利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题
基本题引入:如图（1),要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。

加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？
你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?
思路分析:如图２,我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点Ｍ，使AM与BＭ的和最小。

设A′是Ａ的对称点,本问题也就是要使A′Ｍ与BＭ的和最小。

在连接Ａ′Ｂ的线中,线段Ａ′B最短。

因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。

如图3，为了证明点Ｃ的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接ＡN、BN、Ａ′N。

因为直线ａ是Ａ,A′的对称轴,点M，N在a上，所以AＭ= A′M,AＮ= A′N。

∴ＡM+BＭ= A′M+ＢM＝ A′Ｂ
在△A′BＮ中,
∵Ａ′Ｂ<A′N+ＢN
∴AＭ+BＭ＜ＡN+ＢＮ
即AM+BＭ最小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑,不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。

思路如下:②∵BC=9（定值)，∴△PＢC的周长最小,就是PB+PC最小.由题意可知,点C关于直线DＥ的对称点是点A,显然当P、A、B三点共线时ＰB＋PA最小.此时D Ｐ=DE，PB＋PＡ＝AＢ.由∠ＡＤF＝∠FＡE，∠DFA＝∠ACＢ＝90°,得△ＤＡF∽△ＡBC． E
Ｆ∥BＣ,得AE=ＢE=1
2
AＢ=
15
2
，ＥＦ＝
9
2
.∴ＡF∶BC＝AD∶ＡB，即6∶９＝AＤ∶15．∴
AD=1０. Rt△ＡDF中,AD＝1０，AF＝６，∴DF=８.∴ＤＥ＝ＤＦ+FE=８＋9
2
=
25
2
.∴当ｘ＝
25 2时，△PBC的周长最小, y值略。

数学新课程标准告诉我们:教师要充分关注学生的学习过程,遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。

使学生不仅获得数学基础知识、基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数学思维品质。

同时每年的中考题也千变万化,为了提高学生的应对能力,除了进行专题训练外，还要多归纳多总结,将一类问题集中呈现给学生。

一、 两条直线间的对称
题目1 如图,在旷野上，一个人骑马从A 出发,他欲将马引到河a1饮水后再到a ２饮水,然后返回A 地,问他应该怎样走才能使总路程最短。

点评:这道题学生拿到时往往无从下手。

但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。

作法：过点A 作a １的对称点Ａ′,作a2的对称点Ａ〞,连接Ａ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接B Ｃ.所经过路线如图5: A －Ｂ－C-A,所走的总路程为A ′A 〞。

二、三角形中的对称
题目2 如图,在△ＡBC 中,A Ｃ=B Ｃ＝２,∠A ＣＢ=９０°,Ｄ是BC 边上的中点，E 是AB 边上的一动点，则E Ｃ+ＥＤ的最小值是
＿_
点评:本题只要把点Ｃ、D 看成基本题中的Ａ、B 两镇,把线段A Ｂ看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了,本题只是改变了题目背景,所考察的知识点并没有改变。

三、四边形中的对称
题目3 如图,正方形ABCD 的边长为8， Ｍ在D Ｃ上，且D Ｍ=2,N 是AC 上的动点，则ＤN+ＭN 的最小值为多少？
点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B,最小值为M Ｂ=1０。

A
C
第2题图
h A
B
第5题图1
四、圆中的对称
题目４ 已知：如图,已知点Ａ是⊙O 上的一个六等分点,点B 是弧AN 的中点,点Ｐ是半径ＯN 上的动点,若⊙O 的半径长为1，求A Ｐ＋B Ｐ的最小值。

点评:这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。

点B 的对称点B ′在圆上，AB ′交ＯN 于点ｐ′,由∠A ＯＮ﹦60°, ∠Ｂ′O Ｎ﹦3０°，∠A ＯB ′﹦90°，半径长为1可得A Ｂ′﹦
2。

当点
P 运动到点p ′时,此时AP ＋BP 有最小值为
2
五、立体图形中的对称
题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处,它想吃到盒内表面对侧中点Ｂ处的食物,已知盒高h =１0cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面３c ｍ.请你帮小蚂蚁算一算,为了吃到食物,它爬行的最短路程为 cm.
点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EF ＧH ，作出点B 关于ＥH 的对称点B ′，作ＡC ⊥ＧＨ于点C,连接A Ｂ′。

在Ｒt △A B ′C 中，AC ﹦１6, B ′C ﹦12,求得A B ′﹦２0,则蚂蚁爬行的最短路程为20cm 。

通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西,以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。

同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应
M
A
D B
C
N
E
F
G
B ′
A C ·B
H
第4题图
第5题图2
第3题图
变能力。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上,进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。

更重要的是,变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

题目6 长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点Ｃ１处(三条棱长如图所示），问怎样走路线最短?最短路线长为多少？
由学生引申总结以下1——４：
1、 已知:如图,A 、Ｂ两点在直线l 的同侧,点A '与A 关于直线l 对称,连结A B '交l 于P 点,
若A B '＝ａ，(1)求AP ＋PB;（２)若点M 是直线l 上异于Ｐ点的任意一点,求证：
AM MB AP PB +〉+.
2、 已知:A 、B 两点在直线l 的同侧，试分别画出符合条件的点Ｍ。

（1） 在l 上求作一点Ｍ,使得AM BM -最小；
（2） 在l 上求作一点M ，使得AM BM -最大;
（3） 在l 上求作一点M ，使得AM+BM 最小。

3、 如图，AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥ＡB 于E,DF ⊥A Ｃ于F,那么点
E 、
F 是否关于AD 对称？若对称,请说明理由。

A '
M
P
A
B
l
A
B
l
A
B
l
B
l
F
E
D
C
A
B
4、 已知:如图,点12,p p 分别是P 点关于∠AB Ｃ的两边BA 、BC 的对称点，连接12p p ,分别
交BA 、B Ｃ边于E 、D 点，若12p p =ｍ，
（1） 求△PD Ｅ的周长;
（2)若M 是ＢA 边上异于Ｅ的一点，Ｎ是BC 边上异于D 的一点，求证:△ＰMN 的周长>△PDE 的周长。

轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置,要注意体会轴对称在这方面的应用。

以此作为模型我们可以解决
下列求最小值的问题。

5． 如图,菱形A ＢCD 中,AB=2，∠BA Ｄ=6０°,Ｅ是AB 的中点，P 是对角线ＡＣ上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_____＿__。

分析：首先分解此图形,构建如图5模型，因为Ｅ、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P,使P Ｅ＋PB 最小,关键是找出点B 或E 关于ＡC 的对称点。

如图６,由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称,连结ＤE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，
图5 图6
由∠B ＡD ＝6０°,AB=AD ，AE=BE 知,
322
3
DE =⨯=
故PE+PB 的最小值为3。

P 1
E D C
P 2P
M N A
B。