用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系用向量的方法证明平行与垂直关系知识点一：求平面的法向量例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC → = 0.即⎩⎨⎧x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2yz ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．“用向量法”求法向量的解题步骤：（1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组⎪⎪⎨⎧=•0a n ；练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。

知识点二：利用向量方法证平行关系（1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则ll λ=⇔⇔////21（2）线面平行：①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；②设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαl ；③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//；②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.证方法一：∵1B C =1A D ，∴D A C B 11//，又11ODC D A 面⊂,11ODC C B 面⊄∴11//ODC C B 面证法二： ∵1B C =11B C +1B B =1B O +1OC +1D O +OD=1OC +OD .∴1B C，1OC ，OD 共面.又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体的棱长为1，则可得B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C＝(－1,0，－1)，OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1，1OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴1B C ⊥n ，∴B 1C∥平面ODC 1.【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．练习：如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC所在平面互相垂直，CF BE //，︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF .求证：//AE 平面DCF .证明：如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ， 则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，BE＝(0，b,0)，所以CB·AE → = 0，CB·BE = 0，从而CB⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF ，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系（1）线线垂直：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则021=⋅⇔⊥⇔⊥l l（2）线面垂直：①设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则αk a a l =⇔⇔⊥//；②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。

（3）面面垂直：①证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量0=⋅⇔⊥；②由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直.例3．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一点M ，使得M D 1⊥平面1EFB .解：建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M （2，2，m ），则EF=（-1，1，0），B 1E →=（0， -1， -2），1D M=（2，2，m -2）.∵ 1D M ⊥平面EFB 1，∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ， ∴1D M·EF= 0且1D M·B 1E → = 0，于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩∴m＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M⊥平面EFB 1.【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．练习：1．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使得平面⊥P B A 11平面DE C 1.2．在正三棱柱111C B A ABC -中，B A C B 11⊥. 求证：BA AC11⊥.证明 建立空间直角坐标系C 1—xyz ，设AB ＝a ，ADC E B1A P1B 1C 1DCC 1＝b.则A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，b ，C 1(0,0,0)．于是1A B =⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，b 1B C=（0，- a ，b ），1AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a2，－b .∵B 1C⊥A 1B ，∴ 1B C ·1A B ＝ －a 22＋b 2＝0,而1A C ·1A B ＝34a 2－14a 2－b 2＝a 22－b 2＝0∴ 1A C ⊥1A B即AC 1⊥A 1B. 课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(4)根据法向量定义建立方程组⎩⎨⎧a·n＝0b·n＝0.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法AB＝λCD→.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．跟踪练习：一、选择题1. 已知A（3，5，2），B（-1，2，1），把AB按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是( )A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1)C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0)答案 B AB＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．不能确定答案C解析∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( ) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)答案B解析，设B（x，y，z），AB=（x-2，y+1，z-7）=λ（8，9，- 12），λ>0.故x-2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ，又（x-22+（y+12+（z-72= 342，得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.∴x = 18,y = 17,z =-17,即B（18，17，- 17）.4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝15 2答案D解析∵l1∥l2，∴a∥b，则有23＝4x＝5 y ，解方程得x＝6，y＝152.5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l∥αB ．l⊥αC ．lα D ．l 与α斜交答案 B 解析 ∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l⊥α. 二、填空题6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23解析，AB=（1，2，2），|AB | = 3 .模为1的方向向量是±||ABAB ,7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM ·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案 (1,4，－5)(答案不唯一)解析 设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别为n 1，n 2，由题意得⎩⎨⎧n ·n 1＝0，n ·n 2＝0，即：⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，则有n ＝(1,4，－5)． 三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE∥平面B 1C 1F.证明 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ， 则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC =（0，2，1），DA=（2，0，0），AE=（0，2，1）.（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量,则n 1 ⊥DA， n 1⊥AE，即1,11·2·2,DA x AE y z ⎧=⎪⎨=+⎪⎩11n n 得1110,2,x z y =⎧⎨=-⎩令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为 FC1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.（2）∵11C B =（2，0，0），设n 2= (x 2, y 2, z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2⊥FC 1→,n 2⊥11C B ,得21222112·20,·20,n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩得 得2220,2,xzy =⎧⎨=-⎩令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE∥平面B 1C 1F.10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．10．证明：由题建立如图的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，21) 则-=-==(),0,2,2(),1,0,0(11AC ).21,0,2(),1,2,2-= 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为),,(1z y x n =则⎩⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅.02200011y x z AC n n 令x ＝1，得y ＝1．∴)0,1,1(1=n ．设平面AEC 1的一个法向量为),,(2z y x n = 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅021202200212z x z y x Az n AC n 令z ＝4，得x ＝1，y ＝－1∴)4,1,1(2-=n∵2121,040)1(111n n nn ⊥∴=⨯+-⨯+⨯=⋅．∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．。