「初中数学」利用对称求线段和最值
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
中考数学之 线段和(差)的最值问题
求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短 一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nm Annnm二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nm nm nmmmmm三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’Bmmmmm Q。
初中数学几何最值专题50：轴对称最值(最全修正版)
蚂蚁行程【例题精讲】例1、如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是。
解析提示：总结：例2、如图，在四边形ABDE中，C是BD的中点，BD＝8，AB＝2，DE＝8．若∠ACE＝150°，则线段AE长度的最大值为。
解析提示总结：例3、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，沿EF所在直线折叠△BEF，使点B的对应点B'始终落在边CD上，则点A，E间的距离d的取值范围是。
解析提示：总结：针对训练1、如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是。
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，BP的取值范围是。
3、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝12，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是。
4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是。
5、折叠纸片，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与AD，BC相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与BC，AD相交于点E，F，则线段CE的取值范围是。
6、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，∠DAB＝60°，点E，F分别是边AD、AB上的动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点A'落在边CD上，则BF的取值范围。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
利用轴对称性质求几何最值
利用轴对称性质求几何最值————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中,为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：(1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边;(3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征:已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置,使动点与定点线段和最短。
核心思路:这类最值问题所求的线段和中只有一个动点,解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点,连结这个对称点与另一定点，交直线于一点,交点即为动点满足最值的位置。
变异类型:实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形,比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形,即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
１. 如图，等边△AＢC的边长为6,AD是ＢＣ边上的中线,M是AＤ上的动点,E是AC边上一点，若AE=2，ＥM+CM的最小值为()Ａ．4 B.8 C.Ｄ.2.如图,等边△ABC的边长为４，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点,E是ＡC边上一点,若ＡE＝2,当EF＋ＣF取得最小值时，则∠EＣＦ的度数为（）A．1５°Ｂ.2２.5° C.30° D. 45°3.如图,Ｒt△AＢC中，AC=BC=4,点D,E分别是AＢ,AC的中点，在CD上找一点Ｐ,使ＰA+PE 最小，则这个最小值是__＿__＿______＿.4.(2006•河南）如图，在△ＡBC中，AC=ＢC=2，∠ＡCB=90°,D是BC边的中点，E是AB 边上一动点，则EC+ED的最小值是＿_＿＿＿__＿＿＿＿＿_.5．如图,在正方形ABCＤ中,E是AB上一点，ＢE=2,AE＝3BＥ,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是( ）A.Ｂ．C． D. 106..（2０09•抚顺）如图所示,正方形AＢCD的面积为12,△ＡBE是等边三角形，点Ｅ在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点Ｐ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( ）A．2√3 B. 2√6Ｃ．３Ｄ. √６（2）一点两线的最值问题：（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间,分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
利用轴对称解决最值问题
九年级数学专题复习利用轴对称解决最值问题学案学习目标：1.借助中考真题的探究,掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决图形几何最值问题的思考方向、思路方法,并感受体验其解题策略；2.体验变化中寻找不变性的数学思想方法, 能将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破.学习重难点：1.借助相关概念、图形性质、定理,探寻几何图形最值问题中化归与转化的关键.2.知识溯源，借助中考真题的研究，从知识转化角度，掌握处理最值问题的基本知识源，归纳总结其解题策略.教学过程：一、真题探究真题示例1（2016•福建龙岩）如图1，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4【基本模型（一）】变式1：正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________变式2：在等边三角形ABC 中，AB ＝4，点E 是AB 的中AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小 .变式3：已知二次函数的图象与坐标轴交于点 A （-1， 0）点B （0，-5）和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使 的周长最小，求出点P 的坐标。
（1） （2） （3）(图1) c x ax y +-=42PAB ∆N M D C B A真题示例2（2016•四川内江）如图2所示，已知点C(1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．【基本模型（二）】变式：45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR△周长的最小值为_________．真题示例3（2012•浙江宁波）如图4，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 .【基本模型（三）】变式：如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4, BC=5,P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为 .(图3) (图2)【拓展延伸】如图，在等边三角形ABC 中，AB=4，点D 、P 、E 分别为边BC 、AB 、AC 上（均不与端点重合）的动点 则 的周长的最小值是________.三、专题总结1.收获哪些解题方法?2.体验哪些解题策略?DEP课后自测题1.（2013•江苏宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x 轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是．变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是．2.(2016•四川泸州)如图6，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 .3.（2016•江苏常州）如图7，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx 的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(图7)(图6)。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
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「初中数学」利用对称求线段和最值
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。
常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等
类型一：两定一动型
【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。
作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。
验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B
【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.
【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。
【答案】10
【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标
【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。
【答案】P（2.5，0）
类型二：一定两动型
【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。
验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)
【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.
【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。
解含120°的△AA'A'‘即可求出A'A''。
【答案】2√7。
倘若追加一问：此时∠AMN+∠ANM=_____°，你能答对吗？
【例4】如图，点P是四边形ABCD内一点，BP=2，∠ABC=60°，分别在边AB,BC上作出点M,N，使△PMN的周长最小，求这个最小值。
【分析】这是一定两动模型，作点P关于AB的对称点P’，关于
BC的对称点P''，连接P'P''，交AB于M,交BC于N，此时△PMN的周长最小。
在△BP'P''中，∠P'BP''=120°，BP'=BP=BP''=2，P'P''的长度很容易求。
【答案】2√3
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=20，AC=10，若在AC,AB 上各取一点M,N，求BM+MN的最小值。
【分析】这是一定两动型的变异模型，其变化在于：①定点与动点所在的直线在同一直线上，②求的是两条线段和的最小值，而不是周长最小值。
要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直(即化折为直)，从而想到用轴对称性质来做。
画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值，初三的同学也可以用相似或三角函数求解。
【解答】作B点关于AC的对称点B1,再过B1作AB的垂线，垂足为N，与AC的交点为M，此时BM+MN的值最小。
类型三：两定两动型
【模型介绍】在∠MON内有两点P,Q，在边OM,ON上分别找点R,S，使得PR+RS+SQ+PQ最小。
作法：作点P关于OM的对称点P',点Q关于ON的对称点Q'，连接P'Q'，与OM,ON的交点就是R,S，此时四边形PRSQ的周长最小。
验证：在OM上取一点R‘，ON上取一点S’，则PR'+R'S'+QS'=P'R'+R'S'+S'Q'>P'Q'(两点之间，线段最短)
【例6】如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON，OD=4，C在OM上的任意一点，B是ON上的任意一点，则折线ABCD的最短长度为______.
【分析】作D关于OM的对称点D'，A关于ON的对称点A‘，连接D'A'，交OM于C，交ON于B，则AB+BC+CD的值最小，最小值即为D'A'。
此时∠D'OA'=90°，OD'=4,OA'=2，D'A'=2√5
类型四：两定滑动型（架桥）
【模型介绍】在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
作法：过点B作BB'垂直于河岸，且使BB'长等于这条河宽，连接AB'交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点D,则CD即为架桥最合适的位置。
验证：在河的两岸任取一点C',D'，连接B'C'，易知四边形BB'C'D'是平行四边形，则AC'+C'D'+BD'=AC'+B'C'+BB'>AB'+BB'=AC+CD+DB（三角形的两边之和大于第三边）
【例7】如图，在平面直角坐标中，已知点A（0，2）、B（4，0），点C、D分别在直线x=1与x=2上，且CD∥x轴，则AC+CD+DB的最小值为______．
【分析】这是典型的架桥问题，将B沿x轴向左平移一个单位到B’，连接AB'，交直线x=1于点C，交直线x=2于点D，此时AC+CD+DB的值最小，最小值为AB'+CD=√13+1.
【例8】如图，A、B是直线a同側的两定点，定长线段PQ在a 上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
【分析】本题与架桥问题有所区别，动线段不是在平行线间移动
了，而是在一条直线上移动，故处理策略截然不同，需用轴对称及平行四边形的性质化折为直。
作AA'平行且等于PQ，再作A'关于直线a 的对称点A''，连接A''B，与直线a的交点为D，在D的左边截取线段CD，使CD=PQ,则当PQ移动到与CD重合的位置时，AP+PQ+QB 的长最短。
类型五：三动型
【模型介绍】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，求DE+EF+DF的最小值。
分析：首先假设F点固定，作关于AB,BC的对称点F',F''（如图1），则DE+EF+FD=DE+F'D+F''E，此时最小值就是线段F'F''的长。
于是问题转化为：当F运动时，F'F''什么时候最短。
将Rt△ABC补全为菱形（如图2），发现F‘，F''是这个菱形对边上的关于B中心对称的对称点，很容易发现，F'F''的最短距离就是菱形对边的距离，即菱形的高。
此时（如图3）F就是斜边AC上的高的垂足点，D,E与B点重合。
验证：如图所示，在AB,BC上任取点D,E，则FD+DE+EF=F'D+DE+EF''>F'F''(两点之间线段最短)
【例9】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，AB=3,BC=4,求DE+EF+DF的最小值。
【答案】构造菱形，其对边间距离为4.8，即DE+EF+DF的最小值为4.8
【总结】两定一动型是较为简单的一种类型，其要领是作一定点关于动点所在直线的对称点，若题目是以几何图形（如正方形、菱形、等边三角形等）为背景，则应利用图形自身的轴对称性来找它的对称点。
而其他模型大多以此模型为基本方法，利用轴对称或平移变换化折为直，由此可见，转化思想是解决此类问题的基本思想。
小结:
最短路径有技巧
五类模型含架桥
平移旋转与对称
化折为直本领高。