(3 ，5) 、C'(5 ，-2)Cl(2) 坐标平面内任一点 P(a ，b) 对于直线 l 的对称点 P' 的坐标为 (b ，a)(3) 作点 E 对于直线 l 的对称点 E' ，连结 DE'，交直线 l 于点 QA B则 QE+QD 的值最小设直线 DE'的分析式为： y = kx+b ，由于 D(1，-3) 、E'(-4,-1) ，O x则-3 = k+b-1 = -4k+b 2 5 ，b = - 13 5 因此 y =-2 5 x - 13 5 E ' QA '解得： k = -C'当 x = y 时，有 x = y = - 137则 Q点的坐标为 (-137，-137)ED【典型题型三】：如图，点 P是∠MON内的一点，分别在 OM，ON上作点 A，B。

使△ PAB的周长最小12、如图（ 9），∠AOB=45，角内有一点 P，PO=10，在角两边上有两点 Q、R（均不一样于点 O），则①△PQR的周长最小值是 ____________。

②当Δ PQR周长最小时，∠ QPR的度数 =_________。

（答案： 90）APOB图（9）【典型题型四】求线段差的最大值：如下图，已知直线 MN与 MN异侧两点 A、B，在 MN上求作一点 P，使 PA－PB最大，并说明原因。

13. 如图，两点 A，B 在直线 MN的同侧， A 到 MN的距离 AC=8，B到 MN的距离 BD=6，CD=4，P 在直线 MN上运动，则的最大值为 ( c )A. B. C. D.14. 如图，已知两点 A，B在直线 l 的异侧， A到直线 l 的距离 AC=6，B 到直线 l 的距离BD=2，CD=3，点 P 在直线 l 上运动，则的最大值为 ( d )A.15. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，1），B（3，-4 ），在 x 轴上有一点 P，当的值最大时，点 P 的坐标是 ( b )A. B. （-1 ，0） C. （0，0） D. （3，0）16、在直角坐标系中， X 轴上的动点 M（X，0）到定点 P（5，5）和到 Q（2，1）的距离分别为 MP和 MQ，那么当 MP+MQ 取最小值时，点 M的横坐标 X=_ ___. （你能求出当 MP-MQ最大时点 M的横坐标 X= ？ )【典型题型四】B' BAP Q P' Q'A'17. 如图，已知 A（1，3），B（5，1），长度为 2 的线段 PQ在 x 轴上平行挪动，当AP+PQ+QB的值最小时，点 P 的坐标为 ( b )A. B. C.（1，0） D. （5，0）18. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB的极点 O在座标原点，极点 A，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D为边 OB的中点．若 E，F 为边 OA上的两个动点，且 EF=2，则当四边形 CDEF的周长最小时，点 F 的坐标为 ( b )A. B. C.（2，0） D. （3，0）19. 如图，当四边形 PABN的周长最小时， a 的值为 ( a )A. D.20 如图，矩形 ABCD中，AB=4，BC=8，E 为 CD边的中点，点 P、Q为 BC边上两个动点，且 PQ=2，当 BP=( ) 时，四边形 APQE的周长最小．21. 已知 A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上建筑一座桥 MN，使从 A 到 B的路径 AM-MN-NB最短，则应依据以下哪种方式来建筑（假设河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直） ( D )A. B. C. D.22．如图，乡村 A、B位于一条小河的双侧，若河岸 a、b 相互平行，此刻要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B村的行程近来？2*逆向思想 23．如图，已知点A(-4 ，8) 和点B(2 ，n) 在抛物线 y = ax上．(1) 求a 的值及点B对于x 轴对称点P的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得AQ+Q B最y短，求出点Q的坐标；2(2) 平移抛物线 y = ax ，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2 ，A0) 和点D(-4 ，0) 是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个地点时，A′C+C B′最短，求此时抛物线的函数分析式；②当抛物线向左或向右平移时，能否存在某个地点，使四边形A′B′CD的周长最短？B若存在，求出此时抛物线的函数分析式；若不存在，请说明原因．x (1) 直线 AP的分析式为： y = -(2) CQ = |- 2 - ①解法一：4553| =x +14543则抛物线y=则 Q的坐标为（12x452，0）向左挪动145个单位时，OQPA’C+B’C最短抛物线的分析式为： y = 12145（x+）2(2) ②抛物线向左或向右平移时，使四边形A′B′CD的周长最短，由于 A’B’ + CD 是定值，只需使 A’D + B’C最短即可当抛物线向右挪动时，由于 A’D > AD，B’C > BC，因此 A’D + B ’C > AD + BC ，则在不存在一个向右的地点，使四边形A′B′CD的周长最短当抛物线向左挪动时，设 A’(-4-a ，8) ，B’(2-a ，2) ，由于 CD = 2，则将点 B’向左平移 2 个单位获得点 B’’(-a ，2).点 A’对于 x 轴的对称点是 A’’(-4-a ，-8) ，直线 A’’B’’的分析式为： y = 52x +52m + 2要使 A’D + B’’D最短，点 D应在直线 A’’B’’大将点 D(-4 ，0) 的坐标代入到直线 A’’ B’’的分析式，得 m =16 5 故将抛物线向左平移时，否存在一个地点，使四边形A′B′C D的周长最短，抛物线函数分析式为 y =12(x+165) 2【典型题型五】如图，直线l 、l2 订交，两个固定点A、B ，分别在l1 、l21上确立两点M 、N ，使得BM MN AN 之和最小。