完全平方数
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。
接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。
最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。
2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。
接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。
最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。
这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。
了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。
完全平方数
完全平方数（一）完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,48 4,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m^2=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
完全平方数大全.
完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。
1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…2、标准分解式：大于1的平方数n 的标准分解式如下：1222212kl l l kn pp p =（1）其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<<<是质数，12,,,k l l l 是自然数。
2.1例如：2222422223623,10025,14423,900235,=⨯=⨯=⨯=⨯⨯二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9. （此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设2()n n N ∈为完全平方数，0n 是n 的个位数，则2n 的个位数与20n 的个位数相同。
利用整数同余的知识有如果0(mod10)n n ≡，那么220(mod10)n n ≡又0n 的全体是集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，20n 的全体是{}0,1,4,9,16,25,36,49,64,81，20n 的个位数全体是{}0,1,4,5,6,9。
所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
五年级春季第8讲——完全平方数
二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
1
五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．
小学数学精讲解析：完全平方数
完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下()个球。
例5能不能找到一个自然数n，是完全平方数，且n＋1999也是完全平方数？例6有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是()。
测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A，2；已知A的千位数字是2，十位数字是1，且A各个位数上的数A B字相加的和为3的倍数。
那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、 、22n ⨯。
完全平方数
完全平方数(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
完全平方数
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为
，则
= 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)2 是8n+1型的数；由k2为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4 型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类： 3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)2=9m2=3k (3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1 (3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这 四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与 百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个 矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数， 因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。
简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。
例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。
完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。
不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。
2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。
如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。
3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。
如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。
完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。
如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。
例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。
例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。
如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。
3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为
32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)
2、 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为
2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=
二、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
例题精讲
知识点拨
例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
百炼成钢1、
1、126共有几个约数？全部约数和是多少？
2、240共有几个约数？全部约数和是多少？
3、324共有几个约数？全部约数和是多少？
例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
百炼成钢2、
1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数．
2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？
例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。
百炼成钢3：
1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？
2、有12个不同约数的最小自然数是多少？
3、有10个不同约数的最小自然数是多少？
例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
百炼成钢4：
1、某自然数是9和2的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少
2、某自然数是9和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少
3、一本故事书，如果每天读70页，5天读不完，6天又有余。
如果每天读65页，6天读不完，7天又有余。
如果每天读k页（k是整数），正好k天读完。
这本书有多少页？
例5、从1到1998的所有自然数中，有多少个乘以72后是完全平方数？
百炼成钢5：
1．240乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。
2、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？
3、13500除以一个最小的数使商成为一个完全平方数，这个最小的数是。
例6：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元（n为整数），全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
百炼成钢6：
1、甲、乙两同学按先后顺序把多米诺骨牌，要求摆成一个正方形。
由于每人手中一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
现已知最后一次甲摆了10块，而乙摆了不足10块。
如果他们一共要摆3000多块，那么他们摆的准确数是（）块。
2、甲、乙两人共买a只皮球，每只皮球a元，付款时，甲先付10元，乙再付1 0元，照此轮流付下去，当最后余下的所要付的钱不足10元时，轮到乙付。
当全部付完款后，乙应再付多少钱给甲，才能使两人所付的钱同样多？
例7：求一个最小自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是完全五次方数。
百炼成钢7：
1、有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
2、有3个连续自然数，它们的和为一个立方数，中间数是平方数，则这3个数中最小数的最小值为．
例8：一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
百炼成钢8：
1、一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
2、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
3、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
解题我最牛：
1、求420的约数个数有多少个？它的全部约数和是多少？
2、小于200的有14个约数的自然数有哪些？
3．小于300的9个约数的自然数有哪些？
4、1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
5、从1到2011的所有自然数中，乘以60后是完全平方数的数共有多少个？
6、自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有（）个。
.7、求一个能被180整除的最小完全平方数.
8、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。