材料力学纯剪切互等定理
材料力学复习总结
材料力学（拉伸压缩，剪切，扭转，弯曲）对比复习一，拉伸与压缩概念，公式，应用：1，与轴力FN 对应的应力是正应力 ：-------与直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力：垂直于斜截面的正应力： 相切与斜截面的切应力：2，卸载定律：材料在卸载过程中应力和应变是线性关系。
冷作硬化：材料的比例极限增高，延伸率降低。
3，强度条件：强度校核-- ；设计截面- 许可载荷-- 4，轴向拉伸或压缩时的变形：纵向变形： ，（ EA 为抗拉刚度）， 其中为胡克定律的表达式，E 为弹性模量（因材料而不同）。
5，轴向拉伸或压缩时的应变能：固体在外力作用下，因变形而储存的能量。
，有胡克定律知：N F Aσ=2cos cos p αασασα==sin cos sin sin 22p ααστασααα===[]σN F A ≥[]σA F N ≤1l l l ∆=-l =εN A A σ==E Elσε==N F l Fll EA EA∆==12W F l =∆12V W F l ε==∆2122Fl F lF EA EA==6，静定问题：杆件的轴力都可由静力平衡方程解出； 超静定问题：杆件的轴力并不能全由静力平衡方程解出。
{超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高}7，温度应力：，杆件的温度变形（伸长）： ，杆端作用产生的缩短：变形条件：应用：为了避免过高的温度应力，可以增加伸缩节，留有伸缩缝。
二，剪切的相关问题；剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。
变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。
1，切应力强度条件：纯剪切：薄壁圆筒扭转时的切应力 ，2，切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
T l l T lα∆=∆⋅RB F l l EA∆=-0T l l l ∆=∆+∆=RB l F lT l EAα∆⋅=[]ττ≤=AF s2e M r rπδτ=⋅⋅22e M r τπδ=3, 纯剪切：只有切应力并无正应力。
《材料力学》学习指导
《材料⼒学》学习指导《材料⼒学》学习指导⼀、《材料⼒学》课程的总体把握1.《材料⼒学》的任务材料⼒学是继理论⼒学之后开设的⼀门专业基础课。
理论⼒学研究物体（刚体）在⼒的作⽤下的平衡与运动规律，材料⼒学研究构件（变形体）的承载能⼒。
材料⼒学的研究对象为变形固体，且仅限于⼯程结构中的杆件。
所有⼯程结构与构件均为变形体，⽽⼯程结构中杆件受⼒后多为⼩变形体，讨论⼩变形体的平衡问题时，⽐如：求⽀反⼒时，可近似⽤刚体⼒学的理论。
⼤部分⼯程材料可近似为连续、均匀、各向同性（变形固体的理想模型）与完全弹性的理想材料。
构件的承载能⼒表现为三个⽅⾯：构件抵抗破坏的能⼒，称为强度；构件抵抗变形的能⼒，称为刚度；构件保持原有构件形状的能⼒，称为稳定性；所以材料⼒学的任务是在理想材料和⼩变形的条件下，研究杆件的强度、刚度与稳定性。
2.掌握《材料⼒学》的研究⽅法材料⼒学⾸先研究杆件在四种基本变形下的内⼒、应⼒与变形。
计算静定结构的内⼒的⽅法为截⾯法，要⽤到刚体⼒学的理论，所以要对理论⼒学中平衡条件的灵活应⽤相当熟练。
讨论应⼒与变形时，要从杆件的整体变形与局部变形之间的⼏何关系、应⼒与应变之间的物理关系、内⼒与应⼒之间的静⼒学关系三⽅⾯⼊⼿。
其中⼏何关系是在试验观察与假设条件下建⽴起来的；物理关系是通过⼤量试验总结得来的；静⼒学关系是由内⼒与应⼒的等效条件通过积分得到的。
对于组合变形下的内⼒、应⼒与变形计算，只需要在四种基本变形的基础上，利⽤叠加原理即可。
如何解决组合变形下的强度问题，需研究危险截⾯上危险点的应⼒状态，通过简单试验观察到的各种材料的破坏现象，提出复杂应⼒状态下的破坏假说(强度理论），进⽽建⽴强度条件。
3.掌握《材料⼒学》的学习⽅法材料⼒学是⼀门典型的理论与实验相结合的课程，其基本概念很多，知识综合性较强，题⽬灵活多变。
该课程在基础课与专业课之间，充当着纽带与桥梁的作⽤。
要学好材料⼒学，不可能⼀蹴⽽就，要有吃苦耐劳的精神。
材料力学复习笔记
材料力学（一)轴向拉伸与压缩【内容提要】材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。
为设计既安全可靠又经济合理的构件,提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。
【重点、难点】重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。
【内容讲解】一、基本概念强度—-构件在外力作用下，抵抗破坏的能力，以保证在规定的使用条件下,不会发生意外的断裂或显著塑性变形.刚度-—构件在外力作用下，抵抗变形的能力，以保证在规定的使用条件下不会产生过分的变形。
稳定性--构件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保证在规定的使用条件下,不会产生失稳现象。
杆件——一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件或简称杆。
根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。
二、材料力学的基本假设工程实际中的构件所用的材料多种多样，为便于理论分析，根据它们的主要性质对其作如下假设。
(一）连续性假设-—假设在构件所占有的空间内均毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。
这样，构件内的一些几何量，力学量(如应力、位移）均可用坐标的连续函数表示,并可采用无限小的数学分析方法。
（二)均匀性假设——很设材料的力学性能与其在构件中的位置无关。
按此假设通过试样所测得的材料性能，可用于构件内的任何部位（包括单元体).(三)各向同性假设——沿各个方向均具有相同力学性能。
具有该性质的材料，称为各向同性材料。
综上所述，在材料力学中,一般将实际材料构件，看作是连续、均匀和各向同性的可变形固体。
三、外力内力与截面法（一）外力对于所研究的对象来说,其它构件和物体作用于其上的力均为外力，例如载荷与约束力.外力可分为:表面力与体积力;分布力与集中力；静载荷与动载荷等.当构件（杆件)承受一般载荷作用时，可将载荷向三个坐标平面（三个平面均通过杆的轴线，其中两个平面为形心主惯性平面）内分解，使之变为两个平面载荷和一个扭转力偶作用情况.在小变形的情况下，三个坐标平面内的力互相独立，即一个坐标平面的载荷只引起这一坐标平面内的内力分量,而不会引起另一坐标平面内的内力分量。
材料力学第三章纯剪切
3-3 纯剪切
刚性圆环绕轴线发生相对转动
8-2 20:00
四、剪切胡克定律
回忆：拉压胡克定律：横截面上正应力和横截面上的点沿着轴线方向线应变之间的关系；切应力和角应变之间的关系；
横截面切应力比不超过比例极限；工作在线弹性范围内
角应变和切应力之间满足胡克定律；
1、A
2、成立剪切胡克定律不成立；
3、对
4、轴的转速越高，直径越大还是越小？
总结
1、受到什么样的外力，构件发生扭转变形；
受到一组力偶矩失与杆件的轴线平行的外力偶发生扭转变形；
2、这样的外力偶在杆件的横截面上产生何种内力？
产生扭矩，其力偶矩失与杆件的轴线平行；
3、在进行扭矩大小计算的时候，要求截面法截开以后要求内
力设正，不管外力偶方向如何，力偶矩失永远远离求内力的截
面。
4、方程：以内力的方向为正，同向相加反向相减。
5、怎么来做扭矩图？
N个外力偶把杆件分成N-1段，两个力偶之间一个截面，两
个外力偶之间内力不变
6、怎么确定危险截面
扭矩偏大，截面尺寸偏小的截面；
7、轴的合理受力问题，什么情况下轴的受力最合理；
最大扭矩绝对值要最小，轴的受力最合理；
8、切应力互等定理？
互相垂直的两个面上切应力成对出现；
切应力方向：同时指向或者同时远离
9、切应力互等定理适用于什么范围？
扭转变形过程中的任何阶段；
10、切应力和产生角应变，剪切胡克定律适用范围？
线弹性范围
做实验；18章4节圆轴的塑性扭转。
纯剪切切应力互等定理剪切胡克定律
解：1.板的拉伸强度
2.板的剪切强度
Fs F 50103 A 4a 4 0.08 0.01
15.7106 15.7MPa [ ]
FN F A (b 2d )
50 103
(0.15 2 0.017) 0.01
43.1106 43.1MPa [ ]
15
§3-1 连接件的强度计算
d
b
a
3.铆钉的剪切强度
Fs A
4F 2πd 2
2F πd 2
2 50103 π 0.0172
110106 110MPa [ ]
4.板和铆钉的挤压强度
bs
Fbs Abs
F
2d
9
§3-1 连接件的强度计算
Fs F
A lb
bs
Fbs Abs
F cb
10
§3-1 连接件的强度计算
4F
d 2
F 2
dh
Fs A
4F
d 2
bs
Fbs Abs
F dh
2
为充分利用材
料切应力和挤压应
力均达到最大值。
27
§3-2 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
三.剪切胡克定律
G
其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
28
§3-2 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、G、 μ存在关系
G E
材料力学——精选推荐
轴向拉压杆横截面上的应力：正应力：σ=N/A；应力单位N/m2，即Pa。
轴向拉压杆斜截面上的应力：总应力：pα=N/Aα=σcosα；正应力：σα=σcos2α；剪应力：τα= =(σsin2α)/2。
α：由横截面外法线转至斜截面外法线的转角，以逆时针转动为正；Aα：斜截面的面积；σα：拉应力为正，压应力为负；τα：以其对脱离体内一点产生顺时针转动为正，反之为负。
最大剪应力发生在α=±45°处的斜截面上。
轴向拉伸的变形：轴向变形△L=L’-L；ε=△L /L；横向变形：△a=a’-a；ε’=△a/a；虎克定律：应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比。
即：σ= Eε；△L= NL/ EA；EA为杆件的抗压（拉）刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。
泊松比ν：应力不超过材料的比例极限时，ν=|ε’/ε|，ν是材料的弹性常数之一，无量纲。
变形能：杆件在外力作用下因变形而存储的能量。
轴向抗压杆的弹性变形能：U=N△L/2。
比能：单位体积存储的变形能。
u=σε/2。
单位：J/m3。
名义剪应力：假定剪应力沿剪切面均匀分布的。
则：τ=V/A V。
A V：剪切面面积。
纯剪切：单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力称为纯剪切。
纯剪应力引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。
单位为rad。
规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。
剪应力互等定律：在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线。
τ=τ’。
剪切虎克定律：剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ=Gγ；G：剪切模量。
对各向同性材料，G=E/2(1+ν)。
扭转：杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。
变形特征：杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。
扭转角φ：杆件任意两横截面间相对转动的角度。
扭矩M T：受扭截面上的内力，是一个在截面平面内的的力偶，其力偶称为力偶矩。
材料力学第二章
第二章 剪切与挤压1．剪切力互等定理适用情况有下列四种答案：（A ） 纯剪切应力状态；（B ） 平面应力状态，而不论有无正应力作用；（C ） 弹性范围（即前应力不超过剪切比例极限）；（D ） 空间任意应力状态；正确答案是 。
2．图示A 和B 的直径都有为d ，则两者中最大剪应力为：（A ） 24d a bP π； （B ） ()24d a P b a π+； （C ）()24d b P b a π+； （D ） 24db aP π；正确答案是 。
3．铆接头的连接板厚度 t = d ，则铆钉剪应力 =τ ，挤压应力 bs σ= 。
P/2P/24．图示在拉力P 的作用下的螺栓，已知材料的剪切许用应力 []τ 是拉伸许用应力][σ的0.6倍。
螺栓直径 d 和螺栓头高度h 的合理比值是 。
5．拉杆头部尺寸如图所示，已知 []τ =100MPa ，许用挤压应力[]MPa bs 200=σ 。
校核拉杆头部的强度。
6．在铆接头中，已知钢板的 MPa 170][=σ ，铆钉的 MPa 140][=τ ，许用挤压应力 MPa bs 320][=σ 。
拭校核强度。
7．在金属板上冲圆孔时，把板放在有圆孔的砧上，用圆柱形的冲头向下冲，如图所示（砧孔和冲头的直径应与要冲的孔直径相配合）。
设有厚度t = 6 mm 的金属板，要冲出直径d = 20 mm 的圆孔。
已知板的剪切强度极限 MPa b 330=τ 。
试求冲头应加于板上的压力 b Pb=100 t=10 t=108．把三块尺寸相同的木块胶合起来，如图所示。
若P=10KN时，该胶合联接被剪开，试计算胶合处的平均抗剪强度。
9．图示木榫接头，F=50KN，试求接头的剪切与挤压应力。
材料力学重点及公式(期末复习)
1、材料力学得任务：强度、刚度与稳定性；应力单位面积上得内力。
平均应力（1、1）全应力（1、2）正应力垂直于截面得应力分量，用符号表示。
切应力相切于截面得应力分量，用符号表示。
应力得量纲：线应变单位长度上得变形量，无量纲，其物理意义就是构件上一点沿某一方向变形量得大小。
外力偶矩传动轴所受得外力偶矩通常不就是直接给出，而就是根据轴得转速n与传递得功率P来计算。
当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为拉（压）杆横截面上得正应力拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3 -1)式中为该横截面得轴力，A为横截面面积。
正负号规定拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）得适用条件：（1）杆端外力得合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处得横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；（4）截面连续变化得直杆，杆件两侧棱边得夹角时拉压杆件任意斜截面（a图）上得应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力（3-3）切应力（3-4）式中为横截面上得应力。
正负号规定：由横截面外法线转至斜截面得外法线，逆时针转向为正，反之为负。
拉应力为正，压应力为负。
对脱离体内一点产生顺时针力矩得为正，反之为负。
两点结论：（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。
当=时，即纵截面上，==0。
（2）当时，即与杆轴成得斜截面上，达到最大值，即1．2 拉（压）杆得应变与胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形轴向线应变横向变形横向线应变正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应力不超过材料得比例极限时，应力与应变成正比。
即（3-5）或用轴力及杆件得变形量表示为 (3-6)式中EA称为杆件得抗拉（压）刚度，就是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力得量。
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材料力学纯剪切互等定理
材料力学是研究物体在受力作用下产生变形和破坏的学科。
而纯剪切互等定理是材料力学中的一个重要定理，描述了材料在受到纯剪切力作用下的变形规律。
本文将对纯剪切互等定理进行详细阐述。
纯剪切互等定理，简称剪切互等定理，是材料力学中的一项基本原理，它表明，在材料受到纯剪切力作用时，剪切变形量与切变应力之间的关系是线性的。
具体而言，剪切互等定理指出，在纯剪切作用下，材料中各点的切变应力与切变变形量之间的比值是一个常数。
剪切互等定理可以用数学公式表示为：γ = G/τ，其中γ表示切变应变，G表示材料的剪切模量，τ表示切变应力。
根据这个公式可以得出，切变应变与切变应力成正比，且比例系数为材料的剪切模量。
剪切互等定理的提出是基于实验观察和理论分析，通过大量实验数据的统计和分析，得出了剪切互等定理。
实验表明，在材料受到纯剪切力作用时，无论材料的形状和尺寸如何变化，切变应变与切变应力之间的比值始终是一个常数。
这个常数就是材料的剪切模量，它是材料的一个重要力学参数，用来描述材料的抗剪切性能。
剪切互等定理的应用非常广泛。
在实际工程中，我们经常需要计算材料在受到剪切力作用时的变形和应力分布。
剪切互等定理提供了
一种简化的计算方法，可以通过测量材料的剪切模量和施加的剪切力，就可以得到材料在剪切作用下的变形和应力分布。
这对于工程设计和材料选择非常有帮助。
除了在工程中的应用，剪切互等定理还在材料科学和材料制备中起着重要作用。
通过研究材料的剪切变形规律，可以了解材料内部的微观结构和性能变化。
这对于材料的改性和优化具有重要意义。
例如，在金属材料的加工过程中，剪切互等定理可以用来预测材料的变形行为和应力分布，从而优化加工工艺，提高产品质量。
剪切互等定理是材料力学中的一个重要定理，它描述了材料在受到纯剪切力作用下的变形规律。
通过测量材料的剪切模量和施加的剪切力，可以得到材料的变形和应力分布。
剪切互等定理在工程设计和材料制备中有着广泛的应用。
通过研究材料的剪切变形规律，可以优化加工工艺，改善产品质量。
剪切互等定理的研究和应用为材料科学和工程技术的发展提供了重要的理论基础。