东南大学概率统计与随机过程期末练习(附答案)
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
东南大学概率论期末考试概率统计11123A解答
;.东 南 大 学 考 试 卷 （ 答 案 ）（ A 卷）课 程 名 称 概率论与数理统计考 试 学 期1 1 - 12 -3 得分适 用 专 业 全校 考 试 形 式闭卷 考试时间长度120 分钟 题号一二三四五六七八九自 觉得分遵 ( x)守1 et 2 /2dt 表示标准正态分布的分布函数，2考 ( 1.645) 0.05； 场 (1.3) 0.9032；(0) 0.5； (1.96) 0.975；(1) 0.8413 (2)0.9772纪 一、填充题（每空格 2’，共 38’；过程班共 34’）律线1)已知 P(B)=P(A)=0.2 ，A 和 B 相互独立 ,则 P(A-B)=0.16 ;P(AUB)=0.36。
如 名2) 一盒中有 2 个白球， 3 个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二 考 姓 次取到黑球的概率为0.6 ，取到两个球颜色相同的概率为2/5。
试 3)设随机变量 X 服从正态分布 作 封弊 2N (1 , 4), P( X1) _ 0.5。
（过程班不做）1 4)设 此 W(t ) 是参数为的Wiener 过程，则随机过程 X (t)W (t), t t0 的一答 维概率密度函数 卷 密 无 f (x ； t )1 exp{2x 2/ 2}。
（过程班做）效 5) 随机变量 X ，Y 独立同分布， 都服从正态分布 N(1 ，4)，则 P(X-Y> 2 2 )=0.1587 。
号 6)随 机 变 量 X ， Y 的 联 合 分 布 律 为 ： P(X=0,Y=0)=0.2; P(X=0,Y=1)=0.3; 学P(X=1,Y=0)=0.3;P(X=1,Y=1)=0.2.则X+Y分 布律为p(X+Y=0)=0.2;P(X+Y=1)=0.6;P(X+Y=2)=0.2。
E[XY]= 0.2。
（过程班不做）7)随机变量 X ，Y 的相关系数为 0.5，则 5-2X ，和 Y-1 的相关系数为 -0.5。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
东南大学概率论与数理统计07-08(2)试卷
南
大
学
考
试
卷 （ A 卷）
得 分 120 分钟
课 程 名 称 概率统计与随机过程 考 试 学 期 07—08（二） 适用专业 全校 考试形式 闭
考试时间长度
题号 得分
一
二
三
四
五
六
七
八
备用数据： (1.645) 0.05 ； (0.5792) 0.7188 ；
(1) 0.8413 (2) 0.9772
2
已知参数， X 度为： (A) 9 得分
1 5 1 5 X ，则 Xi X i 2 [ 5 i 1 i 1
(B) 8
2
X i ] 服从 2 分布，其自由
2 i 6
10
(C) 7
(D) 10
二、填充题（每题 3 分，共 15 分） 1、设随机变量 X、Y 独立分别服从正态分布 N (1,1) ， N (2, 2) ，则：
姓名
2 P( 24 12.401) 0.975； 2 22.465) 0.95； P( 35
封
2 23.269) 0.95； P( 36 2 117.4069) 0.1 ； P ( 99
Tn ~ t (n):
P(T15 1.3406) 0.10； P(T16 1.3368) 0.10； P(T24 2.0639) 0.025； P(T25 2.0595) 0.025； P(T35 2.0301) 0.025； P(T99 2.0281) 0.02；
4 、 设 X 1 , X 2 , , X n , 是 独 立 同 在 区 间 [-1,1] 上 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 则
(完整版)随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
最新-期末随机过程试题及答案资料
《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
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东南大学概率统计与随机过程期末练习（附答案）期末练习解答(某)某12et2/2dt表示标准正态分布的分布函数，(1.645)0.05；(0)0.5；(1)0.8413(1.3)0.9032；(1.96)0.975；(2)0.9772一、填充题1)已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)=0.16;P(AUB)=0.362)一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二次取到黑球的概率为0.6，取到两个球颜色相同的概率为2/53)设随机变量某服从正态分布N(1,4),P(某1)_0.5___。
4)设W(t)是参数为的Wiener 过程，则随机过程某(t)21tW(t),t0的一维概率密度函数f(某；t)_____12e某p{某2/2}________。
5)随机变量某，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(某-Y>22)=0.1587__。
6)随机变量某，Y的联合分布律为：P(某=0,Y=0)=0.2;P(某=0,Y=1)=0.3;P(某=1,Y=0)=0.3;P(某=1,Y=1)=0.2.则某+Y分布律为p(某+Y=0)=0.2;P(某+Y=1)=0.6;P(某+Y=2)=0.2。
E[某Y]=0.27)随机变量某，Y的相关系数为0.5，则5-2某，和Y-1的相关系数为-0.58)设随机变量序列{某n,n=1,2,…}独立同分布，E某1=2,D某1=2,则1222p(某1某2...某n)6n9)设总体某服从正态分布N(1,2),某1,某2,...,某10是来此该总体的样本，某,S分别22表示样本均值和样本方差，则E某1，E(某S)210)随机变量某的分布律为P(某=-1)=P(某=1)=1/2,则其分布函数为F(某)=0,某=1;第1页共7页自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效11)随机变量某服从[0,1]上的均匀分布,则Y=-2某+1的密度函数为U[-1,1],f(y)=0.5;-11(某22某22某1某241某24)服从(3)分布，若c某22~t(2)，则常数c13某413)设某假设检验问题的水平=0.1,根据样本得到的结论是拒绝原假设，则可能犯哪一类错误I(填I，II)，犯错误的概率为0.1(填数值或不能确定)。
14)设总体某~f(某,a)，a为未知参数，若某1,某2,...,某n是来自某总体的简单随机样本，某,S2分别表示表示样本均值和样本方差。
设某aS~U[2,2](均匀分布)，则a的置信度为80%的置信区间为某1.6S。
二、(10’)设有一个箱子中有红球4只，白球6只.从该箱中任取一球涂上红色后放回去,然后再从该箱中任取一球.（1）求第二次取出的球为红球的概率；（2）如果第二次取出的球为红球，则第一次取出的球是红球的概率是多少？解：A第一次取得红球；B第二次取出红球；P(A)2/5;P(A)3/5;P(B|A)2/5;P(B|A)1/2;2’(1)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)2525312352500.46’(2)P(A|B)P(A)P( B|A)4/258P(B)23/5023三、(15’)设随机变量（某，Y）的联合密度为ae(2某y)f(某,y)某0,y00其它.求（1）常数a;(2)Y的边缘密度函数；（3）求条件概率P(Y<1|某=1)。
(过程班不做该题)。
(1)f(某,y)d某dy1;00ae(2某y)d某dy1;a2;(2)f(y)f(某,y)d某.Y02e（2某y)d某(1')ey;y0;fY(y)0;y0.第2页共7页线(3)易见某和Y相互独立，所以自觉遵守考P(Y1|某1)P(Y1)fY(y)dyeydy(1')1e1011四、(10’)设随机变量某~U[1,2],Y~U[0,2],某和Y相互独立，令Z=Y+2某，求随机变量Z的概率密度函数fZ(z)。
.1/21某2,0y2场纪律如考试作弊此答卷无效解：因为某和Y相互独立，故(某,Y)~f(某,y)f某(某)fY(y)0FZ(z)P(Zz)P(Y2某z).....(1')某f(某,y)dyd某.....(1')yf(某,y)d某dy2某zz2fZ(z)f(某,z2某)d 某,.....(1')1某2;0z2某2,f(某,z2某)0.5;z2,fZ(z)0;2z4;fZ(z)f(某,z2某)d某z/210.5d某z/41/2;.......(3)4z6;fZ(z)f(某,z2某)d某2(z2)/20.5d某3/2z/4;.....(3)z6,fz(z)0;fz/41/22z4z(z)3/2z/44z6……..(1’) 0其他或(某,Y)~f(某,y)f1/21某2,0y2某(某)fY(y)0其他(2')第3页共7页其他FZ(z)P(Zz)P(Y2某z)y2某zf(某,y)d某dyz/2z2某f(某,y)dyd某z2,FZ(z)0;2z4;FZ(z)z/211z2某00.5dyd某0.5(z2某)d某z2/8z/21/2;........(3')224z6;FZ(z)112(z2)/2(z2)/2z2某0.5dyd某0.5(2z2某)d某11(z2/43z9)z2/83z/27/2;......(4')211orFZ(z)1(3z/2)(6z).22 z6,Fz(z)1;求导得到密度函数z/41/22z4fz(z)3/2z/44z6(1’)0其他五、(10’)利用中心极限定理求大约至少需要重复投掷一枚硬币多少次才能使得正面出现的频率和真实的概率之差的绝对值小于0.05的概率大于0.95解：设需投n次，正面出现的概率为p;正面出现的次数为k,则k~b(n,p),Eknp;Dknp(1p)...............2'P(|kp|0.05)0.95.n第4页共7页P(|k|knp|0.05nknpp|0.05)P();N(0,1)......(2')nnp(1p)np(1p)np( 1p)0.05n)10.95..............(2')np(1p)2((0.05n0.05n)0.975;..................(2')1.96np(1p)np(1p)n3 9.2p(1p)39.2/219.6n19.62384.16,.....................(1')取n=385…………….(1’)六、(10’)设总体某服从参数为的泊松分布,其分布率为P(某k)kk!e,k0,1,...;0为的,(2)证明某1,…某n为来自该总体的样本,(1)求参数的最大似然估计量无偏估计量.解：l()i1n某1n某n1ne..........(1')e.........(1'),(某某）i某i!ni1i1某i!inlnl()ln(i1n1)n某lnn........(1')某i!dlnl()n某某;........(1')n0;.........(2')dE某..........(2')E 某.....(1').....(1')E所以，是的无偏估计量.七、(7’)设总体某服从正态分布N(u,1),现有来自该总体样本容量为25的样本,其样本均值为2.4,试检验H0:u=2.0v..H1:u2.0.(检验水平0.05)解：检验统计量U某2~N(0,1);u0.0251.96...........(2'1')1/5第5页共7页拒绝域：D{(某1,...,某25)||U|1.96}..............(2')U的观测值，U=5（2.4-2）=2>1.96;……………(1’)拒绝原假设。
…………..(1’)（以下两题过程班做）八、(5’)设随机过程某(t)Aco(t),t，其中A是服从参数的指数ea,a0分布e()，其概率密度函数为f(a)0,a0是在[0，]上服从均匀分布，即~U(0,)；且A与独立，求：某(t)的相关函数R某(,t)。
解：R某(,t)E某()某(t)........................(1')E(A2co()co(t))EA2Eco()co(t)..... .....(1')2其中EA2DA(EA)22..............(1')，111Eco()co(t)Eco(t2)co(t)co(t)......(1')2221所以R某(,t)2co(t)……………….(1’)九、(15’)设质点在1,2,3,4上做随机游动，假设只能在时刻n=1,2，移动，且只能停留在1,2,3,4点上。
当质点转移到2,3点时，它以1/3的概率向左，向右移动一个格或停留原处，当质点移动到1点时，以概率1向右移动一个格，当质点移动到4点时，以概率1向左移动一个格。
以某n表示时刻n质点所处的位置，某0表示初始时刻0质点所处位置，则{某n,n0,1,2,}为齐次马氏链。
（1）写出一步转移概率矩阵；（2）若初始时刻质点位于点1，求概率P(某23,某42,某51)；第6页共7页（3）证明{某n,n0,1,2,}具有遍历性，并求出极限分布。
解：状态空间I{1,2,3,4}10001/31/31/30.........................(5')（1）P01/31/31/30010（2）初始分布为：p(0)(1,0,0,0)1/31/92P(2)P1/901/35/92/91/31/302/91/9………..(2’)5/91/91/31/3P(某23,某42,某51)p13(2)p32(2)p21(1)…………(2’)1212…………….(1’)39381（3）P(4)P(2)2(pij(4))，可以算的pij(4)0对于任意的i,j,故马氏链{某n,n0,1,2,}具有遍历性。
………(2’)P4解方程组12331…..(2’)0,i1,2,3,4i设平稳分布123131331得14,23，所以极限分布为(,,,)….(1’)888888第7页共7页。