垂径定理练习题汇总
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
垂径定理练习题及答案
5、如图，AB 是⊙O 的直径，半径 OC⊥AB,P 是ＡB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点 D,CD 交 AB 于点 E,判断
△PDＥ的形状，并说明理由。
６。21.如图,半径 OA⊥ＯB，P 是 OB 延长线上一点，PA 交⊙Ｏ于 D，过 D 作⊙O 的切线 CE 交ＰＯ于 C 点
，求证:PC=ＣD．
２2。如图，将半
径为 2 cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O ,那么折痕 AB
的长为
Ｏ
Ａ
Ｂ
23。如图,⊙O 的的半径为 5，直径 AB⊥弦 CD，垂足为 E，ＣD=６,那么∠Ｂ的余切值为_＿＿__＿_＿＿
三。解答题 1。⊙O 的弦ＡＢ长为 10,半径长Ｒ为 7，OC 是弦ＡＢ的弦心距，求ＯＣ的长 2。⊙O 的半径长为 50ｃm，弦 AB 长５０ｃm.求：〔1)点 O 到 AB 的距离;〔2〕∠AＯB 的大小 3。如图,直径是 5０ｃm 圆柱形油槽装入油后，油深ＣD 为 1５cm，求油面宽度 AB
4．AB 是⊙O 的弦,ＡB=8ｃｍ，OC⊥ＡB 与Ｃ,OC=3ｃm,那么⊙O 的半径为 cm
5。如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E,假设∠COD＝1２０°,ＯE＝3 厘米，那么 CD=厘米
A
y
P
O
C
ED
B
6.半径图为4 6cm 的
A O
B
x
圆中，垂直平分半径 OＡ的弦长为 cm。
7。如图，⊙Ｏ的半径长为２5,弦 AB 长为４８，Ｃ是弧 AＢ的中点．求 AC 的长．
8。：在△△AＢＣ的外接圆的半径。
O
9.本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A
B
圆垂径定理综合应用六十道经典题(答案解析)
（1）这条公路上的车辆形成的噪音是否会对学校造成影响？
（2）若车辆形成的噪音会对学校造成影响，为消除噪音，计划在公路边修筑一段消音墙，请你计算消音墙的长度.（只考虑声音的直线传播）
37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC＝30º，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求⊙O的直径．
38．如图，AC为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BE⊥CD于点E， ＝ ．
（1）求证：BE的⊙O切线．Fra bibliotek（2）若AD＝4，EC＝1，求BD的长．
39．如图，A，B，C是⊙O上的点，其中 ，过点B画BD⊥OC于点D．
C．若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D．若PB=4PA，则CD=PB
3．如图，在 中， ， 为互相垂直且相等的两条弦， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，则 的半径是（）
A． B． C． D．
4．如图， 的直径为10，弦 ， 是 上一个动点，则 的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（）
A． B． C． D．
11．平面直角坐标系中，在以（2，1）为圆心，5为半径的圆上的点的坐标是（）
A．（4，7）B．（－1，－2）C．（5，4）D．（2，－4）
12．如图，⊙O的半径OA＝8，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝（ ）
A． B． C． D．
13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
(完整版)垂径定理练习题及答案
垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41 答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米O图 4E DCBA答案：63 cm★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：63 cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 答案：5★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：217★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm PBAO答案：6★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米BAPOyx答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
垂径定理练习题汇总
一．选择题（共7小题）1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2B．4C．6D．83．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6B．5C．4D．34．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．O E=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1C．2D．27．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（5，3）D．（3，5）二．解答题（共7小题）8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE．11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2B．4C．6D．8考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．解答：解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6B．5C．4D．3考点：垂径定理；勾股定理．分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．解答：解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．O E=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形考点：垂径定理．分析：根据垂径定理判断即可．解答：解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选：B．点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．解答：解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选：A．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1C．2D．2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值．解答：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=．故选：A．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（5，3）D．（3，5）考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．专题：压轴题．分析：因为点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，所以OB=2，OC=8，BC=6，连接AD，则AD⊥OD，过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3，所以OE=AD=5，再连接AB，则AB=AD=5，利用勾股定理可求出AE=4，从而就求出了A的坐标．解答：解：连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，∴OB=2，OC=8，BC=6，∵⊙A与y轴相切于点D，∴AD⊥OD，∵由垂径定理可知：BE=EC=3，∴OE=AD=5，∴AB=AD=5，利用勾股定理知AE=4，∴A（5，4）．故选A．点评：本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题．二．解答题（共7小题）8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．考点：垂径定理；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．解答：解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．分析：（1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出=，故可得出∠C=∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；（2）在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．解答：解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴=，AF=BF，∴∠C=∠AOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE，∵AO⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠C=30°，∵BC=2，∴BF=BC=，∴AB=2BF=2；（2）∵AO⊥BC，BC=2，∴CE=BE=BC=，∵∠C=30°，∴OC===2，即⊙O的半径是2．点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE．考点：垂径定理；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）、由同角的余角相等可得，∠DFO=∠OCA，由AAS证得△ACO≌△DFO，故有OF=OC；（2）、证得∠DOE=∠AOB，再由SAS得到△OAB≌△ODE⇒AB=DE．解答：证明：（1）∵∠D+∠DCA=∠D+∠DFO=90°，∴∠DFO=∠OAC．又∵OD=OA，∠DOF=∠AOC=90°，∴△ACO≌△DFO．∴OF=OC．（2）连接OB、OE，∵OE=OD，OA=OB，∴∠D=∠E，∠A=∠B．∴∠DOE=180°﹣2∠D，∠AOB=180°﹣2∠A．由1知，△ACO≌△DFO，有∠A=∠D．∴∠DOE=∠AOB．又∵OE=OD=OA=OB，∴△OAB≌△ODE．∴AB=DE．点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．考点：垂径定理的应用．分析：作半径OC⊥AB，连接OA，则CD即为弓形高．根据垂径定理的AD=AB，然后根据已知条件求出CD的长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P，由此可得OP=0.3，然后根据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答．解答：解：（1）作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高∵OC⊥AB，∴∵AO=0.5，AB=0.6，∴AD=AB=×0.6=0.3，∴OD===0.4，∴CD=OC﹣OD=0.5﹣0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P同理可得OP=0.3，当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理．专题：证明题．分析：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，连接OC，根据等腰三角形的性质证出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；（2）根据角平分线定理求出OQ=OM，根据勾股定理求出BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论．解答：证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO=∠ACO，∵∠BAC=∠ABO，∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，∵OE=OB，OC=OF，∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，∴AE∥OF，AF∥OE，∴四边形AEOF是平行四边形，∵OE=OF，∴平行四边形AEOF为菱形．（2）∵圆O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，∴AM⊥BC，∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB，∴OQ=OM，∴由勾股定理得：BM=BQ，由垂径定理得：BE=BC．点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．解答：解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，∵AB=AC=13，∴=，∴∠AOB=∠AOC，∵OB=OC，∴AO⊥BC，CD=BC=12在Rt△ACD中，AC=13，CD=12所以AD=设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r所以（r﹣5）2+122=r2解得r=16.9．答：⊙O的半径为16.9．点评：本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．考点：垂径定理的应用．分析：根据题意，可以推出AD=BD=30，若设半径为r，则OD=r﹣10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．解答：解：∵OC⊥AB，∴AD=DB，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50，∴这段弯路的半径为50m．点评：本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．。
垂径定理(含答案)
9题10题11题5题6题《垂径定理》练习题1.半径为8的圆中，垂直平分半径的弦长为 。
2.⊙O 的半径为6，M 为⊙O 内一点，OM=4，则过点M 的所有弦中，最长的弦长为 ,最短的弦长为 。
3. 如图，⊙O 的AB 垂直平分半径OACB 的形状为 。
4.如图，⊙O 中，AB ⊥AC ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，且OE=3,OF=4,则AB= ,AC= ,⊙O 的半径R= 。
5.如图，⊙O 中，AB 为弦，AB=8m,直径为10cm ，若M 为弦AB 上一点，则OM 的长x 的取值范围为 。
6.如图，⊙O 中，AB 为弦，且AB=421 cm ，sin ∠OAB=25,则⊙O 的半径为 。
7.如图，AB 是半径为15cm 的⊙O 中的一条弦，交半径为13cm 的同心圆于点C 、D 两点，已知，O 到AB 的距离为12cm,则AC+BD= 。
8.如图，有一条圆弧形拱桥，桥的跨度AB=16m,拱高CD=4m ，则拱形的半径为 。
9.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加一个条件 ，就可以得到M 为AB 的中点。
10.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于点B ，现测得PB=4cm,AB=10cm, ⊙O 的半径R=13cm,此时P 点到圆心O 的距离是 。
11.如图，已知AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,则⊙O 的半径为 。
12.如图，水平放置的圆柱形水管的截面半径为5dm,水面宽AB 为6dm,则此时水深为 。
13.⊙O 的半径为13cm ，E 为⊙O 内一点，OE=5cm,则过E 点的所有弦中，长度为整数的弦有 条。
14.⊙O 中弦AB 与弦CD 垂直于点P ，且AP=PB=4cm,PC=2cm,则⊙O 的直径为 .15.已知P 为⊙O 内一点，且经过P 点的最长弦长为26cm, 过P 点的最短弦长为10cm ，则OP= 。
垂径定理-练习题 含答案
垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。
在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。
下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。
练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。
若AC=8厘米，求BE的长度。
解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。
由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。
练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=3厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。
又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。
由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。
练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=5厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
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一.选择题（共7小题） 1. （2014?凉山州）已知。
O 的直径CD=10cm , AB 是。
O 的弦，AB=8cm ,且AB ± CD ,垂足为M,则AC 的长为( )A - 2V5cm B- 4V5cmC- 2V 5cm j2. (2014?舟山)如图，O O 的直径CD 垂直弦AB 于点E,且CE=2 ,C D或4市cm D . 卬3cm 或4«cmDE=8,贝U AB 的长为（）3. （2014?毕节地区）如图，已知。
O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是（O B. 5 C. 4 D. 3AB 是。
O 的直径，弦 CDXAB 于点E,则下列结论正确的是（A . OE=BE B. '：= l'C. △ BOC 是等边三角形D. 四边形ODBC 是菱形5. （2014?南宁）在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽 大深度为（ AB=160cm ,则油的最A B160 - 200 O A . 40cm B. 60cm C. 80cm D. 100cm6. （2014?安顺）如图，MN 是半径为1的。
O 的直径，点 A 在OO ±, / AMN=30。
，点B 为劣弧 AN 的中点.P 是直径MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（7. (2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，O A 与x 轴交于B (2, 0)、C (8,与y 轴相切于点D,则点A 的坐标是()A. (5, 4)B. (4, 5) C, (5, 3) D, (3, 5)二.解答题(共7小题)8. (2014?佛山)如图，O 。
的直径为10cm,弦AB=8cm , P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.9. (2014?盘锦三模)如图， CD 为。
的直径，CDXAB ,垂足为点F, AO ± BC ,垂足为E, BC =2泥,C. 2D. 2m两点,10. (2009?长宁区二模)如图，点 F.(1)求证：OC=OF; (2)求证：AB=DE .C 在O O 的弦AB 上，COXAO,延长 CO 交。
于D.弦DE LAB ,AO 于(1)求AB 的长； (2)求。
O 的半径.D12. （2008?长宁区二模）如图，在4ABC 中，AB=AC ,。
过点B 、C,且交边 AB 、AC 于点E 、F,已知/ A= / ABO , 连接 OE 、OF 、OB.（1）求证：四边形 AEOF 为菱形； （2）若 BO 平分/ ABC ,求证：BE=BC .13. （2007?佛山）如图，O 。
是4ABC 的外接圆，且 AB=AC=13 , BC=24 ,求。
的半径.14. （2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧 AB ）,点。
是这段弧的圆心，点 C 是弧 AB 上的一点，OCLAB,垂足为D,如AB=60m , CD=10m ,求这段弯路的半径.11. （2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为 宽AB 为0.6米.（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高） ；（2）当水位上升到水面宽为 0.8米时，求水面上升的高度.1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面D参考答案与试题解析一.选择题（共7小题）1.（2014?凉山州）已知。
O的直径CD=10cm , AB是。
O的弦，AB=8cm ,且AB ± CD ,垂足为M,则AC的长为（）A. 2V^cmB. 4V^cm C- 2V^cm 或W^cm D. 2^cm 或4^cm考点：垂径定理；勾股定理.专题：分类讨论.分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论. 解答：解：连接AC, AO, .「。
0 的直径CD=10cm, AB LCD, AB=8cm ,1.AM= —AB= —>8=4cm , OD=OC=5cm ,2 2当C点位置如图1所示时，OA=5cm , AM=4cm , CD LAB ,0M=10* _=产也2 -产3c m,CM=OC+OM=5+3=8cm ,AC= «M 2T 42+ 8 2=4代cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ,••• OC=5cm ,MC=5 — 3=2cm ,在RtAAMC 中，AC=T7F^^=V^7^=2&cm.故选：C.本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.点评:2.（2014?舟山）如图，O O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2 , DE=8 ,则AB的长为（A. 2B. 4C. 6D. 8考点：垂径定理；勾股定理.专题：计算题.分析：根据CE=2, DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长. 解答：解：CE=2, DE=8,OB=5 ,OE=3,••• ABXCD,・•・在AOBE 中，得BE=4 , AB=2BE=8 .故选：D.点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握.3.（2014?毕节地区）如图，已知。
O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 3考点：垂径定理；勾股定理.分析：过。
作OCLAB于C,根据垂径定理求出AC,根据勾股定理求出OC即可.解答：解：过。
作OCLAB于C,••• OC 过O,AC=BC= -AB=12 ,2在RtAAOC中，由勾股定理得：OC=J］铲_ ］产5.故选：B.点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长.4.（2014?三明）如图，AB是。
O的直径，弦CDXAB于点E,则下列结论正确的是（考点：垂径定理.分析：根据垂径定理判断即可.解答：解：; AB ±CD, AB 过O,DE=CE, BD=BC,根据已知不能推出DE=BE, 4BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形. 故选：B.点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力.5.（2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm ,则油的最大深度为（）J ] 60 fA. 40cmB. 60cmC. 80cm D . 100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理.分析：连接OA,过点。
作OELAB ,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长, 进而可得出ME的长. 解答：解：连接OA ,过点O作OELAB，交AB于点M ,•.直径为200cm, AB=160cm ,OA=OE=100cm , AM=80cm ,OM= VoA2 - M2=V1002 - 80 2=60cm，ME=OE - OM=100 - 60=40cm .故选：A.点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.6.（2014?安顺）如图，MN是半径为1的。
O的直径，点A在OO ±, / AMN=30。
，点B为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. OE=BEC. △ BOC是等边三角形B-BC=BDD.四边形ODBC是菱形cJ 160 7A.6B. 1C. 2D. 2/2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.分析：作点B关于MN的对称点B',连接OA、OB、OB'、AB根据轴对称确定最短路线问题可得AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出/ AON=60 °,然后求出/ BON=30 °,再根据对称性可得/ B ON= Z BON=30 °,然后求出/ AOB =90°,从而判断出4AOB 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB =^/2OA ,即为PA+PB的最小值.解答：解：作点B关于MN的对称点B',连接OA、OB、OB'、AB则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB•. / AMN=30 °,/ AON=2 / AMN=2 X30o=60°,•・•点B为劣弧AN的中点，•./ BON= I/ AON= 1>60 =30°,2 2由对称性，/ B ON= / BON=30 °,/ AOB = / AON+ / B ON=60 +30 =90 °,..△AOB是等腰直角三角形，•. AB =M OA=&M=&,即PA+PB的最小值=&.故选：A.7. (2014?沛县模拟)如图，在平囿直角坐标系中，点与y轴相切于点D,则点A的坐标是( )0 XA . (5, 4) B, (4, 5) A在A象限，O A与x轴交于B (2, 0)、C (8, 0)两点,C. (5, 3) D, (3, 5)B点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到^AOB是等腰直角三角形是解题的关键.考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理. 专题：压轴题.分析： 因为点A 在第一象限，OA 与x 轴交于B (2, 0)、C (8, 0)两点，与y 轴相切于点D,所以OB=2 , OC=8 ,BC=6 ,连接AD ,则ADXOD,过点A 作AE ，OC 于E,则ODAE 是矩形，由垂径定理可知 BE=EC=3 , 所以OE=AD=5 ,再连接AB ,则AB=AD=5 ,利用勾股定理可求出 AE=4 ,从而就求出了 A 的坐标.解答： 解：连接AD , AB , AC,再过点A 作AELOC 于E,则ODAE 是矩形，• ・•点A 在第一象限，O A 与x 轴交于B (2, 0)、C (8, 0)两点，与y 轴相切于点 D, OB=2 , OC=8, BC=6 , A 与y 轴相切于点D, AD ±OD,• ••由垂径定理可知：BE=EC=3 , OE=AD=5 , AB=AD=5 ,利用勾股定理知 AE=4 , A (5, 4). 故选A.二.解答题(共7小题)8. (2014?佛山)如图，O 。
的直径为10cm,弦AB=8cm , P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.~P~7B考点：垂径定理；勾股定理. 专题：几何图形问题.过点。
作OELAB 于点E,连接OB,由垂径定理可知 AE=BE=2AB,再根据勾股定理求出 OE 的长，由 此可得出结论.解：过点。