数学人教版九年级上册垂径定理的练习
2020--2021学年中考数学一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理(含答案)
一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理一．选择题1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A 于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．44．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，则⊙O的半径为（）A．4B．5 C．4 D．35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．36．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．27．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（）A．2 B．4 C．2D．48．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF ＝，则BF的长为（）A．B．1 C．D．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A．B．C．6 D．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（）A．9B．C．11 D．15二．填空题11．若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为．12．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为．13．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE＝18，CD＝PQ ＝24，则OM的长为．15．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．三．解答题16．如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆上两点，且AC＝CD＝DB，AB＝10cm （1）求AC的长度；（2）证明CD∥AB．17．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．18．如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．（1）求证：AB＝CD；（2）若角的顶点P在圆上，如图②，其他条件不变，结论成立吗？（3）若角的顶点P在圆内，如图③，其他条件不变，结论成立吗？19．如图，直线l：y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．20．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接OA，如图：∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴AC＝AB＝8cm，在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），故选：D．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．4．解：∵∠BAC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∵AE＝CD＝8，∴DE＝CD＝4，设OD＝r，则OE＝AE﹣r＝8﹣r，在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝8﹣r，∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故选：B．5．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选：C．6．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故选：D．7．解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；则AD＝BD，由折叠的性质得：OD＝CD，在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；根据勾股定理得：AD＝＝＝2，∴AB＝2AD＝4；故选：D．8．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．9．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故选：A．10．解：连接OP，OQ，∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，∴PH+QI＝18﹣12＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，最短的是垂直平分直径的弦CD，已知AB＝10，CD＝6，则OD＝5，MD＝3，由勾股定理得OM＝4．故答案为：4．12．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝12﹣5＝7；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF+OE＝17．∴AB与CD之间的距离为7或17．故答案为7或17．13．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为8．14．解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF＝PQ＝12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD＝PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE＝OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF＝OE＝18﹣x，在直角△OPF中，x2＝122+（18﹣x）2，解得x＝13，则MF＝OF＝OE＝5，∴OM＝5．故答案为：5．15．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵点D在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．故答案为：2+．三．解答题（共5小题）16．解：（1）连接OC，OD，∵AB为⊙O的直径，AB＝10cm，∴OA＝OB＝5cm．∵AC＝CD＝DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5cm；（2）∵由（1）知∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC、△COD与△BOD均是等边三角形，∴∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．17．（1）解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，∵AD⊥OB，在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连结CF，如图，∵AD⊥OB，∴弧AB＝弧DB，∵∠EAB＝∠EBA，∴弧BD＝弧AF，∴弧AB＝弧AF，∴OA⊥BG，∴BG＝FG，∴∠OAH＝∠OBG，在△OAH和△OBG中，，∴△OAH≌△OBG（AAS），∴AH＝BG，∴BF＝2AH．18．解：（1）相等．如图：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．AG＝BG，CH＝DH，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH．在Rt△OBG和Rt△ODH中，由HL定理得：△OBG≌△ODH，∴GB＝HD，∴AB＝CD；（2）点P在圆上，结论成立：顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴AG＝GB，AH＝HD，∵∠EAO＝∠DAO，∴OG＝OH．在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，∴AG＝AH，∴AB＝AD．即点P在圆上，结论成立．（3）顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH，∴GB＝HD，∴AB＝CD．即点P在圆内，结论成立．19．解：（1）∵直线的解析式y＝x，∴tan∠A1OB1＝＝，∴∠A1OB1＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝，OA2＝OB1＝2，∴B1（1，）．（2）连接A 4B 3，作OH ⊥A 4B 3于H ．由题意OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝4，OA 4＝8，∵OA 4＝OB 3，OH ⊥A 4B 3，∴∠A 4OH ＝∠A 4OB 3＝30°，∴OH ＝OA 4•cos30°＝8×＝4．20．解：（1）如图1中，连接OB ，OC ．设BF ＝EF ＝x ，OF ＝y ．∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ，∴∠CEF ＝∠BFO ＝90°∴AF ＝BF ＝x ，DE ＝EC ＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或，∴BF ＝4，AB ＝2BF ＝8．（2）如图2中，作CH ⊥AB 于H ．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。
《垂径定理—知识讲解 》同步 2022人教九年级上册专练
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA. 【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．2．（2020•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若AC=8cm ，DE=2cm ，求OD 的长．【答案与解析】解：∵E 为弧AC 的中点， ∴OE ⊥AC ， ∴AD=AC=4cm ，∵OD=OE ﹣DE=（OE ﹣2）cm ，OA=OE ，∴在Rt △OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2即OA 2=（OE ﹣2）2+42， 又知0A=OE ，解得：OE=5， ∴OD=OE ﹣DE=3cm ．【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）A．5m B．8m C．7m D．53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B；【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．（2020•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案与解析】解：（1）∵直径AB=26m，∴OD=，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )．A．54m B．63m C．93m D．183m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．（2020•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴ ，∴.4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -； 2(222)a -；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°， ∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ 2215l h r =+=，∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ，A BCDEO 12345HA BCD EO 12∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。
初中数学：垂径定理练习题
夯实基础过关检测1.初中数学：垂径定理练习题课堂达标）一、选择题如图K-21-1, M是的直径，弦CD1AB,垂足为必则下列结论不一定成立的是（）A. Gf=DMB. CB=DBC. AACD= A ADCD. 0M= MD2.如图K-21-2,。
的半径为5,初为弦，半径OCIAB、垂足为E、若0E=,则丽的长是（）图 K-21-2A. 4 B・6 C. 8 D・ 103.绍兴是著名的桥乡，如图K-21-3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离G?为8 m,桥拱半径OC、）、） 5 D1,则水面宽丽为（）图 K-21-3A. 4 m B・ 3 m C・ 6 m D・ 8 m4.如图K-21-4, （DO的半径614=6,以A为圆心，OA长为半径的弧交00于点B, C,则应'的长为（）图 K-21-1图 K-21-49 一 _A -5A ・6羽B ・6花 C. 3羽 D. 3迈5. 如图K-21-5,正方形月磁的四个顶点均在G»0上，。
的直径为住分米，若在这个圆内随意 抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 内的概率是()2 H 1 A -V B -T C.药 D. 2H 7. 已知OO 的直径6P=10 c^AB 是OO 的眩，AB 丄CD,垂足为必且AB=8 cm,则处的长为()A. 2 cmB. 4 躬 cmC. 2 聽 cm 或 4 ^/s cm D ・ 2 书 cm 或 4 y/3 cm二、填空题8. 过00内一点M 的最长的弦长为10 cm,最短的弦长为8 cm,那么M 的长为 _________ .9. 如图K-21-7,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点尸在第一象限内，O 尸与x 轴交于点 Q 凡点A 的坐标为(6, 0),0^的半径为品，则点尸的坐标为 ________M 交于点2则肋的长为()图 K-21-66.如图K-21-6,在Rt △丽。
中，Z 血万=90° ,AC=3,BC=4,以点C 为圆心、心长为半径的圆与 21 18 5图图10.如图K-21-8所示,也AC,虑都是00的弦，0MA.AB, ONA.AQ垂足分别为M A；如果加—3,那么 BC= ________图 K-21-811.如图K-21-9,将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心Q则折痕月万的长为图 K-21-912.小敬利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K-21-10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A 5, AB=A0 cm,脸盆的最低点。
部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 5 cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 26 寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ 10 m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 26 米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)(含答案)
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案）1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧．2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．A组基础训练1．下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．5第2题图3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为________．第6题图7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________．第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．第8题图9．如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB＝AC＝13,BC＝24,求⊙O的半径．第9题图10．(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径．第10题图B组自主提高11．如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．第11题图11．如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB ＝8,CD ＝6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA ＋PC 的最小值为________．第12题图13．已知：如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证：AF ＝AG.第13题图C 组 综合运用14．如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道．第14题图3．3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1．不是直径【课时训练】1－4.BDAC5．CE ＝DE 或AC ︵＝AD ︵或BC ︵＝BD ︵6．67．3cm8．(1,3)9．连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB ＝AC ＝13,∴AB ︵＝AC ︵,∴∠AOB ＝∠AOC ,∵OB ＝OC,∴AO ⊥BC,CD ＝12BC ＝12.在Rt △ACD 中,AC ＝13,CD ＝12,所以AD ＝132－122＝5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD ＝r －5,CD ＝12,OC ＝r,所以(r －5)2＋122＝r 2,计算得出r ＝16.9.答：⊙O 的半径为16.9.第10题图10．如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD ＝DB ＝12AB ＝20,∠ADO ＝90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2＝OD 2＋AD 2,∴R 2＝202＋(R －10)2,∴R ＝25,即该脸盆的半径为25cm.11．1或212．7 2第13题图13．连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD＝OE＝r,∴∠ODE＝∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB＝∠EGC,∴∠AFG＝∠AGF,∴AF＝AG.14．(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF＝6,OF＝R－(7－3)＝R－4,由勾股定理,得AF2＋OF2＝OA2,即：62＋(R－4)2＝R2,解得R＝6.5米；(2)能通过,但要小心．车宽GH＝2.3,圆的半径OH＝6.5,由勾股定理,得OG＝ 6.52－2.32≈6.08,G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．第14题图。
部编数学九年级上册专题24.1垂径定理(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.1 垂径定理【典例1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DH=12 CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH=∴AH∴AC＝AH﹣CH＝2．1．（2022•芜湖一模）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（ ）A．B．C．D．【思路点拨】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解题过程】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12AB=12×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，∴OM=3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=故选：C．2．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）A．5B．2.5C．3D．2【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB=12AB=12×5＝2.5，即CD的最大值为2.5，故选：B．3．（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A．1个B．3个C．6个D．7个【思路点拨】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解题过程】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD=12×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM==1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=8，AD=6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）A．0)B．(−4+0)C．(−40)D．0)【思路点拨】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解题过程】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH4，∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，在Rt△OEF中，FD==∴OD＝FD﹣OF＝4，∴D（4，0）．故选：B ．5．（2022•新洲区模拟）如图，点A ，C ，D 均在⊙O 上，点B 在⊙O 内，且AB ⊥BC 于点B ，BC ⊥CD 于点C ，若AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2，则⊙O 的面积为（ ）A ．125π4B ．275π4C ．125π9D ．275π9【思路点拨】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON ，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，MO 的延长线于AB 延长线交于N ，则四边形BCMN 是矩形，∵OM ⊥CD ，CD 是弦，∴CM ＝DM =12CD ＝1＝BN ，∴AN ＝AB +BN ＝4+1＝5，设ON ＝x ，则OM ＝8﹣x ，在Rt △AON 、Rt △COM 中，由勾股定理得，OA 2＝AN 2+ON 2，OC 2＝OM 2+CM 2，∵OA ＝OC ，∴AN 2+ON 2＝OM 2+CM 2，即52+x 2＝（8﹣x ）2+12，解得x =52，即ON =52，∴OA 2＝52+（52）2=1254，∴S⊙O＝π×OA2=1254π，故选：A．6．（2021秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）A．910B．65C．85D．125【思路点拨】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解题过程】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC=12DE=32，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM=3 2，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB==5，∵12AC•BC=12AB•CF，∴CF=AC×BCAB=4×35=125，∴OG＝CF﹣OC=125−32=910，∴MG===6 5，∴MN＝2MG=12 5，故选：D．7．（2022•吴忠模拟）如图，AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于E，若AE＝1，∠D＝30°，则AB＝ 4 ．【思路点拨】根据含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据垂径定理求出AC=AD，求出AC＝AD＝2，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质得出AB＝2AC即可．【解题过程】解：∵CD⊥AB，∴∠AED＝90°，∵AE＝1，∠D＝30°，∴AD＝2AE＝2，∠ABC＝∠D＝30°，∵AB⊥CD，AB过圆心O，∴AC=AD，∴AC＝AD＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝2×2＝4，故答案为：4．8．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为【思路点拨】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．【解题过程】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI=12OP=12×4=2，由勾股定理得：DI==∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝即CD＝DI+CI＝故答案为：9．（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 3 ，⊙C上的整数点有 12 个．【思路点拨】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解题过程】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=12×10＝5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO3，∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L （5，3），即共12个点，故答案为：3；12．10．（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C 同时也在AB 上，若点P 是BC 的一个动点，则△ABP 面积的最大值是 −8 ．【思路点拨】作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，利用勾股定理得到r 2＝x 2+42①，r 2＝（x +2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x ＝2，所以r ＝DE ＝2，然后根据三角形面积公式，点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值．【解题过程】解：作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，在Rt △BOD 中，r 2＝x 2+42①，在Rt △OCF 中，r 2＝（x +2）2+22②，②﹣①得4+4x +4﹣16＝0，解得x ＝2，∴OD ＝2，∴r =∴DE ＝OE ﹣OD ＝2，∵点P 是BC 的一个动点，∴点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值，最大值为12×8×（2）＝8．故答案为：8．11．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为【思路点拨】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD【解题过程】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD∴AO＝故答案为：12．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．【思路点拨】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【解题过程】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．求证：AM＝BM，AC=BC，AD=BD．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴AC=BC，AD=BD．13．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE 的长．【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．【解题过程】解：如图，连接OC，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝3，在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，OE2+CE2＝OC2，即（5﹣r）2+32＝r2，解得r ＝3.4，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3.4×2﹣5＝1.8，答：AE 的长为1.8．14．（2021秋•芜湖月考）如图，在△ABC 中AB ＝5，AC ＝4，BC ＝2，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，延长BC 交⊙A 于点D ，试求CD 的长．【思路点拨】过点A 作AE ⊥BD 于点E ，如图，则DE ＝BE ，利用双勾股得到AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解方程得到BE =134，然后计算BD ﹣BC 即可．【解题过程】解：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，如图，则DE ＝BE ，在Rt △ACE 中，AE 2＝AC 2﹣CE 2，在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2﹣BE 2，∴AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解得BE =134，∴CD ＝BD ﹣BC ＝2BE ﹣2＝2×134−2=92．答：CD 的长为92．15．（2022•江西开学）如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，AB ＝8，CD ＝6，AB ，CD 之间的距离为1．（1）求圆的半径．（2）将弦AB 绕着圆心O 旋转一周，求弦AB 扫过的面积．【思路点拨】（1）过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，即可得出DF＝CF＝3，再因为AB∥CD，则可得到OE⊥AB，进而得到AE＝BE＝4，最后根据勾股定理计算即可；（2）先判断出将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形，再根据圆面积公式计算即可．【解题过程】解：（1）如图，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，则DF＝CF＝3，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AE＝BE＝4，设OE＝x，则OF＝x+1，根据题意可得：x2+42＝（x+1）2+32，∴x＝3，∴=5；（2）将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形是以点O为圆心，以3为半径的圆与以5为半径的圆所围成的环形，故弦AB扫过的面积为π×52﹣π×32＝16π．16．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB 的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，所以∠A＝∠G，从而得到结论；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．【解题过程】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．17．（2022•白云区二模）已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD 的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．【思路点拨】（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．【解题过程】解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．∵BB′⊥CD∴BD=B′D，∵∠AOD＝80°，B是AD的中点，∴∠DOB′=12∠AOD＝40°．∴∠AOB′＝∠AOD+∠DOB′＝120°，又∵OA＝OB′，∴∠A=180°−∠AOB′2=30°．∵AE是圆的直径，∴∠AB′E＝90°，∴直角△AEB′中，B′E=12AE=12×4＝2，∴AB′=．18．（2022•中山市模拟）已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足．（1）若AB＝AC，求证：四边形ADOE为正方形．（2）若AB＞AC，判断OD与OE的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】（1）连接OA，根据垂径定理得出AE＝CE，AD＝BD，根据AB＝AC求出AE＝AD，再根据矩形的判定和正方形的判定推出即可；（2）根据勾股定理得出OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，根据AB＞AC求出AD＞AE，再得出答案即可．【解题过程】（1）证明：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD和OE都过圆心O，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，AE＝CE，AD＝BD，∵AC＝AB，∴AE＝AD，∵AB、AC为互相垂直的两条弦，∴∠EAD＝90°，即∠OEA＝∠EAD＝∠ODA＝90°，∴四边形EADO是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；（2）解：OD＜OE，证明：∵AB＞AC，AE＝CE，AD＝BD，∴AD＞AE，在Rt△ODA和Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD2＜OE2，即OD＜OE．19．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【思路点拨】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．【解题过程】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM=12CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM=4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．20．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE=r−12，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．【解题过程】（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，∠GEB=∠DEBBE=BE∠GBE=∠DBE，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE=r−1 2，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（r−12）2+42＝r2，解得：r=13 3，即⊙O的半径为13 3．21．（2021•遵义一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：（1）如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1，求，AB长；（2）如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，AB＝10cm，求⊙O 的半径．【思路点拨】（1）过点O1作O1F⊥AB于F，得出O1F=12O1F，再根据勾股定理，即可得出结论；（2）同（1）的方法先判断出O2C＝2rcm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】解：（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝O1F=12O1E=12×4＝2（cm），连接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，根据勾股定理得，AF cm），∴AB＝2AF＝；（2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，∵D是O2C的中点，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，设⊙O2的半径为3rcm，则O2C＝2r（cm），∵O2C⊥弦AB，∴AC=12AB＝5（cm），连接O2A，在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2﹣（2r）2＝25，∴r∴O2A＝3r＝cm），即⊙O2的半径为．22．（2021•浙江自主招生）以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值．【思路点拨】设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），由勾股定理得出x，y，a的关系，再由垂径定理PQ和RS，最后由完全平方公式求得最大值和最小值．【解题过程】解：如图，设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），且x2+y2＝a2．所以PQ＝2PB＝RS＝所以PQ+RS＝2∴（PQ+RS）2＝4（2﹣a2而x2y2＝x2（a2﹣x2）＝﹣（x2−a22）2+a44．当x2=a22时，（x2y2）最大值=a4 4．此时PQ+RS=当x2＝0或x2＝a2时，（x2y2）最小值＝0，＝2（1+此时（PQ+RS）最小值。
人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》基础练习
《垂直于弦的直径》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．82．（5分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．343．（5分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，半径为25，则弦AB 的长为（）A．24B．14C．10D．74．（5分）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB ＝（）A．6B．8C．10D．125．（5分）如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON 的长度为（）A．4B．6C．8D．10二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．8．（5分）在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为cm．9．（5分）过⊙O内点M的最长弦长为20cm，最短弦长为16cm，那么OM的长为cm．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y ＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．12．（10分）已知⊙O的半径r＝4，AB、CD为⊙O的两条弦，AB、CD的长分别是方程x2﹣（4+4）x+16＝0的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD，求AB与CD间的距离．13．（10分）已知点A，B，C都在⊙O上，且AB＝AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．14．（10分）如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD 的中点，且CD＝，连接AM并延长交⊙O于N．（1）求∠ANC的大小；（2）求弦CN的长．15．（10分）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE＜EB），求点O到CD的距离．《垂直于弦的直径》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，关键勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB＝2CA，代入求出即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AB＝2AC＝8，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出AC的长，题目比较典型，难度不大．2．（5分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．34【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB、CD的弦心距OE、OF，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论．【解答】解：如图，AE＝AB＝×24＝12，CF＝CD＝×10＝5，OE＝＝＝5，OF＝＝＝12，①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．所以距离为7或17．故选：C．【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论．3．（5分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，半径为25，则弦AB 的长为（）A．24B．14C．10D．7【分析】连接OA，根据垂径定理得到AE＝EB，根据勾股定理求出AE，得到答案．【解答】解：连接OA，∵CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，∴AE＝EB，由题意得，OE＝OC﹣CE＝24，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AB＝2AE＝14，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4．（5分）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB ＝（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OA，根据垂径定理得到∠ODA＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出AD，计算即可．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，AD＝BD，由题意得，OD＝OC﹣CD＝3，在Rt△OAD中，AD＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5．（5分）如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON 的长度为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA＝10，∠ONA＝90°，AB＝16，∴AN＝8，∴ON＝，故选：B．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是6cm．【分析】连接OA，作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝8，然后根据勾股定理计算OC的长即可．【解答】解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为5．【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．8．（5分）在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为13 cm．【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝12，在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．故答案是13．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．9．（5分）过⊙O内点M的最长弦长为20cm，最短弦长为16cm，那么OM的长为6cm．【分析】据垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB最短的是垂直平分直径的弦CD已知AB＝20cm，CD＝16cm则OD＝10cm，MD＝8cm由勾股定理得OM＝＝6cm．故答案为6．【点评】此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y ＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为4．【分析】易知直线y＝kx﹣2k+3过定点D（2，3），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴OB＝OA＝5．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．【分析】作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，根据垂径定理得出PB＝DQ，PC＝QE，根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD，RT△OP A≌RT△OQA，得出AP ＝AQ，进而即可证得结论．【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，∵BC＝DE，∴PB＝DQ，PC＝QE，在RT△OPB和RT△OQD中，，∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），∴OP＝OQ，在RT△OP A和RT△OQA中，，∴RT△OP A≌RT△OQA（HL），∴AP＝AQ，∴AP+PC＝AQ+QE，即AC＝AE．【点评】本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．（10分）已知⊙O的半径r＝4，AB、CD为⊙O的两条弦，AB、CD的长分别是方程x2﹣（4+4）x+16＝0的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD，求AB与CD间的距离．【分析】先解方程，发现常数项16可拆分为4×4，故能用因式分解法解方程，得到两弦长．过圆心分别作两弦的垂线，根据垂径定理可得垂足为弦的中点，再利用勾股定理即能求弦心距．画图分析，若两弦分别在圆心两侧，则两弦之间的距离为两弦心距之和；若两弦在圆心同侧，则距离为两弦心距之差．【解答】解：解方程x2﹣（4+4）x+16＝0（x﹣4）（x﹣4）＝0∴x1＝4，x2＝4∵AB、CD的长分别是方程的两根且AB＞CD∴AB＝4，CD＝4过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC∴∠AEO＝∠CFO＝90°，AE＝AB＝2，CF＝CD＝2∵OA＝OC＝r＝4∴OE＝OF＝若AB、CD在圆心O的两侧，如图1，则EF＝OE+OF＝2+2若AB、CD在圆心O的同侧，如图2，则EF＝OF﹣OE＝2﹣2∴AB与CD间的距离为2+2或2﹣2【点评】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，考查了分类讨论思想．根据弦与圆心的位置作分类讨论是解题关键，也是垂径定理的常规题．13．（10分）已知点A，B，C都在⊙O上，且AB＝AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD 的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，∵AB＝AC，O为外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，∵OB＝14，OD＝6，∴BD＝＝＝4．在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝4（cm）；如图2，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交BC于点D，同理得：BD＝4．∴AD＝14﹣6＝8，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝4（cm）．综上所述，AB的长是4cm或4cm．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．14．（10分）如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD 的中点，且CD＝，连接AM并延长交⊙O于N．（1）求∠ANC的大小；（2）求弦CN的长．【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到OD＝OB＝OC，根据三角形的内角和得到∠COD＝60°，由邻补角的定义得到∠AOC＝120°，于是得到∠ANC＝∠AOC＝60°，；（2）连接AC，由的第三轮得到OC＝＝2，AM＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC，则OC＝OB，∵D是OB的中点，∴OD＝OB＝OC，∵CD⊥AB，∴∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠ANC＝∠AOC＝60°，；（2）连接AC，∴OC＝＝2，∴OD＝1，∴AD＝3，∴AC＝2，∴AM＝＝，∵∠CAO＝∠ACO＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠N，∵∠CAM＝∠NAC，∴△ACM∽△ANC，∴＝，即＝，∴CN＝．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（10分）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE＜EB），求点O到CD的距离．【分析】过O作OM⊥CD，ON⊥AB，易知四边形ONEM是矩形，所以ON＝EM，再根据垂径定理和已知数据求出EM的长即可得到ON的长，即圆心O到AB的距离．【解答】解：过O作OM⊥CD，ON⊥AB，∴∠ONE＝∠OME＝90°，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠NEM＝90°，∴四边形ONEM是矩形，∴ON＝EM，∵ON⊥AB，∴AN＝BN＝AB，∵AE＝3cm，BE＝14cm，∴AB＝17cm，∴AN＝8.5cm，∴EN＝AN﹣AE＝5.5cm，∴OM＝EN＝5.5cm，∴圆心O到CD的距离是5.5cm．【点评】本题考查了垂径定理、矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．。
九年级数学上册专题24.3 垂径定理【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
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数学人教版九年级上册垂径定理的练习第一篇：数学人教版九年级上册垂径定理的练习《垂直于弦的直径》同步试题一、选择题1．下列命题中，正确的是（）．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心考查目的：考查对垂径定理及其推论的理解2．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）．A．4B．6C．7D．8考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．3．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）．A．2B．3C．4D．5二、填空题4．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．5．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为．考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．6．如图，⊙O的直径AB平分弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米．考查目的：考查垂径定理推论的应用，利用推论进行相关计算．三、解答题7．如图是一个隧道的截面，如果路面在圆的半径的长．宽为8米，净高为8米，求这个隧道所考查目的：考查垂径定理在实际问题中的应用，考察方程思想．8．已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，AB=6，CD=8，求AB，CD间的距离．考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．分类讨论思想．第二篇：九年级数学垂径定理24．1．2 垂直于弦的直径【教学目标】1:探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；3:使学生领会数学的2:能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【自主探究】活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，活动3：如图3，≈弦AB=16 m，求此圆的半径．二：尝试应用活动4：如图4，已知≈AB，请你利用尺规作图的方法作出≈AB的中点，说出你的作法．AB三拓展创新1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明CA理由．B教学札记：第三篇：《垂径定理》说课稿《垂径定理》案例分析张小飞一、教材分析1、内容地位：从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准人教版九年级（上册）第三章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。
是中考的必考考点之一。
2、学习目标：（1）利用圆的对称性探究垂径定理。
（2）能运用垂径定理解决问题。
（3）全心投入，细心认真。
3、重点难点：学习重点：垂径定理的探究及运用。
学习难点：利用垂径定理解决问题。
二、学情分析1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。
2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础.三、教法学法分析教法分析：针对学生的认知水平和心理特征，在本节课，我将指导学生在小组合作的学习氛围中开展小组展示，有组织、有目的、有针对性的引导学生积极参与教学活动，并鼓励学生采用自主探索、合作交流的学习方式，在观察、思考、运用的过程中，养成全面、有序的思考问题的习惯学法分析：作为一节展示课，学生将在教师的带领下经历明确目标、温故知新、准备展示、展示所学、巩固提升等过程，培养学生独学静思、有效交流、积极合作、大胆展示的良好学习习惯。
四、教学过程及大致时间分配（1）明确目标、（1分钟）目标出示在黑板上，教师引导学生理解（2）温故知新（3分钟）采用个别提问的方式，复习基本知识点，为扎实做充分准备（3）分配任务，准备展示（5分钟）教师分配展示的任务，并指导学生做展示的前期准备。
（4）小组展示，变式训练（20分钟）学生分组有序展示，在展示中鼓励提问，可做变式训练。
要求展示者书写规范，过程完整，声音洪亮，表达流利，衔接紧凑。
（5）归纳梳理、整理学案（3分钟）学生将错误的题目整理，补充不完整的解题过程，要求用双色笔。
（6）反馈检测、巩固提高（12分钟）完成学案反馈检测部分，力争按下课能够完成。
五、教后反思垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中阶段圆中有关计算方面比较重要的一节。
本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。
第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。
第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。
其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。
具体经过以下5个步骤：（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。
（学生很感兴趣，有些同学折的是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。
）（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。
（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？（5）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。
通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。
当然，整节课也有许多不足之处。
例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。
比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。
（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。
（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。
总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。
要真正树立以学生的发展为本的教学理念。
只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。
第四篇：垂径定理教学设计垂径定理教学设计教学目标：1.使学生理解圆的轴对称性2.掌握垂径定理3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。
过程与方法1.通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。
情感、态度与价值观通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
教学重点：垂径定理及应用教学难点：垂径定理的理解及其应用教学用具：圆形纸片，小黑板教学过程：一、创设情景：地震造成我们小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是3CM，水面的宽度为6CM，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗？二、引入新课---揭示课题：1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴(3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。
2、请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。
（出示教具演示）引导学生分析直径CD 与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？导出本节课的课题.三、讲解新课---探求新知（1）实验--观察--猜想：让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理（3）对定理的结构进行分析（4）结合图形用几何语言表述（5）垂径定理的变式四、定理的应用：例1：（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是___________ 练习1：（08年福州中考）如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于C，若AB=8cm，OC=3cm，则圆O的半径长为多少？精讲点拨：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,半径r、弦半a/2、弦心距d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量例2：如图，两个圆都以点O为圆心，求证AC=BD 练习2：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证四边形ADOE是正方形.五、小结与反思：你学习了哪些内容？你有哪些收获？你掌握了哪些思想方法？你还有什么问题？六、课后拓展:1、（09年模拟）如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，则MN= ————．2、你能帮工人师傅解决水管替换问题了吗？3、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，AB和CD的距离为．七、布置作业：习题，1，９八、教学反思：CD=16，则第五篇：垂径定理评课稿垂径定理评课稿授课人：窦德辉评课人：袁小波窦老师上了一节出色的公开课很牛，体现在：一、从教学目标上看这节课的知识目标是求解圆的标准方程，能熟练运用待定系数法解题．能力目标是通过具体习题培养学生分析问题解决问题的能力及数形结合的思想法．首先，从教学目标制订来看，窦老师能根据本班的学情及课标的要求，合理用教材，精心选题，整堂课脉络清晰，容量适当，题型层次分明，重点突出，对教材的处理，还有例题、练习难易程度设置我觉得都是比较得当的。