(完整版)利用轴对称求最短距离问题
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
利用轴对称求两点一线型最短距离
利用轴对称求“两点一线”型最短距离几何模型：模型：“两点一线”模型条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．+的值最小．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，+=的值最小．则PA PB A B'模型应用：一. 两点一线间的对称二.三角形中的对称1.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是__2.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．三.四边形中的对称1.如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？2.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则+的最小值是___________；PB PE△是等边三角形，点E在正方形3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE+的和最小，则这个最小值为（）ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PEA．B．C．3 D四.圆中的对称1.如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。
2.如图，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；五.立体图形中的对称如图是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．课堂练习： 1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 ．2.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE=2 （AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB 的最小值是 ．3.如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，5.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．6.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．7.在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为（计算结果不取近似值）．8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．9.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB长为．解答题：１.如图，45AOB∠=°，P是AOB∠内一点，10PO=，Q R、分别是OA OB、上的动点，求PQR△周长的最小值．2.一次函数y kx b=+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．ABPRQ图3中考题综合演练：1.（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP 的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD^的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；3 时，求正方形的边长.⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
轴对称最短路线问题原理
轴对称最短路线问题原理
一、问题描述
轴对称最短路线问题，即求平面上两点间沿轴对称线走的最短距离。
二、问题解法
1. 构造对称轴
首先需要找到两点的对称轴，对称轴的构造方法有多种，常用的有以
下两种：
（1）连接两点，垂直平分线即为对称轴。
（2）以两点为圆心，以它们之间的距离为半径，画两个圆；两圆的交
点就是对称轴。
2. 沿对称轴转换
对称轴将平面分为两个对称部分，假设起点在对称轴左侧（或右侧），求出终点在对称轴右侧（或左侧）的最短距离，即为要求的轴对称最
短路线。
3. 求最短距离
最短距离可以使用最短路算法（如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法等）来计算。
三、应用领域
轴对称最短路线问题常见于自动化生产线、机器人运动等领域，在这
些领域中，机器人需要在不碰撞的情况下从一个点到达另一个点，同
时保证走的路径最短。
该问题的解决方法可以为机器人运动路径规划
提供参考。
利用轴对称求最短距离精修订
分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。由正方形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。
（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：
如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？
（3）、以圆为媒介的最短距离问题：
如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，
∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值
（4）、以二次函数为媒介的最短距离：
如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P点坐标。
三、巩固加深：
（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：
如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°,∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少
分析：由AD是∠BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N′一定在线段AC上，则直线AD是线段NN′的垂直平分线，则MN=MN′,则求BM+MN的最小值就是求BM+MN′的最小值。易知点B、M、N′三点共线时BM+MN′最小，根据“点到直线上点的距离中垂线段最短”得：过点B作AC的垂线，垂足为N′′，则BN′′的长度就是BM+MN′的最小值，也就是BM+MN的最小值。由△ABN′′为等腰直角三角形，AB=4立得。
(完整版)利用轴对称求最短距离问题
利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?·B ·A·B·Aa·B·Aa·A′图1M·A′MNa 图2图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。
设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。
在连接A′B的线中，线段A′B最短。
因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。
因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。
思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，1159AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF22292525中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长222得AE＝BE＝最小， y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。
使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
初中数学轴对称最短路径问题
在直线 l1 、 l2 上分别求 点 M 、N ，使四边形 PQMN 的周⻓长最小小。
分别作点 Q 、P 关于直线 l1 、l2 的 对称点 Q＇和 P＇ 连 Q＇P＇，与两直 线交点即为 M，N．
两点之间线段最短 四边形 PQMN 周⻓长的 最小小值为线段 Q＇P＇的 ⻓长。
【问题 5】“造桥选址” 作法
使 AM+MN+NB 的值最
小小．
【问题 9】
作法
作图
连 AB，作 AB 的 中垂线与直线 l 在直线 l 上求一一点 P，使 的交点即为 P．
的值最小小 .
【问题 10】
作法
作图
2
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值 为 A＇B+MN．
原理理
两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小小值 为 A＇＇B+MN．
4．如图，在锐⻆角△ABC 中，AB＝4 ，∠ BAC＝45°，∠ BAC＝45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于 点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小小值是__________。
5．如图，Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，AB＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边 上（不不与点 B、C 重合），且 ED＝AE，则线段 AE 的取值范围是__________。 6．如图，∠ AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分 别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小小值是_________．（注“勾股定理理”：直⻆角三⻆角 形中两直⻆角边的平方方和等于斜边的平方方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2） 7．如图，三⻆角形△ABC 中，∠ OAB＝∠ AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 ， 0)．OC 平分∠ AOB,点 M 在 OC 的延⻓长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最 小小值__________。 8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周⻓长最小小值 为__________。
轴对称中的最短路径问题
分析：此题的出题背景就是角。
此题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．
分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，那么PM+MN+NP最短．
例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′〔桥宽不计〕，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？
分析：
这就是“造桥选址问题〞
解：作AF⊥CD，且AF=河宽，
作BG⊥CE，且BG=河宽，
连接GF，与河岸相交于E′、D′．
作DD′、EE′即为桥．
证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，
那么四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′，
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小；
即当桥建于如下图位置时，ADD′E′EB最短．
例５．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 。
分析：
此题中的PN就相当于“造桥选址问题〞中的桥，其思路与上题是一样的。
通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短．
至于“抛物线〞“折〞转“直〞，再利用“两点之间线段最短〞这一性质来解决。
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利用轴对称求最短距离问题
基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加
油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？
使AM与BM的和最小。
设A'是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。
在连
接A B的线中，线段A B最短。
因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN
BN A No
因为直线a是A A'的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N。
••• AM+BM= A M+BM= A B
在厶A BN中，
•/ A B< A N+BN
• AM+B< AN+BN
即AM+BMt小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道
中考题解决了。
思路如下：②••• BC= 9 （定值），•△ PBC的周长最小，就是PB+ PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小•此时DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90°,得厶DAF^A ABC. EF// BC,
1 15 9
得AE= BE= AB= , EF= . • AF： BC= AD：AB, 即卩 6 : 9 = AD：15. • AD= 10. Rt△ ADF
2 2 2
9 25 25
中，AD= 10, AF= 6,「. DF= 8. • DE= DF+ FE= 8+ =一. •••当x = 时，△ PBC的周长
2 2 2
最小，y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理
组织教学内容，建立科学的训练系统。
使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得
数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。
一、两条直线间的对称
题目1如图，在旷野上，一个人骑马从A出发，他欲将马引到河al饮水后再到a2饮
水，然后返回A地，问他应该怎样走才能使总路程最短。
点评：这道题学生拿到时往往无从下手。
但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。
作法：过点A作al的对称点A',作a2的对称点A ,连接A A"交al、a2于B、C,连接BC. 所经过路线如图5: A-B-C-A,所走的总路程为A A"。
第2题图
二、三角形中的对称
题目2 如图，在厶ABC中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D是BC边上的中点，E是AB边上的一动点，则EC+ED勺最小值是_______
点评：本题只要把点C、D看成基本题中的A、E两镇，把线段AB看成燃气管道a,问
题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。
三、四边形中的对称
题目3 如图，正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则
DN+MN勺最小值为多少？
点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点
正好是点B,最小值为MB= 10。
四、圆中的对称
题目4已知：如图，已知点 A 是O O 上的一个六等分点，点 B 是弧AN 的中点，点P 是 半径ON 上的动点，若O O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。
点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。
点
B 的对称点B'在圆上，AB 交ON
于点 p ',由/ AON= 60° , / B ' ON= 30°,/ AOB = 90°,半径长为 1 可得 AB'=2。
当点P 运动到点p '时，此时AP+BP 有最小值为 2
B '
五、立体图形中的对称
题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的
A 处，它想吃
到盒内表面对侧中点 B 处的食物，已知盒高h = 10cm,底面圆的周长为 32cm, A 距离下底面 3cm.请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为
_cm •
点评：如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展 开得矩形EFGH 作出点B 关于EH 的对称点B',作AC 丄GH 于点C,连接A B '。
在Rt △ A B ' C 中，AC= 16, B ' C= 12,求得A B ' = 20,则蚂蚁爬行的最短路程为
20cm 。
通过变式训练既解决了一类问题， 又归纳出了最本质的东西， 以后学生再碰到类似问题 时学生就不会不知所措。
同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性,
E
* *
/
f
H
*
事 /
/ f
i
*
F J
B
A
/ L
--
C
发展了学生的应
A
第3题图
M
第4题图
第5题图1
B
F
G
第5题图2
变能力。
综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。
更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思
维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
题目6长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C i 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
析：展开图如图所示，.25 .. 29 . 37
路线1即为所求。
长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最
长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。
B i G
i
A 4
B 2 C
AC J二AC=V6"+1乜7；
点E 、F 是否关于AD 对称？若对称，请说明理由。
由学生引申总结以下1―― 4:
1、已知：如图，A B 两点在直线I 的同侧，点 A 与A 关于直线I 对称，连结 AB 交I 于P 点，若
AB =a ,（ 1 ）求AP+PB （2）若点 M 是直线I 上异于P 点的任意一点，求证：
AM MB AP PB .
2、已知：A B 两点在直线|的同侧，试分别画出符合条件的点
M
（1） 在I 上求作一点M,使得AM BM 最小；
■ B
A ,
I
（2） 在|上求作一点
M,使得 AM BM 最大；
(3) 在I 上求作一点 M,使得AM+BM ft 小。
3、如图，AD 为/ BAC 的平分线，DE 丄AB 于E , DF 丄AC 于F ,那么
4、已知：如图，点P I,P2分别是P点关于/ ABC的两边BA BC的对称点，连接P1P2，分
别交BA BC边于E、D点，若p1 p2=m
(1)求厶PDE的周长；
(2)若M是BA边上异于E的一点，N是BC边上异于D的一点，求证：△ PMN的周长＞△ PDE的周长。
轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注
意体会轴对称在这方面的应用。
以此作为模型我们可以解决
下列求最小值的问题。
5. _______________________ 如图，菱形ABCD中, AB=2, / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是。
分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找
一点P,使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。
如图6,由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE此时DE即为PE+PB勺最小值，
E
A
8
C
由/ BAD=60 , AB=AD AE=BE知,
DE
故PE+PB的最小值为3。
P l
C
A。