材料力学002第二章轴向拉压与剪切
材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
02第02章 轴向拉压应力与剪切.
四、拉压杆的强度计算
1、极限应力、许用应力
⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过 大变形而不能安全工作时的最小应力值。“σjx”（σu、σ0）
⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“〔σ〕”
jx
n
（其中n为安全系数值＞1）
⑶安全系数取值考虑的因素： （1）给构件足够的安全储备。
F
28
cos cos2
F
sin
2
sin
2
2、符号规定
n
p
⑴、α：斜截面外法线与x轴的夹角。
x 轴正向逆时针转到 n 轴“α”规定为正值；
x 轴正向顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。 ⑵、σα：同“σ”的符号规定
⑶、τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
aAB 1000 31.6mm
60KN
40KN
BC
X 40kN 100kN
37
例：
B
Y
FNAB
33000 0
A
300
C
F
FNAC
X
F
已知：三角架 ABC 的〔σ〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。
5、应力的计算公式：
由 lim FN dFN 0 dA
可得
dA
A
FN
由于“均布”，可得
dA
A
FN
A FN
FN ——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
A
25
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
材料力学第2章 拉伸 压缩 剪切
[ ]
s
ns
强度条件：
FN ＝ [ ] A
安全系数的确定
1)
2)
材质情况
载荷情况
3)
4)
计算精度
零件工作情况
5)
对自重的要求
例2 某拉伸试验机的结构示意图如图所示，试验机 的CD杆与试件AB材料相同，其ζp=200MPa， ζs=240MPa， ζb=400MPa。试验机最大拉力为 100kN。 (1) 用这一试验机作拉断试验时， 试件直径最大可达多大？
D
2 M A 2 FCD a F 2a 0 FCD 2a 4Fa l EA EA
FCD 2 2F
8 2Fa B 2 2l EA
例2：图为一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径 d=20mm，BD杆为8号槽钢，E=200MPa，试 求B点的位移。设F＝60kN。 FN2 3/5-FN1=0 FN2 4/5-F=0 FN2=5F/4=75kN FN1=3F/4=45kN BB1=Δ ll=0.86×10-3m BB2=Δ l2=0.732×10-3m
FN 1
2F [ ] A 31
3 1 F [ ] A 21.86( kN ) 2
FN 2
例： 杆系结构如图所示，已知杆AB、AC 材料相
同，[ζ]=160MPa，载荷F=20kN，试设计杆
的横截面面积。
B
30o 45o
FN 1 sin 30 FN 2 sin 45
l BD
FNBD l1 1.05 10 4 m EA1
l DC 0.52 104 m lCA 0.52 104 m
l AB l BD l DC lCA 1.05 104 m
材料力学 第二章 轴向拉压、剪切挤压
第一部分 作轴力图2-1c 试求图示各杆1-1 2-2 3-3 截面上的轴力，并作轴力图。
(b ')(c ')F N 1(d ')解：方法一：截面法（1）用假想截面将整根杆切开，取截面的左或右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)所示。
列平衡方程求轴力： (b) 图：110000xN N F F F =→-=→=∑ (c) 图：220404()xN N FF F F F =→-=→=∑拉 (d) 图：330303()xN N FF F F F =→-=→=∑拉（2）杆的轴力图如图（e ）所示。
方法二：悬臂法。
（为方便理解起见，才画出可以不用画的 (b ‘)、(c ‘)、(d ‘) 图，)作题的时候可用手蒙住丢弃的部份，并把手处视为“固定端”，指向“手固定端”的力引起负的轴力，反之引起正的轴力） （1）因为轴力等于截面一侧所有外力的代数和：N F F=∑一侧。
故：10N F = 24()N F F =拉 33()N F F =拉（2）杆的轴力图如图（e ）所示。
方法三：动点轨迹方法。
根据杆件的平衡求出杆左端的约束反力为4F 。
从左到右画轴力图，凡是向左的力轴力图向上突变（轴力值增大），向右的力轴力图向下突变（轴力值变小），即左上右下，突变之值是该处集中力的大小，轴力图从零开始最后回归到零。
补充1： 试画求图示各杆的轴力图。
(c ')(e ')(d ')(kN)20455(f)(kN)205455(f ')题5-1aF NF N解：方法一：截面法（1）用假想截面将整根杆切开，取截面的右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。
列平衡方程求轴力： (b) 图：11020020()xN N F F F kN =→-=→=∑拉(c) 图：2202025020255()xN N FF F kN =→--=→=-=-∑压(d) 图：330202550020255045()xN N F F F kN =→-+-=→=-+=∑拉 (e) 图：440202550400202550405()xN N FF F kN =→-+--=→=-+-=∑拉（2）杆的轴力图如图（f ）所示。
材料力学第2章-拉伸、压缩与剪切
第2章 拉伸、压缩与剪切1、轴向拉伸与压缩概念：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
2、直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力内力：把拉伸时的轴力（轴力背向截面）为正，压缩时轴力（轴力指向截面）为负。
应力：平面假设（变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
）规定：拉应力为正，压应力为负。
AF A dA F N A N =⇒==⎰σσσ 式中N F 为轴力，A 为横截面面积，σ为正应力。
3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力ασσα2cos = αστα2sin 2= 式中ασ和ατ分别为斜截面的正应力和切应力，σ为横截面的正应力，α为斜截面与横截面的夹角。
4、材料拉伸时的力学性能 应变：ll ∆=ε l ∆为伸长量，l 为原始长度。
（1）弹性阶段：应力σ与应变ε成正比，即εσE =。
其中E 为与材料有关的比例常数，为弹性模量。
直线部分的最高点a 所对应的应力p σ为比例极限。
b 点所对应的应力e σ为弹性极限。
（2）屈服阶段：通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服点，用s σ表示。
其是衡量材料强度的重要指标。
（3）强化阶段：强化阶段中的最高点e 所对应的应力b σ是材料能承受的最大应力，称为强度极限。
其是衡量材料强度的另一重要指标。
（4）局部变形阶段：某一局部的横向尺寸急剧缩小，形成缩颈现象。
伸长率：%1001⨯-=ll l δ 塑性材料：%5>δ 脆性材料：%5<δ 断面收缩率：%1001⨯-=A A A ψ A 为原始横截面积，1A 为最小横截面积 5、材料压缩时的力学性能低碳钢压缩时的弹性模量E 和屈服极限s σ与拉伸时相同。
但是得不到强度极限。
铸铁的抗压强度极限比抗拉极限高5~4倍。
6、失效、安全因数和强度计算脆性材料断裂时的应力是强度极限b σ，塑性材料屈服时的应力是屈服极限s σ，这二者是构件失效时的极限应力。
材料力学 第二章拉伸、压缩与剪切
根据轴力图可以显示各段轴力的大小以及各段的变形是拉伸或压缩
9
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
2.应力
轴力的大小并不能用来判断杆件是否有足够的强度，如：
F
F
F
F
细杆先被拉断，说明拉杆的强度不仅与轴力的大小有关，还 与拉杆的的横截面有关，所以必须用横截面上的应力来度量 杆件的受力程度。
3
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
1.轴向拉伸与压缩的实例
2.拉伸压缩动画示范
5
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
3.拉伸与压缩的受力特点
作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件的轴 线重合，杆件变形是沿轴线方向伸长或缩短的。
6
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应 力
F1 FN1 0 FN1 F1 2.62 KN (压力)
F1 F2 FN2 0 FN2 F1 F2 1.32KN(压力)
FN 2 F3 0 FN 2 F3 1.32 KN (压力)
8
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
轴力图:用平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置， 用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从 而绘出表示轴力沿杆轴变化规律的图线。
铸铁压缩时，仍在较小在变形下
突然破裂，破坏断面的法线与轴
线大致成45°角。表明沿斜截面
相对错动而破坏。抗压强度约比
抗拉强度高4－5倍。
24
§2-7 失效、安全因数和强度计算
一、失效 构件因强度、刚度、稳定性等原因不能正常工作。 强度条件引起的失效： 脆性材料制成的构件在拉应力下，当变形很小时就突然断裂； 塑性材料制成的构件在拉断之前已经出现塑性变形，由于不 能保持原有的形状和尺寸，它已经不能正常工作。断裂与出现 塑性变形统称为失效。
【可编辑全文】材料力学-第二章-拉压与剪切
班级 学号 姓名1 试求图示杆件1－1、2－2、3－3横截面上的轴力，并作轴力图。
2、油缸盖与缸体采用6个螺栓连接，如图示。
已知油缸内径D=350mm ，油压p=1MPa 。
若螺栓材料许用应力［ ］=40MPa ，求螺栓的内径。
题1图140 kN 30 kN20 kN122 33班级 学号 姓名3 图示木制桁架受水平力P 作用。
已知P=80kN[][]MPa MPa 10,8==压拉σσ，试设计AB 、AD 两杆的横截面积。
4 图示结构，杆1、2的横截面均为圆形，直径分别为d 1=30mm , d 2=20mm 。
两杆材料相同，许用应力[σ]=160MPa ，在节点A 处受铅直力P=80kN 。
试校核结构的强度。
A B C D P60° 60° 30° 30°BC A P 12 30° 45°班级学号 姓名5、某铣床工作台进给油缸如图示，缸内油压p=2MPa ，油缸内径D=75mm ，活塞杆直径 d=18mm 。
已知活塞材料的许用应力［σ］=50MPa ，试校核活塞杆的强度。
6、简易吊车如图所示。
AB 为木杆，横截面积 21cm 100=A ，许用压应力[]MPa 71=σ。
BC 为钢杆，横截面积22cm 6=A ，许用拉应力[]MPa 1602=σ。
试求许可吊重F 。
F30°AB C木杆 钢杆第二章 拉伸、压缩和剪切班级 学号 姓名7、 图示拉杆沿斜截面m －m 由两部分胶合而成。
设在胶合面上许用拉应力[]MPa 100=σ，许用切应力[]MPa 50=τ，并设胶合面的强度控制杆件的拉力。
试问：为使杆件承受最大拉力F ，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为4cm 2，并规定α≤60°，试确定许可载荷F 。
8、变截面杆如图所示。
已知：21cm 8=A ，22cm 4=A ， GPa 200=E 。
试求杆的总伸长l ∆。
002-材料力学_轴向拉压
σ
F FN
σ =
FN A
拉应力为正 压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
公式适用于轴载作用的杆件。 公式适用于轴载作用的杆件。 变截面杆或分布轴载作 用下横截面正应力计算
σ ( x) =
FN ( x ) A( x )
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ F σ
τ= σ
σ
2
σ
τ=
2
σ
F
2 σ τ= 2
ρgπ
l
ξ )2
叠加原理适用
FN (0) = F
FN (l ) = ( F + P)
dFN ( x) ρgπ 2 d1 (d 2 d1 ) d d ρgπ d d = [d1 + 2 x + ( 2 1 )2 x2 ] = (d1 + 2 1 x) 2 = p( x) dx 4 l l 4 l
单向(单轴) 单向(单轴)应力状态
σ
2
σ τ = 2 σ
2
2
讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应 作顺时针转动的趋势为正。 切应力以使隔离体有作顺时针转动的趋势为正。 力的关系， 力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应 σ max = σ 0 = σ τ0 = 0 横截面上 变相同，即变形是均匀的。 变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分 σ min = σ 90 = 0 τ 90 = 0 布。 纵截面上 σ Fα = ∫ Aoα p α dAτ max p ατ ∫ Aα=dA = p α σ α = σ = = A F
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面， 横截面是杆件内最有代表性的截面， 其上的内力可用截面法求出。 其上的内力可用截面法求出。 由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), ), 轴力。 称为轴力 称为轴力。 由 ∑ Fx = FN ( x) F = 0
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（2）理论与实际的差异。
28
2、强度条件： max
等直杆： max
FN max A
变直杆：
max
FN A
m a x
3、强度计算：
（1）、校核强度——已知：F、A、〔σ〕。求： max
18
一、应力的概念 截面某点处内力分布的密集程度 在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从 内力集度最大处开始。Biblioteka 191、一般受力杆： F1
m
F3
F2
F1 F2
F4
m
△FT △F
c
△A
△FN
（1）、定义：
pm
F A
——ΔA上的平均应力
20
3
4
5
6
受力简图： F
F
FN1
FN1
F
F
FN2
FN2
二、轴向拉压的概念：
（1）受力特点：作用于杆两端的外力合力作用线与 杆轴线重合。
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 7
§2-2 轴向拉压杆的内力和内力图
一、外力和内力的概念 1.外力：一个物体对另一个物体的相互作用力(荷载、支反力)。 2.内力：物体内部各粒子之间的相互作用力。 附加内力：由外力作用而引起的物体内部各粒子之间相互作
9
三、轴向拉压杆的内力
1—1
1.外力——F
F
F
F
FN
2.内力——FN (轴力) （1）轴力的大小：（截面法确定）
①截开。 ②代替，用内力“FN”代替。 ③平衡， ∑X=0, FN-F=0, FN=F。
10
（2）轴力的符号规定：原则—根据变形 拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
26
9、圣维南原理： 作用于杆上的外力可以用其等效力系代替，但替换后外
力作用点附近的应力分布将产生显著影响，且分布复杂，其 影响范围不超过杆件的横向尺寸。
10、注意的问题
(1) 公式中各值单位要统一
N m2
Pa
N mm2 MPa
(2) “FN”代入绝对值，在结果后面可以标出“拉”、“压”。
27
O x
FN
q(x) x
–
k L2 2
FN（x）
FN (x)
x kxdx 1 kx2
0
2
FN
(x)max
1 2
k L2
17
§2-3 轴向拉压杆的应力和强度计算
问题提出： 2F
2F
F
F
F
F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。 2. 构件的强度由两个因素决定：
①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。
三、拉压杆的强度计算
1、极限应力、许用应力
⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过
大变形而不能安全工作时的最小应力值。“σjx”（σu、σ0）
⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“〔σ〕”
jx
n
（其中n为安全系数值＞1）
⑶安全系数取值考虑的因素： （1）给构件足够的安全储备。
24
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面 沿杆轴线作相对平移
4、应力的分布规律——均布 F
5、应力的计算公式：
由 lim FN dFN 0 dA
可得
dA
A
FN
由于“均布”，可得
dA
A
FN
A FN
FN ——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
A
25
6、拉压杆内最大的正应力：
1
第二章 轴向拉压应力与剪切
§2-1 工程实例和基本概念 §2-2 轴向拉压杆的内力和内力图 §2-3 轴向拉压杆的应力和强度计算 §2-4 材料在拉压时的力学性质 §2-5 应力集中的概念
拉压部分小结 §2-6剪切与挤压的强度计算
2
§2-1 工程实例和基本概念
一、工程实例： 活塞杆、厂房的立柱、工程桁架等。
F+N
F-N
11
（3）轴力图：轴力沿轴线变化的图形
①取坐标系
FN
②选比例尺
③正值的轴力画在 x 轴的上侧,
+
负值的轴力画在 x 轴的下侧。
x
（4）轴力图的意义
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。
12
(5)注意的问题
①在截开面上设正的内力方向。 ②采用截面法之前，不能将外力简化、平移。
F
F
P
F
FN
FN
13
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、 F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN1 A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0 FN1 FA FB FC FD 0
2、轴向拉压杆：
m
FN
F
——ΔA上的平均正应力
lim FN dFN
F
0 dA
——C点处的正应力
ΔA △FN
C
σ
二、轴向拉压杆横截面上正应力的确定 推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的
计算公式 22
1、实验： 变形前
受力后
F
F
23
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
p lim F dF
A0 dA
F1
——C点处的总应力
F2
τp
c
σ
lim FN dFN ——“正应力”
0 dA
lim FT dFT
0 dA
——“切应力”（剪应力）
（2）单位：
N m2
Pa
——帕斯卡（帕）
103 Pa 1KPa 千帕 106 Pa 1MPa 兆帕 109 Pa 1GPa 吉2帕1
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
m a x
7、正应力的符号规定——同内力 拉伸——拉应力，为正值，方向背离所在截面。 压缩——压应力，为负值，方向指向所在截面。
8、公式的使用条件 (1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
用力的改变量（材料力学中的内力）。
8
二、内力的确定——截面法（基本方法） 1、截开—欲求哪个截面的内力,就假想的将杆从此截面截开, 杆分为两部分。 2、代替—取其中一部分为研究对象,移去另一部分,把移去 部分对留下部分的相互作用力用内力代替。 3、平衡—利用平衡条件，列出平衡方程，求出内力的大小。
FN1 5F 8F 4F F 0 FN1 2F 14
15
OA FA
轴
力 图
FN
2F
如
右
图
示
BC
D
FB
FC
FD
5F F
3F
x
16
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。 q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在
x
自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：