2016-2017学年山东省济南市高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（ ）
A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3}
2．命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（ ）
A．若＞1，则lnx≤0 B．若≤1，则lnx＞0 C．若≤1，则lnx≤0 D．若lnx＞0，则＞1
3．椭圆+=1的焦点坐标为（ ）
A．（±3，0） B．（±2，0） C．（0，±3） D．（0，±2）
4．在等差数列{an}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
6．双曲线﹣=1的焦距的最小值为（ ）
A． B．2 C．5 D．10 7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之
和为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5
8．若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处
取得最大值，则实数a的取值范围为（ ） A．[﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，1）
9．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，
速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的 俯角为78°，则山顶的海拔高度为（ ） A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）km C．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km 10．给出下列3个命题：
命题p：若a2≥20，则方程x2+y2+ax+5=0表示一个圆． 命题q：∀m∈（﹣∞，0），方程0.1x+msinx=0总有实数解． 命题r：∃m∈（1，3），msinx+mcosx=3． 那么，下列命题为真命题的是（ ） A．p∨r B．p∧（￢q） C．（￢q）∧（￢r） D．（￢p）∧q
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11．命题“∃x∈R，tanx≥0”的否定是 ．
12．若点A（1，1），B（2，m）都是方程ax2+xy﹣2=0的曲线上，则m= ．
13．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫
“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请
问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有 盏灯．
14．已知x，y满足约束条件，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最
大值为7，则+的最小值为 ． 15．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算 过程． 16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，cosA=，sinB=，
c＞4．
（1）求b； （2）求△ABC的周长． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足•=1，
记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若直线l：y=kx+4与C交于P，Q两点，且|PQ|=6，求k的值． 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B=sin2C．
（1）若b=2a=4，求△ABC的面积； （2）求的最小值，并确定此时的值． 19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．
（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值； （2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程． 20．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn．
（1）若a1=8，b2=24，且对任意的n∈N*，总有=，求数列{nan]的前n项和Pn； （2）当n≤3时，bn﹣an=n，若数列{an}唯一，求Sn．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上一点到两焦点间的距离之和为2，
直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为． （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=﹣（x+）对称． （i）求k的取值范围； （ii）求证：△AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率． 2016-2017学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷（理
科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（ ）
A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3}
【考点】交集及其运算． 【分析】求出集合N的等价条件，结合交集的定义进行求解即可． 【解答】解：N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}， ∵M={﹣3，﹣2，﹣1}， ∴M∩N={﹣1}， 故选：A
2．命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为（ ）
A．若＞1，则lnx≤0 B．若≤1，则lnx＞0 C．若≤1，则lnx≤0 D．若lnx＞0，则＞1 【考点】四种命题． 【分析】根据已知中的原命题，结合否命题的定义，可得答案． 【解答】解：命题：“若＞1，则lnx＞0”的否命题为命题：“若≤1，则lnx≤0”， 故选：C
3．椭圆+=1的焦点坐标为（ ）
A．（±3，0） B．（±2，0） C．（0，±3） D．（0，±2）
【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由a2=11，b2=7，得c=，由此能求出焦点坐标． 【解答】解：∵椭圆+=1中， a2=11，b2=7，
∴c=， ∴焦点坐标为（0，±2）． 故选：D．
4．在等差数列{an}中，a4+a6=6，且a2=1，则公差d等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由已知结合等差数列的通项公式化为关于d的方程求解． 【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a6=6，且a2=1， 得a2+2d+a2+4d=6，即2+6d=6，∴d=． 故选：A．
5．已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用球的体积计算公式与不等式的性质、充要条件的性质即可判断出结论． 【解答】解：∵R＞，∴＞=＞36π． ∴“R＞”是“V＞36π”的充分不必要条件． 故选：A．
6．双曲线﹣=1的焦距的最小值为（ ） A． B．2 C．5 D．10 【考点】双曲线的标准方程．
【分析】由题意，2c=2，即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值． 【解答】解：由题意，2c=2，
∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2， 故选B．
7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之
和为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7 ∴x1+x2=5， ∴A、B到y轴的距离之和为5， 故选：D．
8．若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处
取得最大值，则实数a的取值范围为（ ） A．[﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，1）
【考点】简单线性规划．
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
2016-2017学年高二上学期期末考试 数学模拟试卷(A)(适用于必修3,选修2-1)(word版,附答案)
2016－2017学年高二上学期期末考试数学模拟试卷(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“ab ＜0”是“方程ax 2＋by 2＝1表示双曲线”的( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|＝6，则M 点的轨迹方程是( )． A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值是( )． A ．14B ．12C ．2D ．44．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )．A ．6B ．8C ．10D ．125．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49 cm 2之间的概率为( )．A ．51B ．52 C ．54 D ．103 6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )． A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与都是红球C ．至少有一个黑球与至少有1个红球D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球7．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率( )．A ．23B ．13C ．16D ．568．若如图所示的程序框图输出的S 的值为126，则条件①为( )． A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7? D ．n ≤8?9．给出两个命题：p ：平面内直线l 与抛物线22y x 有且只有一个交点，则直线l与该抛物线相切；命题q：过双曲线2214yx-=右焦点F作直线l与双曲线交于AB两点，则的线段AB长度的最小值是8．则( )．A．q为真命题B．“p或q”为假命题C．“p且q”为真命题D．“p或q”为真命题10．设F1F2是椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )．A．12B．23C．34D．4511．一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是( )．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆12．设F为双曲线221169x y-=的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以F A为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则FN FMFA-的值为( )．A．25B．52C．45D．54二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（结果用分数表示）．14．将二进制数101101(2)化为八进制数，结果为________．15．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是．16．右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++＞，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．19．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． （1）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50)，[50，60)…[90，100)后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．21．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面A B C D ，底面ABCD 是矩形，且SD AD =，E 是SA 的中点．（1）求证：平面BED ⊥平面SAB ；（2）求平面BED 与平面SBC 所成二面角（锐角）的大小．22．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4．（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△P AB 面积的最大值．0.01频率组距2016－2017学年高二上学期期末考试数学模拟试卷 (A)答案一、选择题CDAB ADBB BCAC二、填空题13．51514．55(8)15．2316．62三、解答题17．解：p 为真：Δ=4a 2－16＜0 －2＜a ＜2， q 为真：3－2a ＞1 a ＜1，因为p 或q 为真，p 且q 为假 ∴p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，221a a -⎧⎨⎩＜＜≥ 1≤a ＜2，当p 假q 真时，221a a a -⎧⎨⎩或≥≤＜a ≤－2，∴a 的取值范围为[12)(2]-∞- ，，．18．解：依题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则直线方程为y ＝－x ＋12p ．设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，则由抛物线定义得：|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋x 2＋p ＝8．①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，所以x 1＋x 2＝3p ．将其代入①得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x ． 当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时， 同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x ．综上，所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x ．⇒⇒⇒⇒19．解：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共六个．从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个． 因此所求事件的概率为13．（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其中一切可能的结果(m ，n )有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．所有满足条件n ≥m ＋2的事件为(1，3)(1，4)(2，4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316．故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316．20．解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率： f 4=1－(0.025+0.0152+0.01+0.005)×10=0.03分． 直方图如右所示．（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75， 所以，抽样学生成绩的合格率是75%． 利用组中值估算抽样学生的平均分：45·f 1+55·f 2+65·f 3+75·f 4+85·f 5+95·f 6＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71， 估计这次考试的平均分是71分．21．证明：（1）∵SD ⊥底面ABCD ，SD ⊂平面SAD ， ∴平面SAD ⊥平面ABCD∵AB AD ⊥，∴AB ⊥平面SAD ，又DE ⊂平面SAD ， ∴DE AB ⊥，∵SD AD =，E 是SA 的中点，∴DE SA ⊥，∵AB SA A = ，∴DE ⊥平面SAB ，∵DE ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面SAB（2）由题意知,,SD AD DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨设2AD =．则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，B ，C ，(0,0,2)S ，(1,0,1)E ，∴DB = ，(1,0,1)DE = ，(2,0,0)CB = ，(0,CS =． 设111(,,)m x y z =是平面BED 的法向量，则0,0,m DB m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,0,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令11x =-，则111y z =，∴(1m =-是平面BED 的一个法向量． 设222(,,)n x y z =是平面SBC 的法向量，则0,0,n CB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220,20,x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x =，令2y =21z =，∴n =是平面SBC 的一个法向量．∵cos ,2m n m n m n ⋅===⋅∴平面BED 与平面SBC 所成锐二面角的大小为6π． 22．解：（1）双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4，得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1．（2）直线AB 的方程：y ＝2x ＋m ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜22， ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·＝3·12m 2－m 2＋4＝ 34－m 22，又P 到AB 的距离为d ＝|m |3．则S △ABC ＝12|AB |d ＝123|m |34－m 22＝≤12222(8)2m m +-＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号．∴(S △ABC )max ＝2．。
2016-2017学年山东省胶州市普通高中高二上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年山东省胶州市普通高中高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．复-i+21+i=数( )A. 1-2iB. 1+12i C. 1 D. 1+2i2．圆x2+y2-4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含3．设命题p：∀x∈R，x2+1>0，则¬p为( )A. ∃x0∈R,x2+1>0B. ∃x0∈R,x2+1≤0C. ∃x0∈R,x2+1<0D. ∃x0∈R,x2+1≤04．抛物线y=14x2的焦点坐标是( )A. (1,0)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,-1)5．已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M,N，若的△MF2N周长为8，则椭圆方程为（）A. x24+y23=1 B. y24+x23=1 C. x216+y215=1 D. y216+x215=16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则主视图中x的值是（）A. 2B. 92C. 32D. 37．已知实数x，y满足{x-y≤12x+y≤5x≥1，则z=3x+y的最大值为( )A. 5B. 6C. 7D. 88．已知平α,β,γ,面，直线a,b,c，则下列命题正确的是( )A. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;B. 若a⊥α,b⊥α,则a∥b;C. 若a⊥c,b⊥c,则a∥b ;D. 若a∥α,b∥α,则a∥b9．设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即非充分也非必要条件10．那个数学归纳法证明不等式＂1+12+13+...+12n−1<n(n∈N n,n≥2）＂时,由n=k(k≥2)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数时( ) A. 2k−1 B. 2k−1C. 2kD. 2k+111．在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为( )①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线ｌ与平面内的无数条直线垂直，则ｌ⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线；A. 3B. 2C. 1D. 012．已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左，右焦点，若向F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|O F1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A. 3 B. 3 C. 2 D. 2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．过点(−1,2)且和直线3x+2y-7=0垂直的直线方程是__________．14．方程x23-k +y2k+3=1表示椭圆，则k的取值范围是__________．15．已知P为抛物线y=2x2上的点，若点P到直线l:4x-y-6=0的距离最小，则点P的坐标为_________16．如图，在四棱锥S−A B C D中,E.M.N分别是B C.C D.S C的中点，动点P的线段M N上运动时，下列四个结论：①E P⊥A C; ②E P∥B D;③E P∥平面S B D; ④E P⊥平面S A C恒成立的是__________．（把正确的序号都填上）三、解答题17．已知圆C的方程：x2+y2-2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当圆C与圆D：(x+3)2+(y+1)2=16相外切时，求直线l:x+2y-4=0被圆C，所截得的弦MN 的长.18．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过A(2，3),且点F(2，0)的其右点焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程.（Ⅱ）是否存在平行于O A的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线O A与l的距离等于4 ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.19．如图,在四棱锥P−A B C D中,底面A B C D为平行四边形,E为侧棱P A的中点.（Ⅰ）求证:P C∥平面B D E（Ⅱ）若P C⊥P A,P D=A D,求证:平面B D E⊥平面P A B20．如图，在斜三棱柱A B C−A1B1C1中，侧面A CC1A1与侧面C BB1C1都是棱形，∠A CC1=∠CC1B1=60°,A C=2.求证：（Ⅰ）AB1⊥CC1;（Ⅱ）若AB1=6，求二面角C−AB1−A1的余弦值.21．已知椭圆x24+y2=1,过点M(−1,0)作直线l交椭圆于A,B两点, O是坐标原点；（Ⅰ）求A B中点P的轨迹方程；（Ⅱ）求ΔO A B的面积的最大值,并求此时直线l的方程．22．（本小题满分16分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足M D⊥C D，连接C M，交椭圆于点P．证明：O M⋅O P为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以M P为直径的圆恒过直线D P、M Q的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】-i+21+i=-i+1−i=1−2i,故选A.2．B【解析】将圆x2+y2−4=0和圆x2+y2+2x=0写出标准方程为：x2+y2=4和(x+1)2+y2=1，两圆心的距离为1，两半径分别为1和2，圆心距等于半径之差，故内切，选C.3．B【解析】全称命题的否定为特称，故命题p：∀x∈R，x2+1>0，则-p为∃x0∈R，x2+1≤0故选B.4．C【解析】抛物线y=14x2的标准形式为x2=4y，有2p=4,∴p=2,p2=1焦点在y轴的正半轴上，所以为(0,1)，故选C.5．A【解析】根据椭圆的定义有：ΔM F2N周长为4a=8，a=2又c=1,∴b=3，焦点在x轴上，故椭圆的方程为x24+y23=1.故选A.6．C【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，体积为13⋅1+22⋅2⋅x=32,x=32.7．C 【解析】做出不等式组表示的平面区域，如图所示，做出直线l0:3x+y=0，平移直线l0，由图可得，当直线l0经过点B时，z取得最大值，由{x−y=12x+y=5，可得{x=2y=1，即B(2,1),∴z=3x+y的最大值是z=3×2+1=7，故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．B【解析】A. 若α⊥γ,β⊥γ则α∥β或相交，因此不正确；B. 由a⊥α,b⊥α利用线面垂直的性质定理可得：a//b，正确；C. 若a⊥c,b⊥c则a//b、相交或异面直线，因此不正确；D. 若a//α,b//α,则a//b、相交或异面直线，因此不正确。
山东省济南市2016-2017学年高二第二学期期末考试数学试卷理
2016—2017学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，共20题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，全卷共24个题。
请将第Ⅱ卷答案答在答题纸相应位置，考试结束后将答题纸上交。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，每题5分，共75分）一、 选择题（本大题包括15小题，每小题5分，共75分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1．已知i 是虚数单位，复数2iz 2i=+，则=（ ）A. 24i 55-+B. 24i 55+C. 24i 55-D. 24i 55--2．10×9×8×…×4可表示为（ ） A ．610AB ．710AC ．610CD ． 710C3．由直线x 6π=-，x 6π=，y 0=与直线y cos x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12 B ．1 C D 4．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）=0.8，则P （0＜ξ＜2）=（ ） A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.25．对于函数x 2e 2k f (x)ln x x x=+-，若f′（1）=1，则k=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣ 6.()5221x 21x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．37．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）=（ ）A ．B ．C ．D ．8．某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（ ）A ．2354A A ⨯种B ．235A 4⨯种C ．2354C A ⨯种D ．235C 4⨯种9．用数学归纳法证明+++…+≥（n ∈N *），从“n =k （k ∈N *）”到“n=k +1”时，左边需增加的代数式为（ ）A ．B ．C ．++…+ D ． ++…+10．已知函数2f (x)xln x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,111.已知函数()xx bf x e +=在区间（﹣∞，2）上为单调递增函数，则实数b 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1）B ．[0，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]12．六个人从左到右排成一行，最右端只能排甲或乙，最左端不能排乙，则不同的排法种数共有（ ） A ．192B ．216C ．240D ．28813．设二项式n1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P+S=272，则n=（ ） A ．4B ．5C ．6D ．814. 用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（ ）A ．a ，b 都不能被5整除B ．a ，b 都能被5整除C ．a ，b 中有一个不能被5整除D ．a ，b 中有一个能被5整除15. 设f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (2)0=，当x 0>时，有/()()0-<xf x f x 恒成立，则不等式()0>f x x的解集为。
2016-2017学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知双曲线，分别为其左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（） A ． B ． C ．D ．2、在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．3、已知空间向量，若与垂直，则等于（）A． B． C． D．4、已知命题，命题.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5、已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A． B． C． D．6、平面内有两定点及动点，设命题甲：“与之差的绝对值是定值”，命题乙：“点的轨迹是以为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7、已知，若向量共面，则（）A． B． C． D．8、命题：若，则；命题：，使得，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．9、给出命题：若方程表示椭圆，则.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A． B． C． D．10、命题“，都有”的否定为（）A．不存在，使得 B．，都有C．，使得 D．，使得11、设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为实数，关于点的轨迹下列说法正确的是（）A．当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点）B．当时，轨迹为焦点在轴上的椭圆（除与轴的两个交点）C．当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点）D．当时，轨迹为焦点在轴上的双曲线（除与轴的两个交点）12、与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A． B．C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、下列四个命题：①“，则全为”的逆否命题是“若全不为”，则”；②已知曲线的方程是，曲线是椭圆的充要条件是；③“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为.上述命题中真命题的序号为__________．14、过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为__________．15、已知在空间四边形中，点在上，且，为中点，用表示，则等于__________．16、抛物线的焦点坐标为__________．三、解答题（题型注释）17、设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，椭圆的长半轴长为，短半轴长为，若，则称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为，右顶点为. （1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，当为何值时，取得最小值，试求出最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上.18、如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，∥且，点为中点.（1）求证：平面；（2）若点为边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.19、已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）经过点作斜率为的直线与曲线交于两点，是坐标原点，是否存在实数，使在以为直径的圆外？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.20、如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的大小.21、已知抛物线截直线所得弦长.（1）求的值；（2）设是轴上的点，且的面积为，求点的坐标.22、已知实数，设命题：函数在上单调递减；命题：不等式的解集为，如果为真，为假，求的取值范围.参考答案1、A2、D3、D4、A5、C6、B7、B8、B9、C10、D11、C12、A13、③④14、15、16、17、（1）或; （2）见解析.18、（1）见解析;（2）存在符合条件的.或.19、（1）: ，:.（2）不存在实数，使在以为直径的圆外.20、（1）见解析;（2）．21、（1）; （2）的坐标为或．22、.【解析】1、，不妨令，，又由双曲线的定义得：，，在中，，又，所以双曲线的离心率，故选C.点睛：解决本题的巧妙方法是特殊值法，将各边的长度特殊为具体数据，方便研究边与边的位置关系，其次，在双曲线中，涉及到焦半径问题的要注意运用双曲线的定义得到两边的长度关系.2、以为原点,为轴,在平面中过作的垂线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,,分别是棱上的点,且,,设异面直线与所成角所成角为 ,则 .所以异面直线与所成角的余弦值为 .故选D.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3、由题意可得，又因为与垂直，所以，即，所以得，所以，即，故本题正确答案为D。
【精品】2016-2017年山东省青岛市胶州市高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2016-2017学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数=（）A．1﹣2i B．C．1D．1+2i2．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．内含3．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）5．（5分）F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．37．（5分）已知实数x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．5B．6C．7D．88．（5分）已知平面α，β，γ，直线a，b，c，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b9．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件10．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+111．（5分）在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．A．0B．1C．2D．312．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3C．D．2二、填空题13．（5分）过点（﹣1，2）且和直线3x+2y﹣7=0垂直的直线方程是．14．（5分）方程表示椭圆，则k的取值范围是．15．（5分）已知P为抛物线y=2x2上的点，若点P到直线l：4x﹣y﹣6=0的距离最小，则点P的坐标为．16．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P的线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC恒成立的是．（把正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当圆C与圆D：（x+3）2+（y+1）2=16相外切时，求直线l：x+2y﹣4=0被圆C所截得的弦MN的长．18．（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA 与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．20．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC 1=∠CC1B1=60°，AC=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥CC1；（Ⅱ）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．21．（12分）已知椭圆，过点M（﹣1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．（1）求AB中点P的轨迹方程；（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数=（）A．1﹣2i B．C．1D．1+2i【解答】解：=．故选：A．2．（5分）圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．内含【解答】解：圆x2+y2﹣4=0即x2+y2=4，表示以原点O为圆心、半径等于2的圆，圆x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2 =1，表示以C（﹣1，0）为圆心、半径等于1的圆．由于这两个圆的圆心距为d=OC==2﹣1=R﹣r，故两圆相内切，故选：B．3．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．B．C．D．【解答】解：∵p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为∃x0∈R，x02+1≤0，故选：B．4．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：，变形可得x2=4y，其焦点在y轴正半轴上，且p=2，则其焦点坐标为：（0，1）；故选：C．5．（5分）F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F 1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2=3，∴椭圆方程为，故选：A．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由约束条件，画出如图所示的三角形区域，令z=0得x+2y=0，显然当平行直线x+2y=0过点A（2，1）时，z取得最大值为：7；故选：C．8．（5分）已知平面α，β，γ，直线a，b，c，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【解答】解：A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，因此不正确；B．若a⊥c，b⊥c，则a∥b、相交或异面直线，因此不正确；C．由a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质定理可得：a∥b，正确；D．若a∥α，b∥α，则a∥b、相交或异面直线，因此不正确．综上：只有C正确．故选：C．9．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．10．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1【解答】解：n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…++++…+．∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）=2k+1﹣2k=2k．故选：C．11．（5分）在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．A．0B．1C．2D．3【解答】解：当过平面α外的两点在垂直于平面α的直线上时，命题①不成立；不共线三点在平面α，β的两侧时，②不成立；无数条直线平行时，③不成立；在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1与B1C1是异面直线，AA1在面ABCD中的射影是点，故④错．故选：A．12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3C．D．2【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M 的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：D．二、填空题13．（5分）过点（﹣1，2）且和直线3x+2y﹣7=0垂直的直线方程是2x﹣3y+8=0．【解答】解：设与直线3x+2y﹣7=0垂直的直线方程为：2x﹣3y+c=0，把点（﹣1，2）代入，得：c=8．∴过点（﹣1，2），且与直线3x+2y﹣7=0垂直的直线方程是2x﹣3y+8=0．故答案为：2x﹣3y+8=0．14．（5分）方程表示椭圆，则k的取值范围是{k|﹣3＜k＜3且k ≠0} ．【解答】解：根据题意，表示椭圆，必有，解可得：﹣3＜k＜3且k≠0，即k的取值范围是：{k|﹣3＜k＜3且k≠0}；故答案为：{k|﹣3＜k＜3且k≠0}．15．（5分）已知P为抛物线y=2x2上的点，若点P到直线l：4x﹣y﹣6=0的距离最小，则点P的坐标为（1，2）．【解答】解：设抛物线y=2x2上一点为P（x0，2x02），点A（x0，2x02）到直线l：4x﹣y﹣6=0的距离d==|2（x0﹣1）2﹣8|，∴当x0=1时，即当A（1，2）时，抛物线y=2x2上一点到直线l：4x﹣y﹣6=0的距离最短．故答案为：（1，2）．16．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P的线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC恒成立的是①③．（把正确的序号都填上）【解答】解：解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．∴恒成立的结论是：①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当圆C与圆D：（x+3）2+（y+1）2=16相外切时，求直线l：x+2y﹣4=0被圆C所截得的弦MN的长．【解答】解：（Ⅰ）圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m …（2分）令5﹣m＞0，得m＜5．…（4分）（Ⅱ）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径r=圆D：（x+3）2+（y+1）2=16，圆心D（﹣3，﹣1），半径R=4…（6分）∵圆C与圆D相外切∴，解得m=4 …（8分）圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为d=…（10分）∴|MN|=…（12分）18．（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA 与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）20．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥CC1；（Ⅱ）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB1=，又AB1=，所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C（0，﹣1，0），B1（，0，0），A（0，0，），…（6分）设平面CAB1的法向量为=（x1，y1，z1），因为=（，0，﹣），=（0，﹣1，﹣），所以取=（1，﹣，1）．…（8分）设平面A1AB1的法向量为=（x2，y2，z2），因为=（，0，﹣），=（0，2，0），所以取=（1，0，1）．…（10分）则cos＜＞===，因为二面角C﹣AB 1﹣A1为钝角，所以二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值为﹣．…（12分）21．（12分）已知椭圆，过点M（﹣1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．（1）求AB中点P的轨迹方程；（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则（1）﹣（2），得，∴，即x2+x+4y2=0（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则令l：x=hy﹣1代入x2+4y2=4，得（4+h2）y2﹣2hy﹣3=0，△=16（h2+3）＞0，y1+y2=，y1y2=﹣∴，令，则在上单调递减，∴，即h=0时，，此时l：x=﹣1．22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m=0∴存在Q （0，0）满足条件（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
山东省师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
毫米黑色签字笔将自己地，准考证号，考试科目填写在规定地位置上A8请公仔细算相还每天走地路程为前一天地一半．既不充分也不必要款件6,且第II 卷二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
13．直线x y 4=与曲线2x y =围成地封闭图形地面积为________．14．若函数a x x x f +-=12)(3地极大值为10,则)(x f 地极小值为________．15．已知0>x ,0>y ,若491x y+=,则y x +地最小值为________．16．函数)(x f 地定义域为R ,2018)2(=-f ,若对任意地R x ∈,都有x x f 2)(<'成立,则不等式2014)(2+<x x f 地解集为________．三，解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知}{n a 是等比数列,21=a ,且1a ,13+a ,4a 成等差数列．（1）求数列}{n a 地通项公式。
（2）若n n a n b ⋅=,求数列}{n b 地前n 项和n S ．18．（12分）在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,且A c c C a cos sin 3+=．（1）求角A 地大小。
（2）若32=a ,ABC ∆地面积为3,求ABC ∆地周长．19．（12分）已知函数x x x x f ln )(2-+=．（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处地切线方程。
（2）求函数)(x f y =地极值,并确定该函数零点地个数．）过椭圆地左焦点15.分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17考题考生依据要求作答。
（一）必考题：共∴∆19.切线方程为： (12) (3)椭圆方程为依题：∴()f x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减．综上可知：若0a ≤,()f x 在(0,)+∞上单调递增。
陕西省咸阳市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式x2﹣1≥0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≥1或x≤﹣1}D．{x|x＞1或x ＜﹣1}2．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜13．不等式3x+2y﹣6≤0表示的区域是（）A．B．C．D．4．命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是（）A．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 B．若a﹣1＞b﹣1，则a＞bC．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a﹣1≤b﹣1，则a≤b5．数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，…的一个通项公式为（）A．a n=2n﹣1 B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n （﹣1）n+1（2n﹣1）6．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，经过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|=4，则|AF1|+|BF1|=（）A．12 B．9 C．8 D．27．已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定8．设a+b＜0，且b＞0，则下列不等式正确的是（）A．b2＞﹣ab B．a2＜﹣ab C．a2＜b2D．a2＞b29．已知x+y=3，则Z=2x+2y的最小值是（）A．8 B．6 C．D．10．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根12．若双曲线的顶点为椭圆2x2+y2=2长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A．x2﹣y2=1 B．y2﹣x2=1 C．y2﹣x2=2 D．x2﹣y2=2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式≤0的解集为．14．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，2），且∥，则实数m的值等于．15．设F为抛物线C：y=x2的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥y轴，则k=．16．已知A（2，5），B（4，1），若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．18．已知抛物线的标准方程是y2=6x．（Ⅰ）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，与抛物线相交于不同的两点A、B，求线段AB的长度．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点，将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），使得PA⊥平面ABCD，连接PC、PB，构成一个四棱锥P﹣ABCD．（Ⅰ）求证AD⊥PB；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长等于长轴长的一半，椭圆C 上的点到右焦点F的最短距离为2﹣，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AOB的面积为1，求直线l的方程．2016-2017学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式x2﹣1≥0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|x≥1或x≤﹣1}D．{x|x＞1或x ＜﹣1}【考点】集合的表示法．【分析】求出不等式的解集，写出即可．【解答】解：不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，则不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣1}，故选：C．2．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1【考点】全称命题；命题的否定．【分析】利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．故选：D．3．不等式3x+2y﹣6≤0表示的区域是（）A．B．C．D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出3x+2y﹣6=0，找点判断可得．【解答】解：可判原点适合不等式3x+2y﹣6≤0，故不等式3x+2y﹣6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y﹣6=0的左下方，故选：D．4．命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是（）A．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 B．若a﹣1＞b﹣1，则a＞bC．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a﹣1≤b﹣1，则a≤b【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是“若a﹣1≤b﹣1，则a≤b”．故选：D．5．数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，…的一个通项公式为（）A．a n=2n﹣1 B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n （﹣1）n+1（2n﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】其符号与绝对值分别考虑即可得出．【解答】解：数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，…的一个通项公式为．故选：C．6．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，经过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|=4，则|AF1|+|BF1|=（）A．12 B．9 C．8 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可得：|AB|+|AF1|+|BF1|=4a，即可得出．【解答】解：由+=1，可得a=3．由椭圆的定义可得：|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=12，|AB|=4．∴|AF1|+|BF1|=12﹣4=8．故选：C．7．已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定【考点】正弦定理．【分析】平方已知式子结合三角形内角范围可得cosA为负数，可得A为钝角，可得结论．【解答】解：∵△ABC中，∴平方可得，∴，由三角形内角范围可得sinA＞0，∴cosA＜0，A为钝角．故选：B8．设a+b＜0，且b＞0，则下列不等式正确的是（）A．b2＞﹣ab B．a2＜﹣ab C．a2＜b2D．a2＞b2【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a+b＜0，且b＞0，∴﹣a＞b＞0，∴∴a2＞b2．故选：D．9．已知x+y=3，则Z=2x+2y的最小值是（）A．8 B．6 C．D．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得Z=2x+2y≥2=2=4，验证等号成立的条件即可．【解答】解：∵x+y=3，∴Z=2x+2y≥2=2=4当且仅当2x=2y即x=y=时取等号，故选：D10．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【考点】空间向量的加减法．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】先由p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx2﹣2ax+c=0判别式△=4a2﹣4bc的符号，决定根的情况即可得答案．【解答】解：∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列∴a2=pq，b+c=p+q．解得b=，c=；∴△=（﹣2a）2﹣4bc=4a2﹣4bc=4pq﹣（2p+q）（p+2q）===﹣（p﹣q）2又∵p≠q，∴﹣（p﹣q）2＜0，即△＜0，原方程无实根．故选A．12．若双曲线的顶点为椭圆2x2+y2=2长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A．x2﹣y2=1 B．y2﹣x2=1 C．y2﹣x2=2 D．x2﹣y2=2【考点】椭圆的简单性质．【分析】化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长及离心率，得到双曲线的实半轴长及离心率，进一步求得双曲线的半焦距，结合隐含条件求得虚半轴长，则双曲线方程可求．【解答】解：由椭圆2x2+y2=2，得，∴a2=2，b2=1，则，a=．则e=，∴双曲线的实半轴长m=，离心率e′=，则双曲线的半焦距c′=，则虚半轴长n=．∴双曲线的方程为，即y2﹣x2=2．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式≤0的解集为{x|x＜0，或x≥1 } ．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即即，由此求得x的范围．【解答】解：不等式≤0，即≥0，即，求得x＜0，或x≥1，故答案为：{x|x＜0，或x≥1 }．14．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，2），且∥，则实数m的值等于﹣2．【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据向量共线得出方程组解出m．【解答】解：∵∥，∴=k，∴，解得k=﹣，m=﹣2．故答案为﹣2．15．设F为抛物线C：y=x2的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥y轴，则k=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．【解答】解：抛物线C：y=x2的焦点F为（0，1），曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥y轴，得：P点纵坐标为1，代入C得：P点横坐标为2，故k=2，故答案为2．16．已知A（2，5），B（4，1），若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为7．【考点】直线的两点式方程．【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图示：A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故答案为：7．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理即可得出．（II）利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，∴，即．（Ⅱ）∵，解得b=2．又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，∴．18．已知抛物线的标准方程是y2=6x．（Ⅰ）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，与抛物线相交于不同的两点A、B，求线段AB的长度．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，（Ⅱ）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=，∴抛物线的焦点坐标（，0），准线方程x=﹣；（Ⅱ）∵直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x﹣，代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．20．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（I）由x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；化为（x﹣3a）（x﹣a）＜0，解得x 范围．q：实数x满足，化为：，根据当p∧q为真，即可得出实数x的取值范围是（2，3）．（II）根据q是p的充分不必要条件，可得，解得实数a的取值范围．【解答】解：（I）由x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；化为（x﹣3a）（x﹣a）＜0，解得a＜x＜3a．a=1时，1＜x＜3．q：实数x满足，化为：，解得2＜x≤3．当p∧q为真，则，解得2＜x＜3．∴实数x的取值范围是（2，3）．（II）∵q是p的充分不必要条件，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点，将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），使得PA⊥平面ABCD，连接PC、PB，构成一个四棱锥P﹣ABCD．（Ⅰ）求证AD⊥PB；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，从而AD⊥平面PAB，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，∵AB∥CD，AB=CD，∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵∠B=90°，∴AD⊥BE，当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，又∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（Ⅱ）解：①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），=（1，1，﹣1），=（0，1，0），=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ，则cosθ=﹣=﹣，∴θ=120°．∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长等于长轴长的一半，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为2﹣，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AOB的面积为1，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知，解得a，b即可．（Ⅱ）将直线l：y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得：5x2+8mx+4m2﹣4=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程的方程为：．（Ⅱ）将线l：y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得：5x2+8mx+4m2﹣4=0，由△=64m2﹣4×5×（4m2﹣4）＞0，⇒m2＜5；x1+x2=﹣，x1x2=．|AB|==，原点O到直线l：y=x+m的距离d=，△AOB的面积为s=×d×|AB|==1；化简得4m4﹣20m2+25=0，m2=，m=±，直线l的方程为：y=x±2017年2月28日。
烟台市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年山东省烟台市高二(上)期末数学试卷（理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x∈R，都有x2≥0”的否定为( ）A．不存在x0∈R,使得 B．∀x∈R,都有x2＜0C．∃x0∈R，使得D．∃x0∈R，使得2．给出命题：若方程mx2+ny2=1(m，n∈R）表示椭圆，则mn＞0．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．命题p：若a＞b,则ac2＞bc2;命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1+lnx0=0,则下列命题为真命题的是（)A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）4．已知=(2,﹣1，2）,=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量,,共面，则λ=（)A．2 B．3 C．4 D．65．平面内有两定点A,B及动点P,设命题甲:“|PA|与｜PB|之差的绝对值是定值”,命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线",那么命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知F是抛物线y2=2x的焦点,A,B是该抛物线上的两点，｜AF|+｜BF｜=11,则线段AB的中点到y轴的距离为（)A．3 B．4 C．5 D．77．已知命题p：｜x﹣a｜＜4，命题q：(x﹣2）（3﹣x）＞0．若￢p 是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( ）A．［﹣1，6］B．（﹣∞，﹣1）C．(6，+∞）D．（﹣∞,﹣1）∪（6，+∞）8．已知空间向量=(1,n，2)，=（﹣2,1，2），若2﹣与垂直，则｜｜等于( )A．B．C．D．9．与x轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤y≤2）内切的动圆圆心的轨迹方程是( ）A．x2=﹣4（y﹣1）(0＜y≤1) B．x2=4（y﹣1)（0＜y≤1）C．x2=4（y+1）（0＜y≤1）D．x2=﹣2（y﹣1）(0＜y≤1)10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6．若E,F分别是棱BB1,CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（)A．B．C．D．11．设点A，B的坐标分别为(4,0），（﹣4，0),直线AP,BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（）A．当m＜﹣1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点)B．当﹣1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点)C．当m＞0时,轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除与x轴的两个交点）D．当0＜m＜1时,轨迹为焦点在y轴上的双曲线(除与y轴的两个交点)12．已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0)的左右焦点,过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB｜：|BF2|：|AF2|=3：4:5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=x2的焦点坐标是．14．已知在空间四边形OABC中,，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC中点,用表示，则等于．15．过椭圆右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点,且OP的斜率为，则椭圆M的方程为．16．下列四个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”;②已知曲线C的方程是kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R)，曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4；③“”是“直线（m+2)x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）。
数学---山东省烟台市2016-2017学年高二上学期期末考试试题(理)
山东省烟台市2016-2017学年上学期高二期末自主练习理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“x ∀∈R ，都有x ≥20”的否定为（ ）A ．不存在x ∈0R ，使得x <200 B ．x ∀∈R ，都有x <20C ．x ∃∈0R ，使得x ≥200D ．x ∃∈0R ，使得x <2002.给出命题：若方程(,)mx ny m n +=∈221R 表示椭圆，则mn >0.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03.命题p ：若a b >，则ac bc >22；命题q ：x ∃>00，使得ln x x -+=0010，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∨⌝D ． ()()p q ⌝∧⌝ 4.已知),6,13(),3,3,1(),2,1,2(λ=--=-=，若向量,,共面，则=λ（ ） A ．2B ．3C. 4D ．65.平面内有两定点B A ,及动点P ，设命题甲：“PA 与B P 之差的绝对值是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以B A ,为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知F 是抛物线x y 22=的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，11=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．3B ．4C.5D ．77.已知命题4:<-a x p ，命题0)3)(2(:>--x x q .若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]6,1[-B ．)1,(--∞ C.),6(+∞ D ．),6()1,(+∞--∞8.已知空间向量)2,1,2(),2,,1(-==n ，若-2与 ）A ．235 B ．221 C.237 D ．253 9.与x 轴相切且和半圆)20(422≤≤=+y y x 内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．)10)(1(42≤<--=y y x B ．)10)(1(42≤<-=y y x C.)10)(1(42≤<+=y y xD ．)10)(1(22≤<--=y y x10.在三棱柱111C B A ABC -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，6,41==AA AB .若F E ,分别是棱11,CC BB 上的点，且11131,CC F C E B BE ==，则异面直线E A 1与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．62-B ．62 C. 102- D ．102 11.设点B A ,的坐标分别为)0,4(),0,4(-，直线BP AP ,相交于点P ，且它们的斜率之积为实数m ，关于点P 的轨迹下列说法正确的是（ ）A ．当1-<m 时，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除与x 轴的两个交点）B ．当01<<-m 时，轨迹为焦点在y 轴上的椭圆（除与y 轴的两个交点） C. 当0>m 时，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除与x 轴的两个交点） D ．当10<<m 时，轨迹为焦点在y 轴上的双曲线（除与y 轴的两个交点）12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，21,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于B A ,两点，若5:4:3::22=AF BF AB ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．4 C. 13 D ．15二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线241x y =的焦点坐标为 ． 14.已知在空间四边形OABC 中，,,,c OC b OB a OA ===点M 在OA 上，且MA OM 3=，N 为BC 中点，用c b a ,,表示，则等于 ．15.过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 右焦点的直线03=-+y x 交M 于B A ,两点，P为AB 的中点，且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为 ． 16.下列四个命题：①“022=+b a ，则b a ,全为0”的逆否命题是“若b a ,全不为0”，则022≠+b a ”；②已知曲线C 的方程是()()kx k y k +-=∈2241R ，曲线C 是椭圆的充要条件是40<<k ；③“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线经过点)2,1(，则该双曲线的离心率的值为5. 上述命题中真命题的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知实数0>c ，设命题p ：函数xc y )12(-=在R 上单调递减；命题q ：不等式12>-+c x x 的解集为R ，如果q p ∨为真，q p ∧为假，求c 的取值范围.18. 已知抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得弦长15=AB . （1）求m 的值；（2）设P 是x 轴上的点，且ABP ∆的面积为239，求点P 的坐标.19. 如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，1==AD PA ，F E ,分别是AC PD ，的中点.（1）求证：EF ∥平面PAB ；（2）求直线EF 与平面ABE 所成角的大小.20. 已知抛物线y x C 4:21=的焦点F 也是椭圆)0(1:22222>>=+b a bx a y C 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为62.（1）求椭圆2C 的方程；（2）经过点)0,1(-作斜率为k 的直线l 与曲线2C 交于B A ,两点，O 是坐标原点，是否存在实数k ，使O 在以AB 为直径的圆外？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，2===AD AB PA ，四边形ABCD 满足AD AB ⊥，BC ∥AD 且4=BC ，点M 为PC 中点.（1）求证：⊥DM 平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=ECBE，是否存在实数λ，使得二面角B DE P --的余弦值为32？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.22.设椭圆1E 的长半轴长为1a ，短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a ，短半轴长为2b ，若2121b b a a =，则称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆.已知椭圆12:22=+y x E ，其左顶点为A ，右顶点为B .（1）设椭圆E 与椭圆12:22=+y s x F 是“相似椭圆”，求常数s 的值；（2）设椭圆)10(2:22<<=+λλy x G ，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，当λ为何值时，21k k +取得最小值，试求出最小值；（3）已知椭圆E 与椭圆)2(12:22>=+t ty x H 是相似椭圆，椭圆H 上异于B A ,的任意一点),(00y x C ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上.参考答案一、选择题1-5:D C B B B 6-10:C A D A D 11-12：C C 二、填空题 13. ()0,1 14. 311422-++a b c15. 22163+=x y16. ③④三、解答题17．解：由函数(21)x y c =-在R 上单调递减可得，0211c <-<，解得112c <<. 设函数22,2()|2|2,-≥⎧=+-=⎨<⎩x c x cf x x x c c x c ，可知()f x 的最小值为2c ，要使不等式|2|1x x c +->的解集为R ，只需121,2c c >>， 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以,p q 只能一真一假，当p 真q 假时，有11212c c ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，无解；当p 假q 真时，有10,1212c c c ⎧≤≤≥⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，可得1c ≥，综上，c 的取值范围为1c ≥. 18．解:（1）联立方程224y x my x=+⎧⎨=⎩， 整理得()224410x m x m +-+=.设()()1122,,,A x y B x y ，则有121x x m +=-，2124m x x =.=.=,解得1m =-. （2）设(),0,P a P 到直线AB 的距离为d ，因为:20AB l x y m -+=，由点到直线的距离公式得d又12ABP S AB d ∆=，所以2ABP S d AB ∆=，， 解得5a =或4a =-，故点p 的坐标为()5,0或()4,0-．19．（1）证明：分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接,,MN ME NF ， 则NF ∥AD ，且NF =12AD ，ME ∥AD ，且=ME 12AD ， 所以NF ∥ME ，且=NF ME ， 所以四边形MNFE 为平行四边形.∴MN EF ∥，又⊄EF 平面PAB ，⊂MN 平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ；（2）由已知：底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ， 所以,,AP AB AD 两两垂直；如图所示，以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，于是()()()()0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,P A B C ()110,1,0,0,,,22D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,0;22F ⎛⎫⎪⎝⎭∴11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()110,,,1,0,022AE AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ABE 法向量(),,x y z =n ，则0,0AE AB ==n n ，∴110220y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令1y =，则1z =-，0x =， 取()0,1,1=-n 为平面ABE 的一个法向量； 设直线EF 与平面ABE 所成角为α，于是：1sin cos ,2EF EF EF α===n n n ； 所以直线EF 与平面ABE 所成角为6π．20. 解：（1）由1C ：24x y =知其焦点F 的坐标为(0，1)． 因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -=.① 又1C 与2C的公共弦的长为1C 与2C 都关于y 轴对称， 且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以229614a b +=.②联立①，②得229,8a b ==.故2C 的方程为22198y x +=.（2）由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+， 联立方程228972y x y kx k⎧+=⎨=+⎩ ， 整理得 ()222298168720kxk x k +++-=.设()()1122,,,,A x kx k B x kx k ++于是有12x x +＝221698k k-+ ，12x x ＝2287298k k -+. 因为()()1122,,,OA x kx k OB x kx k =+=+OA ·OB ＝()()1212x x kx k kx k +++()()22212121=++++k x x k x x k 225572098--=<+k k.所以2AOB π∠>. 可知O 恒在为AB 直径的圆内.所以不存在实数k ，使O 在以AB 为直径的圆外.21．解:（1）如图，取PB 中点N ，连结,MN AN .∵M 是PC 中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2. 又∵BC ∥AD ，2=AD ， ∴MN ∥AD ，=MN AD ，∴四边形ADMN 为平行四边形． ∵AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，= AP AB A ， ∴⊥AD 平面PAB .∵⊂AN 平面PAB ，∴AD ⊥AN ，∴AN ⊥MN . ∵=AP AB ，∴AN ⊥PB ，MN ∩PB ＝N ，∴AN ⊥平面PBC . ∵//AN DM ，∴DM ⊥平面PBC . （2）存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 方向为x 轴的正方向，AD方向为y 轴的正方向，AP方向为z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设()()2,,004E t t ≤≤，()()()0,0,2,0,2,0,2,0,0P D B ，则()0,2,2PD =- ，()2,2,0DE t =-．设平面PDE 的法向量()1,x y z =,n则10PD = n ，10DE =n ，∴()220220y z x t y -=⎧⎨+-=⎩令2y =，则2z =，2x t =-， 取平面PDE 的一个法向量为()12,2,2t =-n ． 又平面DEB 即为xAy 平面，故其一个法向量为()20,0,1=n ， ∴1212122cos ,3=== n n n n n n . 解得3=t 或1=t ，∴3λ=或13λ=. 22．解:（1）由题意得221s =或122s =，分别解得4s =或1s =.（2）由题意知：()A ，()0,1D ，直线(11:l y k x =，直线22:1l y k x =+， 联立方程(12222y k x x y λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222211112420k x x k λ+++-=. 因为直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，所以211022k λλ∆=⇒=-. ①联立方程222122λ=+⎧⎨+=⎩y k x x y ， 整理得：()2212124220k x k x λ+++-=. 因为直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，所以222102k λλ-∆=⇒=. ② 由 ①②得：2212121142k k k k ⋅=⇒⋅=.所以12k k +≥，此时12k k ==，即2211122k λ==+. （3）由题意知：2421t t =⇒=，所以22:124x y H +=，且()0A，)B . 设垂心()0M x y ，，则AM BC ⊥ ，即()()20000200x AM BC x y x y y y -=⇒+=⇒= . 又点()00C x y ，在22:124x y H +=上，有220024x y +=. 则2222200002222x x y x y ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，所以ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上.。