(完整版)随机过程习题

随机过程复习一、回答： 1、 什么是宽平稳随机过程？2、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程t A t X ωcos )(=+t B ωsin ，其中ω是常数，A 、B 是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A ]=E[2B ]=2σ。

求：)(t X 的数学期望和自相关函数？2、判断随机过程)cos()(φω+=t A t X 是否平稳？其中ω是常数，A 、φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

πϕφ21)(=f πϕ20 ； 222)(σσa A eaa f -=0 a3、求随机相位正弦函数)cos()(0φω+=t A t X 的功率谱密度，其中A 、0ω是常数，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量。

4、求用)(t X 自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0φω+=t t X t Y 的自相关函数及谱密度。

其中，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与φ相互独立的随机过程。

5、设随机过程}),cos()({0+∞<<-∞+=t Y t A t X ω，其中0ω是常数，A 与Y 是相互独立的随机变量，Y 服从区间)2,0(π上的均匀分布，A 服从瑞利分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000)(2222x x ex x f x A σσ试证明)(t X 为宽平稳过程。

解：（1）)}{cos()()}cos({)(00Y t E A E Y t A E t m X +=+=ωω⎰⎰=+=∞+-πσωσ20002220)cos(22dy y t dx exx 与t 无关（2） )()}({cos )()}cos({)}({)(20222022A E Y t E A E Y t A E t X E t X≤+=+==ωωψ dt e tdx e xA E t x ⎰⎰∞+-∞+-==0222223222221)(σσσσσ，20222022|2|222σσσσσ=-=+-=∞+-∞+-∞+-⎰t t tedt ete所以+∞<=)}({)(22t X E t Xψ （3）)]}cos()][cos({[),(201021Y t A Y t A E t t R X ++=ωω )}cos(){cos(][20102Y t Y t E A E ++=ωω dy t t y t t πωωωσπ21)](cos )[cos(2121202010202--++=⎰)(cos 1202t t -=ωσ 只与时间间隔有关，所以)(t X 为宽平稳过程。

6、 设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】（1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a ab x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(t C x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(；相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==；协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数）7．设随机过程()cos 2,(,),X t X t t =∈-∞+∞X 是标准正态分布的随机变量。

试求数学期望()t E X ，方差()t D X ，相关函数12(,)X R t t ，协方差12(,)X C t t 。

解：因为2()cos 2,(,),~(0,1),()0,()()1X t X t t X N E X D X E X =∈-∞+∞===，（1） 所以()(cos 2)cos 2()0,t E X E X t t E X ==⨯=（2）22()(cos 2)cos 2()cos 2,t D X D X t t D X t ==⨯=（2）21212(,)[()()][cos 2cos 2]cos 2,X R t t E X t X t E X t X t t ==⨯=（2）212121212(,)(,)()()(,)cos 2.X x x C t t R t t E t E t R t t t =-==（2）8、有随机过程{ξ (t )，-∞<t <∞}和{η (t )，-∞<t <∞}，设ξ (t )=A sin(ωt +Θ)，η (t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξ η(s ,t )1.解：()1,0220,f θπθπΘ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它()()()()()()()()()()()20201,sin sin d 21cos cos 2d 41cos ,,2R s t E s t A s B t AB t s t s AB t s s t πξηπξηωθωθϕθπωϕωθϕθπωϕ==+++⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-+-+++⎣⎦=-+-∞<<+∞⎰⎰9、随机过程ξ (t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。

试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。

2、解：()()[]()[]()[]()+∞<<∞-==+⋅=Φ+=Φ+==⎰⎰--t m d t d t E EA t A E t E t m def,0cos 2012cos cos 55ξππξϕϕωωπωωξ()()()[]()()()[]()()()[]()()()()[]()τττωωτϕϕωτωωτωπϕϕτωϕωωπτωωτωωτξξτξππππξR d d t d d t t d t t E A E t A t A E t t E t t R def ===+++=+++=Φ++Φ+=Φ++Φ+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-----5sin 54cos 20822cos cos 408cos cos 208cos cos cos cos ,5555552所以具有平稳性。

()()ξωωωξm T TAdt t A Tt T T TT ==Φ=Φ+=+∞→-+∞→⎰0cos sin limcos 21lim故均值具有各态历经性。

()()()()()()()()()t R A dtt t TAdtt A t A T t t TTT TTT ξωττωωτωωτξξ≠=Φ++Φ+=Φ++Φ+=+⎰⎰-+∞→-+∞→cos 2cos cos 2lim cos cos 21lim 22故相关函数不具有各态历经性。

三、 分析求证1、已知随机过程)cos()(φω+=t A t X ，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量，A 可能是常数、时间函数或随机变量。

A 满足什么条件时，)(t X 是各态历经过程？2、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

3、解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为λ的Poisson 过程。

（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102P N e e -⨯-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，在未来半小时仍无顾客到来可表示为()1102N N ⎧⎫⎛⎫-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，从而所求概率为： ()1412211(1)0|02211(1)0|00221(1)02P N N N P N N N N P N N e e ⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。

假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。

（1） 试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知t 时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设12(),(),()N t N t N t 分别为（0,t ）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。

（1） 由已知，1()N t 为强度12λ=的泊松过程，2()N t 为强度23λ=的泊松过程；故，()N t 为强度125λλλ=+=的泊松过程；于是，5(5)(())!k tt P N t k e k -== 0,1,2,k = （5分）（2） 22(()30,()50)(()30()50)(()50)P N t N t P N t N t P N t ======30320221505(()30)(()20)(3)/30!(2)/20!(()50)(5)/50!t t t P N t P N t t e t e P N t t e ---==⨯===30320230302050505(3)/30!(2)/20!32()()(5)/50!55t t tt e t e C t e ---⨯== （5分） 一般地，50,,2,1,0,)52()53(}50)(|)({50502 ====-k C t N k t N P k k k故平均有女性顾客 305350}50)(|)({2=⨯==t N t N E 人。