两个向量平行的条件
平面向量平行的条件
平面向量平行的条件
平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量。
向量v={X，Y，Z}平行于平面Ax＋By＋Cz＋D=0的充要条件为：AX＋BY＋CZ=0。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量平行（共线）条件的两种形式： 1、a=λb，则a∥b。
2、设a(x1,y1)、b(x2,y2)，若x1y2=y1x2，则a∥b。
相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。
两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。
只用这两个向量长度相等且方向相同即可。
平行向量公式：向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，x1y2-x2y1=0。
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
“向量共线”和“向量平行”是同一个概念。
假定与某一直线共线（平行）的所有向量组成一个集合A.正是由于规定了零向量与任何向量都平行，才有0∈A，于是这个集合A 中的向量才满足下面三条： 1、任给a，b∈A,总有a+b∈A； 2、任给a，c∈A，则必存在b∈A,使a+b=c成立.我们说b=c-a;(只有封闭的运算才有逆运算）。
3、任给a，b∈A,(a≠0)，则必存在惟一的实数λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,则b∈A。
向量垂直和平行的公式
向量垂直和平行的公式
向量垂直，平行的公式为：
若a，b是两个向量：a＝（x，y）b＝（m，n）；
则a⊥b的充要条件是a·b=0，即(xm+yn)=0；
向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0；
向量，最初被应用于物理学。
很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。
大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。
最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。
18世纪末期，挪威测
量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。
把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。
人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。
空间向量的平行与垂直定理
空间向量的平行与垂直定理空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
在研究物理、几何和力学等领域时，我们经常需要判断两个向量之间的关系，这个定理就为我们提供了一个有力的工具。
我们来研究两个向量的平行性。
如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的。
也就是说，如果向量A和向量B的方向相同或相反，我们可以写成A∥B。
这种平行关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B=|A||B|，那么向量A和向量B是平行的。
接下来，我们来研究两个向量的垂直性。
如果两个向量的数量积等于0，那么它们是垂直的。
也就是说，如果向量A和向量B的数量积为0，我们可以写成A⊥B。
这种垂直关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于0，即A·B=0，那么向量A和向量B是垂直的。
空间向量的平行与垂直定理在几何和物理问题中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们经常需要判断两条线段的平行性或垂直性。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们之间的关系。
这样，我们就可以得到准确的结论，避免了繁琐的几何证明过程。
在物理学中，空间向量的平行与垂直定理也具有重要的应用价值。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体受力的情况。
如果两个力的方向相同或相反，那么它们是平行的；如果两个力的数量积为0，那么它们是垂直的。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算向量的数量积来判断力的方向和性质，从而进行精确的力学分析。
除了在几何和物理中的应用，空间向量的平行与垂直定理还可以应用于其他领域。
例如，在计算机图形学中，我们经常需要计算向量的平行和垂直关系，以确定图形的方向和位置。
在工程学中，空间向量的平行与垂直定理可以应用于结构分析和力学设计等方面。
空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
两空间向量平行的公式
两空间向量平行是几何中的一个重要概念，它指的是两个向量的方向相同，但大小可能不同。
它的公式可以用来表示两个空间向量是否平行。
首先，我们来看一下两空间向量平行的公式：如果空间向量a和b是平行的，那么它们之间满足：a·b=|a||b|。
这里的·表示向量点乘，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。
如果a·b=|a||b|，则a和b是平行的，否则不是。
其次，我们来看一下这个公式的证明：设空间向量a和b的模分别为|a|和|b|，它们的夹角为α，则有a·b=|a||b|cosα。
当α=0时，cosα=1，即a·b=|a||b|，这时a和b是平行的。
第三，我们来看一下这个公式应用的例子：假设a=(1,2,3)，b=(2,4,6)，则|a|=3.7，|b|=7.2，a·b=20。
根据公式，a·b=|a||b|，即20=3.7*7.2，故a和b是平行的。
最后，我们可以用这个公式来解决一些几何问题，比如判断两条直线是否平行，判断两个平面是否平行，判断多边形的边是否平行等等。
总之，两空间向量平行的公式是几何学中的一个重要概念，它的公式可以帮助我们解决很多几何问题。
利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
高二数学向量垂直、平行的充要条件及应用(教师版)
学科教师辅导讲义【知识梳理】(1)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.课堂练习与讲解：(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝__2___时a r 与b r 共线且方向相同；(2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = 32 ；(3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___4__________．(4)已知向量5,(1,2)a b ==r r，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是__(25,5-)或___(25,5)-____。
(5)若()221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r，则b a ρρ与的夹角为_____045______。
(6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ）A ．17B ．18C ．19D ．20(8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = 5 ． (9)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－）， 则向量+a b （ C ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线(10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ D ） A ．-2B ．0C ．1D ．2（11）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝__ 4 ____；（12）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是_（1，3）或（3，-1）_____ __；（13）已知(1,2)n =r 向量n m ⊥r u r ，且n m=r u r ，则m u r 的坐标是 _ (2,1)-或(2,-1)___(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则 k= 34-_ (15)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r ，则顶点D 的坐标为（ A ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，(16)已知向量(2,4)a =， (1,1)b =．若向量 ()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 -3 ．(17)已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 60° ．(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ B ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93-- (19)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ D ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向(20)已知点(1,2)A -,若向量AB u u u r 与(2,3)a =r同向, ||AB u u u r =213,则点B 的坐标为 ( 5, 4 )或（-3，-8） .(21)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r,则tan α=（ C ）.A ．34 B. 34- C. 43 D. 43- (22)若，且，则向量与的夹角为（ C ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° (23)若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a （-1，1）或（-3，1） .(24)设向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()a b c -⊥r r r ，a b ⊥r r，若｜a r ｜=1,则 ｜a r ｜22||b +r +｜c r ｜2的值是 4 .(25)（本题12分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=,25且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：⑴设20,52,52||),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x c Θ23.已知ABC V 和ABC V 所在平面内一点O ,且,OA BC OB CA ⊥⊥,用向量的方法证明：OC AB ⊥.24．如图，一个质量为40N 的物体，由两根绳子,AC BC 悬挂起来，若,AC BC 与铅垂线所成的角分别为30°，45°，且物体静止不动，求绳子,AC BC 需要承受多大的力？答案：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.16 122233a b -rr 13.4 14.26-或 15.612,55⎛⎫- ⎪⎝⎭16.750焦耳 17.a b +r r 18.②④⑤19.()()6,86,8--或 20.221 21略 22略23.只要证明0OC AB =u u u r u u u rg24.()()4031,20231AC BC F N F N =-=-ABC。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
向量平行公式和垂直公式
向量平行公式和垂直公式向量是一个有大小和方向的量，表示空间中的一条有向线段。
向量可以相互作加法和数乘运算，从而形成向量空间。
在向量运算中，平行和垂直是非常常见的概念，对于解题有很大帮助。
下面将介绍向量平行公式和垂直公式。
1. 向量平行公式向量 a 和向量 b 是平行的，当且仅当它们的方向相同或相反，即 a // b 或a // -b。
向量平行的判定方法有很多种，其中最常用的是点积法和叉积法。
点积法适用于二维和三维空间，而叉积法则只适用于三维空间。
这里先介绍点积法。
点积法：给定向量 a = (a1, a2, a3) 和向量 b = (b1, b2, b3)，则它们平行的充分必要条件是它们的点积等于它们的模的积：a ·b = |a| |b|其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模，也就是长度。
该公式可以用向量的坐标进行计算，即：a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3如果向量 a 和向量 b 的点积为 0，则它们垂直；如果点积为正，则它们锐角；如果点积为负，则它们钝角。
因为当它们垂直时，点积等于 0；当它们平行时，点积等于模的积；当它们夹角为其它角度时，点积小于模的积。
2. 向量垂直公式向量 a 和向量 b 是垂直的，当且仅当它们的点积等于 0，即 a ⊥ b。
向量垂直的判定方法只有一个，就是点积法。
点积法：给定向量 a = (a1, a2, a3) 和向量 b = (b1, b2, b3)，则它们垂直的充分必要条件是它们的点积等于 0：a ·b = 0同样，这个公式也可以用向量的坐标进行计算，即：a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0如果向量 a 和向量 b 的点积为 0，则它们垂直；如果点积不为 0，则它们不垂直。
当它们夹角为 90°时，点积等于 0；当它们夹角为其他角度时，点积不等于 0。
总结：向量平行公式：a · b = |a| |b| 或 a // b 或 a // -b向量垂直公式：a · b = 0 或 a ⊥ b这两个公式在向量运算中非常重要，能够帮助我们解决许多问题，如：判断两个向量是否平行或垂直；计算向量的夹角等。
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两个向量平行的条件
1、向量平行的定义：
首先，要了解什么是“向量平行”，它是一种几何概念，指两个向量用
它们的方向相同，即具有相同的夹角。
向量平行时，它们的模也会相同，模指向量单位长度，有时也称为向量的大小。
2、向量平行的充分必要条件：
向量平行的充分必要条件是，两个向量的方向相同、模相等。
如果满
足这两个条件，则它们必定平行；反之，如果两个向量的方向或模不同，则它们一定不平行。
另外，还可以通过角度和投影来表示两个向
量是否平行，这样能够更准确地确定两个向量是否平行。
3、用向量表示法确定向量平行：
如果用向量表示法表示向量，可以直接确定两个向量是否平行，不用
比较它们的夹角和模。
判定的方法是：两个向量u=(u₁，u₂)和v=(v₁，v₂)，如果u/|u|=v/|v|，即u÷|u|（u的模）=v÷|v|（v的模），那么u和v
就是平行的。
4、注意的细节：
另外，在判断向量平行时，要注意0向量与任何向量都是平行的，同时，向量u和-u（反向量）也是平行的，因为它们的方向相反，但其夹角为180°，也就是说，它们的夹角是相同的，模也是相同的。