利用轴对称求最短距离
利用轴对称和平移求最短距离
利用轴对称和平移求最短距离作者：莫慧琼来源：《学苑创造·C版》2014年第08期利用轴对称和平移求最短距离是近年来中考的一个热点，这类问题主要考察同学们化归的数学思想和建模能力，它可以结合各类知识进行考察，综合性强，是同学们较为头痛的一类问题.例如，2012年南宁市中考压轴题的最后一问就是此类问题.如图1，已知点A（3，4），当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1. 线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标.要解决这个问题，我们得先从几个简单的数学模型入手，发现并归纳解这一类问题的思想和方法.先跟着老师看下面的例题，或许你能从中得到某些启示.例1：如图2，地下河两侧有村庄A，B. 今年大旱，村民们要在河上方挖一口井向A村与B村供水. 若要使井口P分别到A，B两村的水管之和最短，应在图上什么地方凿井？（注：本题由八年级上册课本第42页例题改编）【分析】这道题是个实际问题，我们将它转化成数学模型就不需要考虑河宽，所以可以将这个实际问题抽象为下面这样一个数学问题：如图3，两点A，B分别在一直线l的两侧，直线上一动点P停留在哪一位置时，能使PA+PB最短？显然，应该连接AB，与直线l相交于一点，当动点P位于此位置时，PA+PB是最短的，理由是“两点之间，线段最短”.【变式1】当村庄A，B在河的同一侧时，井口P又应在什么地方呢？【分析】这时在直线上任取一点P，连接PA，PB，如图4，还能轻易看出哪条路径最短吗？能否想个办法，把它转化成刚才那种点在直线两侧的情况呢？显然，可以作点B关于直线l的对称点B′，再连接AB′交直线l于点P，连接PB，如图5. 利用对称性可知PB=PB′，则线段PA+PB的长等于线段AB′的长，由“两点之间，线段最短”可知此时所得路径是最短的.【变式2】如图6，公路m与河流n之间有一个村庄C，公路m上准备设置一个加油站P，河边设置一个加水点Q.今年大旱，县政府派出送水车为村民们供水，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后回到村庄C为村民们供水.请问：把加油站P和加水点Q分别设在何处，可使运水车所走路程最短？解：如图7，分别作出点C关于直线m和直线n的对称点C′和C″，再连接C′C″，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→C为最短路径.【变式3】如图8，将变式2中的一个村庄改为两个村庄C和D，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后到村庄D送水，则又应把加油站P和加水点Q分别设在何处，才能使运水车所走路程最短？（注：本题由八年级上册课本第47页习题的第9题改编）解：如图8，作点C关于直线m的对称点C′，点D关于直线n的对称点D′，再连接C′D′，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→D为最短路径.由刚才的几道题中，我们得到以下几个基本几何模型：【思考】观察这些模型有何共同特征？在求最短距离时都用了怎样的方法？【总结】这些模型都利用了轴对称，把本来不在同一直线上的几条线段都转化到了同一直线上，把求几条线段和的最小值转化成两点之间线段最短的简单问题. 可见，利用化归的数学思想，可将复杂问题简单化.前面的几种情况都不需要考虑河宽，假如需要考虑河宽又该怎么办呢？有什么办法把它也转化为最容易解决的情况吗？下面我们来看这道题：【变式4】如图9，运水车需从A村送水到B村，A，B两村之间有一条宽为a的河，在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？（注：本题由七年级下册课本第31页习题的第7题改编）【分析】显然，此时已不能将河流抽象成一条直线，只能将河岸抽象成距离为a的一组平行线m，n，由于桥是垂直于河岸的，假设桥为线段PQ，则PQ在什么位置时，才能使得线段AP+PQ+QB的和最小呢？由于PQ的长是一定值，所以求三条线段AP+PQ+QB的和最小，其实只是求两条线段AP+QB的和最小. 于是，我们可以这么理解，将河岸m平移到与河岸n重合，此时相当于除去了定长a的干扰，转化成了最简单的“模型1”这种情况，连接AB就相当于线段AP+QB的长. AB交直线n于点Q，再把河岸m平移回来，原来直线m上Q点的位置记为点P.此外，我们还可以这么理解，运水车从A村到B村，无论如何，桥都是要过的，那可否将整条河流平移到A处，使点A在直线m上，相当于让运水车先过桥呢？如图10，将点A向下平移a个单位得到点A′，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作直线m的垂线，交直线m于点P，然后连接PA，此时线段AP+PQ+QB的和最小.【思考】将图10记为“模型5”，对比前面4个模型，你有何感悟？【总结】在这道题中，解题的方法虽然很多，但其实都是利用平移先排除掉定长，将问题转化成“求两条线段之和何时最短”的老问题，依然是将这两条线段化归到同一直线上.我们不妨用一顺口溜来记下解此类题的方法：“对称加平移，最短问题不被迷.化归同一线，最短长度图自现.”下面我们再来看看2012年南宁市中考压轴题的最后一问该如何求解.解：如图11，过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小.∵A（3，4），∴A′（2，4），∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].∴直线A′B′的解析式为[y=53x+23]，当y=0时，[53x+23=0]，解得[x=-25].故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（[-25]，0）.。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对轴对称性质的理解较为扎实，但在将其应用于最短路径问题的求解过程中，部分学生还是显得有些吃力。针对这一点，我在讲解过程中尽量放慢速度，通过详细的步骤解析和直观的图形演示，帮助他们理解。在之后的课堂中，我还需要加强对学生的个别辅导，确保他们能够真正掌握这一知识点。
（2）确定最短路径问题中的对称轴：在实际问题中，确定对称轴可能较为困难，尤其是当问题涉及多个线段或点时。
难点解析：通过具体例子，展示如何寻找和确定线段、点到线段的最短路径问题中的对称轴。
（3）计算最短路径长度的方法：在确定对称轴和对称点后，如何进行有效计算，避免复杂和繁琐的步骤。
难点解析：教授学生运用几何图形的直观和代数计算相结合的方法，简化计算过程，如利用勾股定理等。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、最短路径问题的求解方法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了人教版数学八年级上册13.4节“最短路径问题”。这节课让我感受到了学生们对几何问题的热情，也让我意识到了一些教学中的亮点和需要改进的地方。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成最短路径问题的求解，提高学生的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的性质及其应用：轴对称图形的对称轴、对称点等基本概念，以及如何利用这些性质解决最短路径问题。
用轴对称求最短距离
用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。
把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段。
现举例说明，供同学们参考。
一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1. 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD，，且A处到河岸CD中点的距离为500m。
（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：这个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A，B，在直线CD 上求一点M，使最小。
”（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点，再连接交CD于点M，则点M为所求的点。
证明如下：在CD上任取一点，连接、、、AM。
点A、关于直线CD对称，点M、在CD上，。
最小。
（2）由（1）知，，。
故M为CD中点，且最短路程为。
二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。
例2. 如图3，牧童家在A处。
现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。
问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？解析：设点B、点C分别是马饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA 的最小值。
我们通常需要把它和固定线段相比较。
可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。
如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A”，点A关于直线b的对称点A””。
连接A”A””。
A”A””交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A”B+BC+CA””＝A”A””。
而对其他地点B”、C”，也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A””，即为A”、A””两点间的折线段的长。
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
利用轴对称求最短距离
决关于轴对称图形求最小值问题。 解：（1）设直线AB的解析式为y＝px＋q
则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋1 2分 ∵当x＝3和x＝－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等 ∴抛物线的对称轴为y轴，∴b＝0，∴y＝ax 2＋c 把A（－4，3）、B（2，0）代入，得：
A
D F M B C H E
(2)在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B 分别在X轴、Y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。
①若E为边OA上的一个动点，当？CDE的周长最小时，求点E的坐
标；
②若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小
时，求点E、F的坐标。
解①：作点D关于X轴对称点D′，连D′C交X轴与点E,则点E即为所
求D(1,0)
解②：∵EF=2，取CM=2作D关于X轴对称点D′，连D′M,交X轴于点
E,∵M(1,4) D′(0，-2)则D′M的解析式
Y=kx+b y
4=k+b B C
b=-2
D′M的解析式为 D
y=bx-2
一、基础知识 如图直线l同侧有两点A、B，在直线l上找点P，使得PA+PB最短，并 简要说明理由。解：作点关于直线l的对称点A′，连A′B交直线l于点 P,则点P即为所求，此时PA+PB=PA′+PB= A′B。
B A
PL LL
二、典型例题： A组（1）以菱形为载体的最短距离问题： 如图所示，菱形ABCD中， ∠ BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对 角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。 解：∵菱形ABCD是以AC为对称轴的轴对称图形。 ∴点B关于直线AC的对称点为点D, 连接DM交AC于点P,则PM+PB的最小值即为线段DM,此时DM= ∴PM+PM的最小值为.
初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)
初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。
轴对称最短路线问题原理
轴对称最短路线问题原理
一、问题描述
轴对称最短路线问题，即求平面上两点间沿轴对称线走的最短距离。
二、问题解法
1. 构造对称轴
首先需要找到两点的对称轴，对称轴的构造方法有多种，常用的有以
下两种：
（1）连接两点，垂直平分线即为对称轴。
（2）以两点为圆心，以它们之间的距离为半径，画两个圆；两圆的交
点就是对称轴。
2. 沿对称轴转换
对称轴将平面分为两个对称部分，假设起点在对称轴左侧（或右侧），求出终点在对称轴右侧（或左侧）的最短距离，即为要求的轴对称最
短路线。
3. 求最短距离
最短距离可以使用最短路算法（如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法等）来计算。
三、应用领域
轴对称最短路线问题常见于自动化生产线、机器人运动等领域，在这
些领域中，机器人需要在不碰撞的情况下从一个点到达另一个点，同
时保证走的路径最短。
该问题的解决方法可以为机器人运动路径规划
提供参考。
初中数学最短距离说明(奶站问题)
奶站问题的讨论以及解决策略奶站问题中中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。
一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。
基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）2、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．应用1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174C 、17178D 、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小4、两个点在矩形内部例：已知矩形ABCD 内有两个点M 、N ，过M 击球到CD 边P ，然后击到BC 边Q ，然后到N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。
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利用轴对称求最短距离
一、问题引入：
1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
二、典型例题：
（1）、以菱形为媒介的最短距离问题：
如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是多少？
（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：
如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E 分析：根据“两点之间线段最短”，可知：连接AB，与直线的交点即为P点.此基本类型为：一线（直线）两定点（点A、B）。
分析：作点A关于直线的对称点A′，连接AA′，则直线就是线段AA′的垂直平分线，根据“垂直平分线上一点到线段两端点的距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A′的距离。
事实上，这个问题就可以转化成：在直线异侧各有点A′、B,在直线上找一点p，使PA′+PB最小。
即：一线两定点的问题。
由（1）得，连接BA′，与直线的交点即为点P。
分析：由题意知：首先找点B或者点M关于AC所在直线的对称点。
由菱形的轴对称性不难发现：点D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。
那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度
分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。
由正方
在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？
（3）、以圆为媒介的最短距离问题：
如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，
∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值
（4）、以二次函数为媒介的最短距离：
如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y 轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P 点坐标。
三、巩固加深：
（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：
如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°, ∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC 的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。
那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。
分析：由题意知：首先找点A或者点C关于OB所在直线的对称点。
由圆的轴对称性不难发现：延长AO交圆于点A′，则点A′即是点A关于直线OB的对称点，则连接CA′与线段OB的交点即为P点。
那么PA+PC的最小值实际上就是线段CA′的长度。
分析：由题意知：易得A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3)，对称轴为：x=-1，△PBC周长=BC+PB+PC，因为BC是定值，则求△PBC 周长的最小值实际上就是求PB+PC的最小值。
然后找点B或者点C关于对称轴的对称点。
由二次函数的轴对称性不难发现：点A即是点B关于对称轴的对称点，则连接AC与对称轴的交点即为P点。
根据A点和C点坐标求出直线AC的函数解析式，然后令x=-1得出y的值，即得P点坐标。
分析：由AD是∠BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N′一定在线段AC上，则直线AD是线段NN′的垂直平分线，则MN=MN′,则求BM+MN的最小值就是求BM+MN′的最
（6）、如下图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，D 为OB中点。
（1）、若E为边OA上一个动点，当△CDE周长最小时，求点E坐标。
（2）、若E、F为边OA上两动点，且EF=2，当四边形CDEF周长最小时，求E、F坐标。
图1 图2
四：课堂小结：
通过本节课的学习，我们发现要想灵活掌握“利用轴对称来解决最短距离”的问题还是不容易的，它需要我们具有系统的知识结构、很高的知识素养，同时也要求我们具有丰富的想象能力以及灵活的创新能力，它还要求我们在学好基础知识的同时，还需要有大量的课外阅读知识！小值。
易知点B、M、N′三点共线时BM+MN′最小，根据“点到直线上点的距离中垂线段最短”得：过点B作AC的垂线，垂足为N′′，则B N′′的长度就是BM+MN′的最小值，也就是BM+MN的最小值。
由△AB N′′为等腰直角三角形，AB=4立得。
分析：（1）、很简单，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴的交点即为E点，然后根据点C和点D′的坐标求出一次函数解析式，令y=0，得x的值，立得。
（2）、要求四边形CDEF 周长的最小值，因为线段CD、EF都是定值，所以只要求DE+CF的最小值即可。
根据“两点间线段最短”，如果能将线段DE和CF转化到同一条直线上，那么求出的值肯定最小，于是我们想到作D关于x 轴的对称点D′(0，-2)，作点G(2，-2)，则GD′=2，连接CG交x轴于点F，则F点确定了，E点也就随之而确定。
这时四边形EFGD′是平行四边形，则FG=ED′=DE，此时CG就是DE+Cf的最小值。