概率统计随机过程习题

习题一
1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二
1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t
2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程
()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三
1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有
[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+
3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且
[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+
4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有
()()()b a
X t dt X b X a '=-⎰
5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有
[()()]()()b b b
a
a
a
X t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰
⎰⎰
()()(),b c b
a
a
c
aX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤
6. 求随机微分方程
()()()[0,]
(0)0
X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨
=⎩
的()X t 数学期望[()]E X t 。

式中,()a Y t >为平稳过程[()]0E Y t λ=>
习题四
1. 考虑一个具有随机相位的余弦波，它由如下定义的随机过程描述：
()cos()X t t λθ=+，其中λ是常数，θ服从(,)ππ-上的均匀分布，证明X (t )是宽
平稳过程。

2. 考虑一个具有随机振幅的正弦波，它由如下定义的随机过程描述
()2sin 2X t Axos t t πβπ=+
其中，A 、B 为两个随机变量，且满足()()0,()()1E A E B D A D B ====，
()0E AB =，度X (t )为宽平稳过程。

3. 设随机过程(),X t Y Y =是方差不为零的随机变量，试讨论其各态历经性。

4. 设X (t )是雷达的发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号是
111,(),aX t a ττ<-是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声，记噪声为
()N t ，于是接收机收到的全信号为1()()()Y t aX t N t τ=-+。

①若X (t )和Y (t )是联合平稳，求互相关函数()XY R τ。

②在①的条件下，假如N (t )的均值为零，且X (t )是相互独立，求()XY R τ（这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的接收法）。

5. 设有随机过程()cos ()X t A t ωθ=+，其中A 是具有瑞利分布的随机变量，其概率密度为
2
22
0()200
a a e a t a a σσ
⎧->⎪=⎨⎪⎩
≤
θ是在（0, 2π）上具有均匀分布且与A 相互独立的随机变量，ω是一个常
数，问X(t)是否是宽平稳过程。

习题五
1. 已知平稳过程()
X t的谱密度为
2
42
()
32
X
G
ω
ω
ωω
=
++
，求()
X t的均方值2
[()]
E X t。

2. 已知平稳过程()
X t的自相关函数为
||
()4cos cos
X
R eτ
τπτπτ
-
=+
求()
X
Gω。

3. 如下图的系统中，若()
X t为平稳过程，证明()
Y t的功率谱是
()2()(1cos)
Y X
G G t
ωωω
=+
习题3 图
4. 已知平稳过程()
X t的谱密度为
8()20(1)10
()10
X
G
ω
δωω
ω
⎧
+-
⎪
=⎨
⎪⎩
≤
其它
求
()
X
R
τ。

5. 设()sin()
X t A tωϕ
=+和()sin()
Y t B tωϕα
+-为两个平稳过程，其中，A、B、αω
与为常数，(0,2)
ϕπ
是在上服从均匀分布的随机变量。

求
()()
XY XY
R R
ττ
和。

6. 已知平稳过程()()
XY
X t Rτ
和。

00
/
()
XY
a jb
G
ωωωω
ω
ωω
⎧+<
⎪
=⎨
⎪⎩≥
其中a, b，
ω实常数，求互相关函数()
XY
Rτ。

习题六
1. 若系统输入为白噪声，其自相关函数为
)
(
2
)
(0τ
δ
τ
N
R
X
=
式中
N是正实常数，求系统输出的均方值。

2. 理想白噪声过程)(t
X，其自相关函数)
(
2
)
(0τ
δ
τ
N
R
X
=，通过一个冲激中央委员应为)
(t
h的线性系统，求系统响应与互相关函数的关系。

3. 设白噪声)(t
X，有
2
)
(0
N
G
X
=
ω，通过传输函数为
ω
ω
ω
j
a
j
H
+
=
)
(的微分电路，α为实常数，求电路输出自相关函数。

4. 白噪声)(t
N通过传输函数为
ω
α
α
ω
j
H
+
=
)
(的RC积分电路，如下图所示，α为实常数，求电路输出的自相关函数。

习题4图
5. 某线性系统具有功率传输函数为
2
2
1
1
)
(
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
∆
+
=
ω
ω
ω
H，式中ω
∆是半功率带宽，求系统的噪声带宽。

习题七
1. 设岩性这个随机变量只能取砂岩（用
1
E代表）、灰岩（用
2
E代表）两种状态，对于
某地层剖面观测记录的一次实现为1112111E E E E E E E 111211122E E E E E E E E E ，试写出它的转移概率矩阵。

2. 设有四个状态},,,{4321a a a a 的马氏链，它的一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02
10
2
121021002102
1210210P 试画出其状态传递图。

3. 设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：1E 、2E ，经计算得一阶转移概率矩阵为
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=41.059
.021.079.0)1(P 求证该链具有遍历性，并求出极限分布。

4. 设有四个状态}11,10,01,00{的马氏链，它的一步转移概率矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=535
20
0004341313200002121)
1(P 试画出它的状态传递图。