山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)
第 1 页 共 19 页一、单选题
1．复数的虚部为（
） i(2i)
A．-2 B．2 C．-2i D．2i
【答案】B
【分析】由复数的运算得出虚部.
【详解】，即该复数的虚部为. i(2i)12i
2
故选：B
2．命题“∀x∈[1，2]，x2
－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
【答案】C
【分析】先要找出命题为真命题的充要条件， 从集合的角度充分不必要条件应为 {|4}aa
的真子集，由选择项不难得出答案 {|4}aa
【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2
－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立 2
ax
即只需， 2
max()4ax
即命题“∀x∈[1，2]，x2
－a≤0”为真命题的的充要条件为， 4a
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题 {|4}aa
意.
故选：C
3．曲线在点处的切线方程为（
） sin2cosyxx
,2
A． B． C． D． 20xy
20xy
220xy
220xy
【答案】A
【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.
【详解】曲线 sin2cosyxx
则 'cos2sinyxx
当时, x
cos2sin1k
所以在点处的切线方程,由点斜式可得
,2
21yx
化简可得 20xy
故选:A
【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.
4．已知向量．若与垂直，则实数（
）
(1,3),(1,0),(3,)abck
2ab
c
k第 2 页 共 19 页A． B． C．1 D．3
33
【答案】B
【分析】求出，根据向量垂直可得数量积为0即可求出.
2ab
【详解】因为， (1,3),(1,0),(3,)abck
所以
，
21,32,03,3ab
因为与垂直，所以，解得
.
2ab
c
23330abck
3k
故选：B.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a
1＝－11，a
4＋a
6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于
( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a
1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：解：设该数列的公差为d，则a
4+a
6=2a
1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以S
n=-11n+
×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S
n取最小值．
nn1
2
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能
力．
6．下列四个图形中，正方体棱上的四个中点共面的图形是（
）．
A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．丁与甲
【答案】A
【分析】如图所示:利用空间点线面位置关系可以证明图中中点E、
F、
G、
H、
M、
N六点共面,进
而判断甲乙图中对应的四点为分别为:H、
F、
G、
N和E、
F、
G、
M均在平面EFGNMH内，所以
可得甲乙图形符合要求;然后可判断丙和丁图中对应的四点不共面. 第 3 页 共 19 页
【详解】
如图所示, E、
F、
G、
H、
M、
N、P、Q均为正方体AC
1棱上的中点,所以有:EFAC,MNA
1C
1,AC
A
1C
1,得EFMN,所以得EF、MN可确定一个平面α,同理EH、NG可确定一个平面β,又因为E、
F、M三点不共线只能确定一个平面,所以α、β重合,即E、
F、
G、
H、
M、
N六点共面为平面EN,
所以有:
甲图中对应的四点为H、
F、
G、
N在平面EN内即共面;
乙图中对应的四点为E、
F、
G、
M在平面EN内即共面;
丙图中对应的四点为E、
F、
P、
M其中P点不在平面EN内即得四点不共面;
丁图中对应的四点为E、H、G、Q其中Q点不在平面EN内即得四点不共面;
综上可得甲乙图满足要求.
故选:A
【点睛】本题考查了多点共面的问题,综合利用点线面的位置关系来证明,解决此类问题要求学生有
丰富的空间想象能力,属于中档题.
7．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆EF22
:2430CxyxyCECF
PEFEF
上运动时，直线上存在两点，使得
恒成立，则线段长度的最小C:30lxy,AB
2APB
AB
值是（
）
A
． B． C． D
．
321
42+243+1432
【答案】B
【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆
PAB
”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解22
(1)(2)1xy
1,2C
l
P
出的最小值. AB第 4 页 共 19 页【详解】由题可知：，圆心，半径
， 22
:(1)(2)2Cxy
1,2C
2r
又，是的中点，所以， CECF
PEF1
1
2CPEF
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
P22
(1)(2)1xy
1,2C
1R
若直线上存在两点，使得恒成立， :30lxy,AB
2APB
则以为直径的圆要包括圆， AB22
(1)(2)1xy
点到直线的距离为，
1,2C
l
22123
22
1(1)d
所以长度的最小值为， AB
21422d
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点
P
以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨
P
2APB
AB
P
迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. AB
8．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，2
1
e,0
4
3,0x
x
fx
xx
x
()yfxa
1x
2x
，，，则的取值范围为（
）
3x
4x
1234xxxx
A． B． C． D．
5,3e
4,4e[4,)(,4]
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为
fx()yfxa
的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得()yfxya
1ea
，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范
12344lnxxxxaa()4lngaaa
1ea
围.
【详解】解：时，，， 0x2
(1)
()ex
fx
2
(1)
()e2(1)x
fxx
在上单调递减，在上单调递增，， ()fx(,1)(1,0)(1)1,(0)eff
时，， 0x>4
()3fxx
x
在上单调递减，在上单调递增，， ()fx
(0,2)(2,)(2)1f
画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点， ()fx()yfxa()yfxya第 5 页 共 19
页
由图可得，是方程，即的两根， 1ea
12,xx2
(1)
ex
a
2
21xxln0a
是方程，即的两根，
34,x
x4
3xa
x2
(3)xax40
，，
121lnxxa
343xxa
则，
12341ln34ln(1e)xxxxaaaaa
设，，则，在上单调递增， ()4lngaaa
1ea
1
()10
ga
a()ga(1,e)
当时，，即.
1ea(1)()(e)ggag5()3ega
故选：A.
二、多选题
9．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则（ ）
na
67,
nSSS
78SS
A．在数列中， 最大
na
1a
B．在数列中， 或 最大
na
3a
4a
C．
310SS
D．当 时， 8n0
na
【答案】AD
【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD正确，B错
67SS
78SS
70a
8780aaa，
0d
误，结合等差数列的性质可判断，判断C.
103770SSa
【详解】为等差数列，∵，且，
na
67SS
78SS
∴ ，
7678787800SSaSSaaa，，
2018-2019学年山东省日照市高二上学期期末数学试题(解析版)
第 1 页 共 17 页 2018-2019学年山东省日照市高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．在等比数列na中，44a，则26aa（ ）
A．4 B．16 C．8 D．32
【答案】B
【解析】等比数列的性质可知226416aaa,故选B.
2．在复平面内，复数1izi（i为虚数单位）对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【详解】
解：在复平面内，复数(1)111(1)(1)22iiiziiii所对应的点11,22在第二象限.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
3．命题“2,||0xxxR”的否定是（ ）
A．2,||0xxxR B．2,||0xxxR
C．2000,0xRxx D．2000,0xRxx
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【详解】
解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,||0xxxR”的否定0xR，2000xx，故选：C.
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.
4．设xR，则“x＞1”是“2x＞1”的（ ） 第 2 页 共 17 页 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：由1x可得21x成立，反之不成立，所以“1x”是“21x”的充分不必要条件
【考点】充分条件与必要条件
5．双曲线221916xy的渐近线方程是（ ）
A．916yx B．169yx C．43yx D．34yx=?
【答案】C
【解析】由220916xy，得43yx。所以双曲线221916xy的渐近线方程是43yx。选C。
济南市高二数学上学期期末考试试题(有答案)-精
山东省济南市历城区2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题
第Ⅰ卷
一、单项选择题（共60分，每题3分）
每题都有ABCD四个备选答案，只许从中选取一个最佳答案。
1. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S△ABC =316，则∠A 等于( )．
A. 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º
2. 在△ABC中，若3a = 2b sin A，则∠B为( )．
A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若389aa,则101aa
A． 1 B． 2 C． 4 D． 9
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为错误！未找到引用。，错误！未找到引用。，错误！未找到引用。由此得到频率分布直方图如图1，则这20名工人中一天生产该产品数量在错误！未找到引用。的人数是（ ）
A．11 B．12
C．13 D．14
5． 若 a＞0，b＞0 ，且 1ab，则111122ba的最小值是( )．
A. 9 B. 8 C.7 D. 6
6．一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了解他们在课外的兴趣爱好。要求每班是40号学生留下进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ）
A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法
7．等差数列{an}中，a1 + a4 + a7 = 39，a3 + a6 + a9 = 27，则数列{an}的 9 项和 S9 等于( )． A. 66 B. 99 C. 144 D. 297
山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
1
高三年级学习质量评估
文科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用交集概念与运算直接求解即可.
【详解】∵集合，，
∴
故选：C
【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘除运算化简复数z，结合虚部概念得到答案.
【详解】由z（1+i）＝2，得，
∴复数z的虚部是﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3.已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( )
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
【答案】B
【解析】
2 【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【详解】由题意可得：5d＝25，
解得d＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.已知实数，满足约束条件则的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z最大，求出A的坐标，代入z＝x+2y得答案．
【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；
由解得A（0，3），
此时直线yxz在y轴上的截距最大，
所以目标函数z＝x+2y的最大值为
zmax＝0+2×3＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．
山东省济南市数学高二上学期期末考试试卷(理科)
第 1 页 共 13 页 山东省济南市数学高二上学期期末考试试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
选择题： (共12题；共24分)
1.
（2分）
“平面内一动点到两定点距离之和为一定值”是“这动点的轨迹为椭圆”的（
）
A .
必要不充分条件
B .
充分不必要条件
C . 充要条件
D . 不充分不必要条件
2. （2分） (2019·广州模拟) 若点 与曲线 上点 的距离的最小值为 ，则实数 的值为（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为 的是（ ）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高三上·长春期中) 已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直， 第 2 页 共 13 页 则k的值是（
）
A . 1
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 某工厂加工某种零件的工序流程图：
按照这个工程流程图，一件成品至少要经过的加工和检验程序的道数为（ ）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
6. （2分） 已知函数 的图象上一点 及邻近一点 ，则 等于 （ ）
A . 4
B . 4+2 x
C . 4+ x
D .
7. （2分） 三棱柱中，与AC、AB所成角均为 ， ， 且 ， 则与所成角的余弦值为（ ） 第 3 页 共 13 页 A . 1
B .
－1
C .
D .
－
2022-2023学年山东省济南市章丘区章丘区第四中学高二上学期期末数学试题(解析版)
第 1 页 共 20 页 2022-2023学年山东省济南市章丘区章丘区第四中学高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．若直线l的方向向量是1,3e，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π6 B．π3 C．2π3
D．5π6
【答案】B
【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解
【详解】由直线l的方向向量是1,3e得直线l的斜率为3，
设直线的倾斜角是π0πtan33，，
故选：B.
2．如图.空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且满足2OMMA，点N为BC的中点，则MN（ ）
A．121232abc B．221332abc
C．111222abc D．211322abc
【答案】D
【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用a，b，c表示OM，ON，进而表示出MN.
【详解】因为2OMMA，所以23OMa，
又因为点N为BC的中点，所以12ONbc，
所以211322MNONOMabc.
故选：D. 第 2 页 共 20 页 3．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，上、下顶点分别为A，B，若四边形12AFBF为正方形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．12 B．22 C．32 D．2
【答案】B
【分析】根据椭圆的几何性质得到12AFAFa，122FFc，然后根据四边形12AFBF为正方形得到22ca，化简即可得到椭圆的离心率.
【详解】
根据椭圆的性质可得12AFAFa，122FFc，因为四边形12AFBF为正方形，所以1212FFAF，即22ca，所以22ca.
故选：B.
4．已知圆M的圆心在直线20yxx上，若圆M与x轴交于AB，两点，圆M与y轴交于CD，两点，则（ ）
A．ABCD B．ABCD C．ABCD D．ABCD
学年秋学期(上学期)山东省济南第一中学高二期末考试试卷 理科数学 Word版 含答案
2016-2017学年上学期山东省济南第一中学
高二期末考试试卷
理科数学
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果，给出下列不等式：（1）；（2）；（3）；
（4），其中成立的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
3．已知数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C．-2 D．
4．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．“46k”是“方程22164xykk表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．各项均为实数的等比数列的前项和记作，若，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
7．在ABC中，2cos22Abcc，则ABC的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知双曲线222210,0xyabab的一条渐近线过点2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线247yx的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．2212128xy B．2212821xy C．22134xy D．22143xy
9．变量，满足约束条件若的最大值为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知),,2(),,1,1(ttbttta，则||ba的最小值为（ ）
A．55 B．555 C．511 D．553
11．设，若，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
12．已知，则满足关于的方程的充要条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
第II卷
山东省济南市实验中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析
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山东省济南市实验中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列条件能推出平面平面的是
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
参考答案：
D
2. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
3. 等比数列的各项均为正数,且,
则( ) ks5u
A.12 B.10 C.8 D.
参考答案：
B
略
4. 等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于( )
A．66 B．99 C．144 D．297
参考答案：
B
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．
【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，
由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，
②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，
则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．
故选B．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
5. 设1！，2！，3！，……，n！的和为Sn（且），则Sn的个位数是 ( )
A．1 B．3 C．5 D．7
2022年山东省济南市高级中学高二数学文上学期期末试题含解析
2022年山东省济南市高级中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 正三角形中，的中点，则以为焦点且过的双曲线的离
心率是（ ）
A． B． C．2 D．
参考答案：
A
2. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
参考答案：
D
3. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
参考答案： B
4. “a≤0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数极值和导数的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=a+，
若函数f（x）=ax+lnx存在极值，则f′（x）=0有解，即a+=0，即a=﹣，
∵x＞0，∴a=﹣＜0，
则“a≤0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的必要不充分条件，
故选：B
5. 下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．
【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y=±x，
由A可得渐近线方程为y=±2x，
由B可得渐近线方程为y=±x，
由C可得渐近线方程为y=x， X
-1
0 1
P 1-2q 由D可得渐近线方程为y=x．
济南市高二年级上学期期末考试文科数学试题附答案
回澜阁 青岛标志性旅游建筑 1． 在等差数列}{na中，1a=3，93a则5a的值为
A . 15 B . 6 C. 81 D. 9
2.在ABC中，60B，2bac，则ABC一定是
A．直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
3.椭圆2241xy的离心率为
A.22 B.43 C. 23 D.32
4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A, 不等式x2+x-6<0的解集是B, 不等式x2+ax+b<0
的解集是AB, 那么a+b等于
A.-3 B.1 C.-1 D. 3
5.若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程
A.450xy B.430xy C.430xy D.430xy
6.抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是
A.3 B.75 C.85 D.43
7.若xxf1，则2'f
A.4 B.41 C.4 D.41
8.过点（－1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为
A.220xy B.330xy C.10xy D.10xy
9.双曲线2210xymnmn离心率为2，有一个焦点与抛物线24yx的焦点重合，
山东省济南市第十三中学2022年高二数学文上学期期末试卷含解析
山东省济南市第十三中学2022年高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 椭圆的一个焦点是，那么（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
2. 用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（ ）
A． B． C．且 D．或
参考答案：
D
【考点】反证法与放缩法．
【分析】分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．
【解答】解：∵＞的反面是≤，
即 =或＜．
故选D．
3. 已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
参考答案： C
略
4. 以下是计算程序框图,请写出对应的程序
参考答案：
解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70人，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率
故有估计该校学生身高在170～180cm之间的概率
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
因此，所求概率为
略
5. 如图是无上底的几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的图形，外边界是矩形，它的底边长为4，宽为3，俯视图是半径为2的圆，求该几何体的表面积和体积．
参考答案：
考点：由三视图求面积、体积．