高中数学证明线面平行的方法
高中数学证明线面平行的方法
在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。
下面介绍一些证明线面平行的方法：
1. 向量法
向量法是证明线面平行的常见方法。我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。
具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。
例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。
2. 三角形相似法
如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。
具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。
例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。
3. 平行四边形法
平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。
具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。
例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。
高中数学立体几何判定方法汇总
立体几何有关概念与公式 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法
高中数学证明线面平行的方法
高中数学证明线面平行的方法 在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。 下面介绍一些证明线面平行的方法： 1. 向量法 向量法是证明线面平行的常见方法。我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。 具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。 例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。 2. 三角形相似法 如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。 具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。 例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。 3. 平行四边形法
平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。 具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。 例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。 综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?□01a∥b?□02 a＝λb?□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α?□04a⊥u?□05a·u＝0?□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?□07u∥v?u＝λv?□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2?□09u1⊥u2?□10u1·u2＝0?□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?□12 u∥v?□13u＝λv(λ∈R)?□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?□15u ⊥v?□16u·v＝0?□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)
线面、面面平行的判定与性质（教师版） 知识回顾 1．线面平行的判定 （1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α． 2．线面平行的性质 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言描述： ? ??? ?a ∥α a ?ββ∩α＝ b ?a ∥b ． 3. 面面平行的判定 （1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交． ? ????m ?α n ?α m ∥βn ∥β ?α∥β 4．面面平行的性质 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号表示为： ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b ． 题型讲解 题型一 利用三角形中位线证明线面平行 例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.
求证：SA∥平面MDB. 答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB. 例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN∥平面PB1C. 答案证明：如图，连结AC， 则P为AC的中点，连结AB1， ∵M、N分别是A1A与A1B1的中点， ∴MN∥AB1. 又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C. 例3、如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD． 求证：EF∥平面PBC．
高中数学《直线与平面平行的判定》教案
高中数学《直线与平面平行的判定》教案 一、教学目标 1.了解平面和直线的性质。 2.学会判断平面和直线是否平行。 3.掌握平面和直线平行的性质和应用。 4.了解平面和直线的几何应用。 二、教学重点 1.直线和平面平行的概念、性质。 2.平行线的判定、条件。 3.平面和直线平行的判定、条件。 三、教学难点 平行线判定的学习。 四、教学方法 理论讲授、图像分析、练习、探究。 五、教学过程
1.导入 请学生回顾“平面”和“直线”的定义和性质。 2.提出问题 请学生思考如何确定平面和直线是否平行。 3.学习平行线的判定 （1）定义：“如果两条直线在同一平面内且不相交，则这两条直线互相平行。” （2）判定方法： ①同向性判定法：向同一方向延申出两条射线，如果两条射线在另一条直线上的同一侧，则两线平行；反之，不平行。 ②夹角大小判定法：如果两条线段及其相邻角之和为180度，则两线段是平行的。 ③斜率判定法：如果两条直线的斜率相等，则两直线平行。 4.学习平面和直线平行的判定 （1）定义：“如果一条直线和一个平面没有交点，那么这条直线在这个平面上的任意一条互不重合的直线上的任意一点和这
条直线的任意一点的连线就在这个平面上，这时这条直线与这个平面是平行的。” （2）判定方法： ①两直线平行，其中一条直线在所在平面内，则另一条直线与该平面平行。 ②直线与平面垂线所在的平面与给定平面互相平行。 ③如果一平面与一直线在空间中相交，并且在交点处的夹角是直角，则该平面与该直线平行。 5.练习 请学生完成平面和直线平行的练习题。 6.课堂巩固 请学生回答以下问题： （1）平行的两条直线斜率是否相同？ （2）如何确定两平面是否平行？ （3）如果一条直线在平面内，直线上有一点在平面外，这条直线与平面是否平行？
2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：1-5-1-1直线与平面平行的判定 Word
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§5平行关系 5．1 平行关系的判定 一直线与平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理 判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”) （1）如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行．( ）（2)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行．( ) （3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．( ）［答案］(1）×（2)√（3)× 题型一线面平行的判定定理的理解 【典例1】下列说法中正确的是( ) A．若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，bα，则a∥α D．若直线a∥b，bα，那么直线a平行于平面α内的无数条直线［思路导引］直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况．直线与平面内无数条直线平行，直线不一定与平面平行，有可能在平面内． [解析］选项A中，直线lα时l与α不平行; 直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确； 选项C中直线a可能在平面α内； 选项D正确．故选D。 ［答案] D 线面平行判定定理应用的误区 (1)条件不全,最易忘记的条件是aα与bα. （2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． ［针对训练1］有以下三种说法，其中正确的是( ) ①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥α，且bα,则a平行于经过b的任何平面. A．①②B．①③ C．②③D．① ［解析] ①正确．②错误,反例如图（1）所示．③错误,反例如图（2）所示，a，b可能在同一平面内．故选D.
高中数学立体几何证明定理及性质总结
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ⋂ ⊂ β α β α m l m l// // ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ⋂ = ⋂ β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⊄ ⊂ 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⊂ 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⊂ ⊂ 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⊂且相交 m l m l 三．垂直关系： l
1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥⇒⎪⎪ ⎭⎪⎪⎬⎫ ⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪ ⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊂⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊂⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥⎫ ⎪ ⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
高中数学几何证明定理
高中数学几何证明定理 高中数学几何证明定理大全 高中阶段的数学课程中，几何部分是一个绝对的教学重点，不少知识也是教学中的一个难点。下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。高中几何证明定理 一.直线与平面平行的(判定) 1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行. 2.应用:反证法(证明直线不平行于平面) 二.平面与平面平行的(判定) 1. 判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 2.关键：判定两个平面是否有公共点 三.直线与平面平行的(性质) 1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线 四.平面与平面平行的(性质) 1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行 2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行 五：直线与平面垂直的(定理) 1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直) 六.平面与平面的垂直(定理) 1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定) 2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换 七.平面与平面垂直的(性质) 1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行 2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没用,可以不用记) 以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!。 高中数学几何定理 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1 直角三角形的两个锐角互余 19推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法 线面平行，几何术语。定义为一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。下面给大家分享一些关于高中数学证明线面平行方法，希望对大家有所帮助。 一.线面平行判断方法 (1)利用定义：证明直线与平面无公共点; (2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行; (3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。 注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。 二.证明线面平行的方法 一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版 二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外 三，证明线面无交点 四，反证法(线与面相交，再推翻) 五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0) 三.高中数学必考知识点 必修一： 1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解) 2、基本的初等函数(指数函数、对数函数) 3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解) 首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。 它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。 所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。
同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。 必修二： 1、立体几何 (1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行 (2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。 立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。 在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行 在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。 必修三： 1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空) 2、统计： 3、概率：高考必考内容。 在学习算法初步、统计等内容的时候，要注意顺序渐进，不可追求一步到位，特别要注意其思想的重要性。 必修四： 1、基本初等函数(三角函数：图像、性质、高中重难点)这个是高考中占分最多的题目。 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。 三角函数的学习，对高中同学将进一步了解符号与变元、集合与对应、数形结合等基本的数学思想在研究三角函数时所起的重要作用，在式子与图形的变化中，教师应引导学生通过分析、探索、划归、类比、平行移动、伸长和缩短等常用的基本方法的学习，使学生在学习数学和应用数学方面达到一个新的层次。 同学在高中必考数学知识点归纳整理，一定要把平面向量最基本的知识讲解一定要整理归纳好，平面向量提高学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。所以同学们一定要重视起来。 必修五：
高中数学必修2点线面常用定理汇总
高中数学必修2 点、线、面知识小结 第一部分 课本相关概念 一、关于异面直线： 1.定义：不同在任一平面的两条直线； 既不平行也不相交的两条直线 2.异面直线夹角：对于异面直线l 和m ，在空间任取一点 P ，过P 分别作l 和m 的平行线1l 和1m ，我们把1l 和1 m 所成的角叫做异面直线l 和m 所成的角α 其中，⎥⎦ ⎤ ⎝⎛∈20πα， 3.异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线 两异面直线的公垂线段有且仅有一条 说明：两直线所成角θ的范围：⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∈20πθ， 二、关于线面角 1.直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，称直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线 2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角α ，⎥⎦ ⎤ ⎝ ⎛∈20πα， 当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为︒90 3.直线与平面所成角：记作“θ”，⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈20πθ， 三、关于二面角 1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分， 其中每一个部分都叫做一个半平面 2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 这条直线称为二面角的棱；两个半平面称为二面角的面 3.二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 二面角的大小用它的平面角的大小来表示 平面角是直角的二面角称为直二面角 4.二面角的范围：记作“θ”，[]πθ，0∈ 四、空间中的距离问题： 1.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长 2.点到平面的距离：平面外一点到平面的垂线段长 3.两异面直线间的距离：两异面直线间公垂线段的长 4.平行直线到平面的距离：直线上任一点到平面的距离 5.两平行平面间的距离： 其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 五、空间中的位置关系： 1.点与直线的位置关系：点在直线上；点不在直线上； 2.点与平面的位置关系：点在平面内；点不在平面内； 3.两直线的位置关系：相交，平行，异面； 空间中垂直有两种：相交垂直和异面垂直 4.直线与平面间的位置关系：直线与平面平行α//l ；直线与平面相交P l =α ；直线在平面内α⊆l 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种； 直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平面内 5.平面与平面的位置关系： 相交l =βα ；平行βα//；重合βα=； 第二部分 课本公理定理 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,且 ⇒ α⊆l 用途：常用来判断点在平面内；或者直线在平面内 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 推论 ①过直线与直线外一点，有且仅有一个平面 ②过两条相交直线，有且仅有一个平面 ③过两条平行直线，有且仅有一个平面 用途：常用来确定平面 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． βα∈∈P P 且 ⇒ l P l ∈=且,βα 用途：证明两平面相交；或三点共线；或三线共点 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a // 空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补 若方向相同，则两角相等；若方向相反，则两角互补 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 l B B A l ∉∈∉⊆,,,ααα⇒AB 和l 是异面直线 线面平行判定定理 若不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 m l m l //,,αα⊆⊄ ⇒ α//l 面面平行判定定理 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案
3.2.2 空间线面关系的判定 设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1， n 2，则有下表： 思考：否垂直？ [提示] 垂直 1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则 ( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交 B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.] 2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 6，－1，13， 则平面α与β的位置关系是________． 平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.] 3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1 与l 2的位置关系是________． 垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．
垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.] 利用空间向量证明线线平行 【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为 DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形． [证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→ 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)， E ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 1，1，12 ， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF → ， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →， 又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形． 1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直． 3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1. [证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则 得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ， F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→ ＝(－a ，b ，c )， ∴FE →＝13 AC 1→. 又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1. 利用空间向量证明线面、面面平行
高中数学-直线平面平行的性质及判定
一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯= 底31 3台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31 下下上上（ 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行． (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想． (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心． 求证：PQ ∥平面BCC 1B 1. 证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF . 又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+=
2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法专题03 证明平行的方法(解析版)
证明平行的方法 证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。下面对证明它们的方法归纳如下： 一、线线平行 证明线线平行的方法主要有以下几种： 1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线， ⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。 2.直线与平面平行的性质定理（,,a a b a b αβαβ⊂=⇒） 。 3.平面与平面平行的性质定理（,,a b a b α βαγβγ==⇒） 。 4.直线与平面垂直的性质定理（,a b a b αα⊥⊥⇒） 例1. 在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1是矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，点A ，B ，E ，A 1在一个平面 内，求证A 1E ∥AB . 证明：∵四边形ACC 1A 1是矩形，∴A 1C 1∥AC .又AC ⊂平面ABC ，A 1C 1⊄平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC .∵FC 1∥BC ，BC ⊂平面ABC ，∴FC 1∥平面ABC . 又∵A 1C 1，FC 1⊂平面A 1EFC 1，∴平面A 1EFC 1∥平面ABC .又∵平面ABEA 1与平面A 1EFC 1、平面ABC 的交线分别是A 1E ，AB ，∴A 1E ∥AB . 点评：本解法利用了平面与平面平行的性质定理。 变式.已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G,过点G 和AP 作一平 面交平面BDM 于GH. 求证:AP∥GH.
【高中数学】选择性必修第一册第一章 1
第2课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 知识点一 线线平行的向量表示 设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2. 知识点二 线面平行的向量表示 设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则 l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0. 知识点三 面面平行的向量表示 设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 . 思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定． 1．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n ＝(2,1，－1)，则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α 答案 D 2．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫－2，1，1 2，则平面β的法向量可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，12，1 4 B ．(2，－1,0) C ．(1,2,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1，2 答案 A 3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________． 答案 α∥β 解析 ∵u ＝－1 4 v ，∴α∥β.
一、证明线线平行 例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS . 证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M ⎝⎛⎭⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 则MN →，RS → 分别为MN ，RS 的方向向量， 所以MN → ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，RS →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23， 所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS → ，因为M ∉RS ， 所以MN ∥RS . 方法二 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→ ＝c ， 则MN →＝MB 1—→＋B 1A 1—→＋A 1N —→＝1 3c －a ＋12b ， RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝1 2b －a ＋13c . 所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS → . 又R ∉MN ，所以MN ∥RS . 反思感悟 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形． 证明 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→ 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎫1，1，12，