巧借轴对称求最短距离
(完整版)利用轴对称求最短距离问题
利用轴对称求最短距离问题基本题引入：如图（1）,要在公路道a 上修建一个加油站，有A,B 两人要去加油站加BN A No因为直线a 是A A ’的对称轴，点 M,N 在a 上，所以 AM= A M,AN= A ’ N 。
••• AM+BM= A M+BM= A B在^ A BN 中,•/ A B< A N+BN ••• AM+B < AN+BN即 AM +B M!小。
点评：经过复习学生恍然大悟、 面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道 中考题解决了。
思路如下：②••• BC = 9 （定值），•••△ PBC 的周长最小，就是 PB+ PC 最小.由 题意可知，点 C 关于直线DE 的对称点是点 A ,显然当P 、A B 三点共线时PB+PA 最小.此 时 DP = DE PB+PA = AB.由/ ADM / FAE / DFA=/ ACB= 90°,得^ DAF^A ABC. EF// BC115 9 得 AE= BE= — AB=丄,EF= - . •• AF： BO AD ： AB,I 卩 6 : 9 = AD ： 15. •• AD= 10. Rt △ADF2229 25中，AD= 10, AF = 6,.・.DF = 8. •• DE = DF + FE = 8+ —=——.•••当 使AM 与BM 的和最小。
设 A M 与BM 的和最小。
在连接A B 的线中，线段AB 最短。
因此，线段 A B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。
如图3,为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点 N,连接AN25X = —— 时，△ PBC 的周长遵循学生认知规律，合理油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短?A '是A 的对称点，本问题也就是要使 M2 2最小，y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程,组织教学内容，建立科学的训练系统。
巧用“对称关系”,妙求“最短路径”
2018年3月巧用“对称关系'妙求“最短路径⑩江苏徐州市第十三中学杨亚秋在初中阶段，我们经常会碰到求线段之和最短、多 边形的周长最小等类型的问题，面对这些问题，许多学 &往往朿手无策，h 头雾水，究其原因，多半是平时不養 于对所学知识、所做题型进行小结与反思，一&学生平 时缺少整理与反思，碰到问题时，自然会无据可依，无从 下手，今天，我就和大家一起来谈谈最短路径问题中的 一类简单问题的处理策略，以獪读者.【问题背景】我们知道，当点4在直线丨的异侧时，要在直线U ：找点P ，使得P A +P S 值最小，只需连接与 直线Z 的交点P 即为所求.那么，若点在直线Z 的同侧， 要在直线/上找点P ,使得M +P 6值最小，我们又该如何 处理呢？对于这种类型，可以找出4点关于直线啲对称 点f ，连接与直线I 交于点P ，由对称性可知，M，此时^、6在_ w 意线上>,，汛+邢有最小值.许多考题中都隐含了这种处理的策略，先来看一道 函数题，如下：【问题1】如團1,已知点P 是抛物幾户-#+2*+3的对 称轴Ji 的一个动点，拋物线与无轴交于瓜S 两点f '与交 于(：点，灣PA +P C 的值最.小时，求P 点的坐标，【思路分析】由于4、B 两点关于对称轴对称，所以可 以利用二次函数的对称性，将线段烈转化成线段P 6，这 样当点C 、i \雄^条意线上时，M +P C f 最小值.【简析】根据抛物线的表达式尸-^+2料3，易求得点 4(-l ，〇)、B (3,0:)、a 〇,3),厲为4、fi 两点关于对称轴对称，所以fi 4 =P fi ,如圈2, 故(E l +PC :U = (i ®+PC :W 不难发规,肩C 、P 、5在一条直,线上时，，此时重线SC 的解析式为产-*+3，与拋物线的对称轴直线的交處为K 1，2).【点评】这是二次函数中典型的最短路径问题，解题 时关键是要借助二次函数本身固有的对称性，将对称轴同侧的两定点转化到对称轴的并侧，这样问题就变得清 晰、明朗了.再来看“道几何题：【问题2】如图3;,虞方形4B C D 的边长为3，点五在边 爲M =1羞處难对角线B D 上移动，则iM +P 瓦的最小值是_______•【思路分析M 、五两点分布在直线D S 的同侧.由于疋方形关于其对角线成轴对称，所以可以借助4、C 两点关 于对角线对称，将线段以转化成线段P C 来解决.当点 C J 、®®同一重_上时，E 4 +PS 有最小值，图3 图4【简析】连接(：£交洲于点尸，连接烈，如图4.由正方形的对称性，可知网=H ：，则+视)>*=(p c +p e X ^e c ^V T o .【点评】遇到正方形这类本身就具有对称性.的特殊 图形，要仔细分析题说条件，挖掘图形中隐含的对称关 系，发现其中蕴含的基本图形结构，从而輕利解题，最層我似一起来看一道中考题：【考题再现】如图5,矩形中,4B =10，B C =5,点五、f 、G 、丑分别在矩形4S C D 各边上，里厕四边形£扣丑周长的最小值为_____.【思路分析】由4£=C G，易怔得四边形ETGff为平行四边形.要求平行四边形财1Gfl ：周长的最小值，具要求得其周长的1的最小值即可，即现的最小值.点G 分布在直线B C 的同一侧,求最小值何题，这就又回到了两 点在宣线的同侧，求线段之和最小值的基本问题上了.【简析】如图6，作五点关于BC ：的对称点私，连接C &,86 十•？农，？初中2018年3月解法探究巧用错题资源提升学习能力_浙江省宁波市奉化区剡溪中学郑锋王祥表所谓错题就是指习题本身在文字语官或者图形语會 表述上出现了条件欠缺、互相矛盾或结论不可求证的题 目.教师们在教学中经常会遇到一些错题，有的错题题旨 本身就出现了表达性错误，解答者得不到答案;有些错题 没有明显的離，只郁麟中才会出现相互矛盾的结果t我们在教学中发现了错题,通过师生合作、生生 合作的方式更正错题，进而对于更正后的错题一题多解，或者变式练习，这种方式有效地激发了学生对数学学习的热情，培养了学习数学的兴趣.数学学习的兴趣'一旦激发，课堂效率也随之提高，学生学习能力也得以提升.在農国数学教育家r〇m.Sere»写'的《数学教育研 究一竺角形5—书中，他提出了把数学教育研究的对象视作三角形的合个顶点，即数学教育是有S个研究方面:课程、教学、学习.而S角形的中心称为“兴趣中心”，指学习者学习数学的兴趣(如图1).由此可见，错题资源的有效利用，有利于培养学生数学学习的兴趣，也能有效地提高课堂效率，最终转化成学生学习能力的提升.以下是由学生在练习中所发现 的一个错题，笔者以此为例谈谈错题资源对学生学习能 力提升方面所起到的作用，一、试题呈现如图2,在正方形中，折线4£=3，£^=2，风：=4,乙砂=zL£TC=6(F，贝！]正方形45C D的边长为______.本题条件中出现了正方形.及/L M E= :I A E F= A E FC=6(T%由此学生会朝着正方形的性质、等边兰角形、30°特殊直角兰角形方向思考，以此添加辅助线.在课堂中，同学们很快解 答出7答案，几乎每个同学都有自已的想法，加上参考答案，大致有以下四种解法.二、解法展示解法1:如图3,分别延长和交S C于点G和丑.因为在掘.方形A S C Z)中,服Z[FC=60〜所以又西为厶Z M S=60。
巧用轴对称解决最短路线问题
巧用轴对称解决最短路线问题
作者：于胜军
来源：《中学生数理化·教与学》2018年第01期
第一，几何模型见鲁教版初中数学七年级上册第二章第48页.
原题：如图1，直线l是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮水，然后再到B地军营视察.那么，他走什么样的路线行程最短呢？
解析：作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.
第二，模型应用.
1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题
变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.
解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在
Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值为10.
2.轴对称的知识解决圆中的最短路线问题
分析：作点D关于直径AB的对称点D′求解.
3.轴对称的知识解决函数中的最短路线问题
（1）求该函数的解析式.
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2）已知在对称轴上存在一点P，使△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
（2）连接AC，BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B 点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.
由待定系数法可知直线AC的表达式为y=-23x-2.。
用轴对称求最短距离
用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。
把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段。
现举例说明，供同学们参考。
一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1. 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD，，且A处到河岸CD中点的距离为500m。
（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：这个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A，B，在直线CD 上求一点M，使最小。
”（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点，再连接交CD于点M，则点M为所求的点。
证明如下：在CD上任取一点，连接、、、AM。
点A、关于直线CD对称，点M、在CD上，。
最小。
（2）由（1）知，，。
故M为CD中点，且最短路程为。
二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。
例2. 如图3，牧童家在A处。
现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。
问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？解析：设点B、点C分别是马饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA 的最小值。
我们通常需要把它和固定线段相比较。
可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。
如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A”，点A关于直线b的对称点A””。
连接A”A””。
A”A””交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A”B+BC+CA””＝A”A””。
而对其他地点B”、C”，也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A””，即为A”、A””两点间的折线段的长。
利用轴对称求两点一线型最短距离
利用轴对称求“两点一线”型最短距离几何模型：模型：“两点一线”模型条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．+的值最小．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，+=的值最小．则PA PB A B'模型应用：一. 两点一线间的对称二.三角形中的对称1.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是__2.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．三.四边形中的对称1.如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？2.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则+的最小值是___________；PB PE△是等边三角形，点E在正方形3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE+的和最小，则这个最小值为（）ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PEA．B．C．3 D四.圆中的对称1.如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。
2.如图，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；五.立体图形中的对称如图是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．课堂练习： 1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 ．2.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE=2 （AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB 的最小值是 ．3.如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，5.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．6.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．7.在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为（计算结果不取近似值）．8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．9.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB长为．解答题：１.如图，45AOB∠=°，P是AOB∠内一点，10PO=，Q R、分别是OA OB、上的动点，求PQR△周长的最小值．2.一次函数y kx b=+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．ABPRQ图3中考题综合演练：1.（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP 的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD^的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；3 时，求正方形的边长.⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
利用轴对称求最短距离精修订
分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。由正方形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。
（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：
如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？
（3）、以圆为媒介的最短距离问题：
如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，
∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值
（4）、以二次函数为媒介的最短距离：
如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P点坐标。
三、巩固加深：
（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：
如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°,∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少
分析：由AD是∠BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N′一定在线段AC上，则直线AD是线段NN′的垂直平分线，则MN=MN′,则求BM+MN的最小值就是求BM+MN′的最小值。易知点B、M、N′三点共线时BM+MN′最小，根据“点到直线上点的距离中垂线段最短”得：过点B作AC的垂线，垂足为N′′，则BN′′的长度就是BM+MN′的最小值，也就是BM+MN的最小值。由△ABN′′为等腰直角三角形，AB=4立得。
运用“轴对称”解决最短路径问题
运 用“ 轴对称’ ’ 解决最短路径问题
刘 军
在学 习 “ 轴 对 称 图形 ” 时， 我 们 经 常 会 枞 Ｑ ＋ Ｑ Ｂ 与ＡＰ ＋ Ｐ Ｂ的大 小 ， 并 说 明理 由． 遇 到 与 最 短 路 径 有 关 的 问题 ， 同学 们 往 往
Ｃｌ
ｈ
、
【 变 式 训 练 】已知
点Ｐ 、 Ｑ是 ＡＡ ＢＣ的 边
ＡＢ、 ＡＣ 上 的点 ， 你 能在
ＢＣ上 确 定 一 点 Ｒ。 使
△Ｐ Ｑ 的 周 长 最 短 吗 ？
图４
【 点拨 】 ＡＰ Ｑ Ｒ 的周长等于Ｐ Ｑ ＋ Ｐ Ｒ ＋ Ｑ Ｒ，
因 为Ｐ ｐ 的长 度 不 变 ，所 以 只要 线 ｆ ￣ ｔ ． Ｐ Ｒ ＋ Ｑ Ｒ 的 和最 小 ， 就 能 使 △ Ｒ的周 长 最 短 ．
＝ 、 已知 一 点在 两 条 相 交直 线 的 内部 例 ２ 如 图５ ， Ｏ Ａ、 Ｏ Ｂ是 两 条 相 交 的 公
（ 作者单位 ： 江 苏省 无 锡 市 天一 实验 学校 ）
６ ０
Ｔ ｎ ｔ ｅ … ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
１ ■ 慧数 掌
点Ｐ ｌ 、 Ｐ ２ ， Ｐ １ Ｐ ２ 分别 交 Ｏ Ａ、 Ｏ Ｂ 于 点 Ｅ、 Ｆ ， 由轴
Hale Waihona Puke 路 一 恫 市 交 汇 于 点 Ｏ， 在
Ｄ Ｂ 的 内 部 Ｃ、 Ｄ
图５
平 分 线 以及 Ｃ Ｄ的 垂 直平分线 ， 交 点 即是 Ｐ 点 的位 置 ．
Ｂ
图 ６
，
处 各 有 一 个 工厂 ． 现 要 修 建 一 个 货 站 Ｐ， 使 货 站 Ｐ到 两 条
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a b
A
B
M
D C 图 6
a b
P
M
图5 l
B
图1
A
巧借轴对称求最短距离
大家知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题.
例1如图1，公路l 两旁有两工厂A 、B ，现要在公路上建一仓库. ⑴若要使仓库到A 、B 两工厂的距离相等，仓库应建在何处？ ⑵若要使仓库到A 、B 两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？
分析：⑴线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”可知仓库应建在AB 的垂直平分线上，又因为仓库在公路上，所以AB 的垂直平分线与公路l 的交点即为仓库应建的地点. ⑵ 如果A 、B 两点在直线l 的两侧，那么连接AB 与l 的交点即为所求，由于现在A 、B 两点在l 的同侧，因此可考虑作A （或B ）点关于l 的对称点C ，由轴对称的性质可知，直线l 上任意一点到A 、C 的距离相等，这样就把直线l 上一点到点A 的距离转化为到点C 的距离，因此连接CB 与l 的交点即为所求.
解：⑴如图2，作AB 的垂直平分线交l 于点P ，点P 就是所要求作的仓库的位置. ⑵如图3，作点A 关于l 的对称点C ，连接AC 交l 于点D ，点D 就是所要求作的仓库的位置.
例2如图4，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水. ⑴求到河边饮水的最短路线.
⑵如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图.
分析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要. ⑴可抽象为点M 到直
图4
P
l
B
图2
A
C
A
D
l
B
图3
A
线a的最短距离. ⑵可抽象得到这样的数学模型：直线a、b间有一点M，试分别在a、b 上求出两点，使M点与这两点构成的三角形的周长最短. 要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题.
解：⑴如图5，过点M作MA⊥a于A，MA即为最短路线.
⑵如图6，分别作点M关于a、b的对称点A、B，连接AB分别交a、b于点C、D，则最短的牧马路线为：M→C→D→M.
点评：⑴利用垂线段最短获解. ⑵中点A、M关于直线a对称，则可得到CA＝CM，同理DM＝DB，所以MC＋CD＋DB＝AC＋CD＋DB，这实际上将ΔMCD的周长，即三条不在同一直线上的线段和转化成了两点之间的距离问题，由于“两点之间，线段最短”，因此连接AB与直线a、b的交点即为所求的两点.。