2020-2021全国中考数学圆与相似的综合中考真题分类汇总及答案
2020-2021全国中考数学圆与相似的综合中考真题分类汇总及答案
一、相似
1．在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.
（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，
易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；
（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；
（3）图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是________.
【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下：
∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点
∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90°
∴∠CDF＋∠FDB＝90°
∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN
在△CDM和△BDN中
∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN，
∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN
（2）解：作DP⊥AC于P,则
∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1
∵∠CDG＝15° ∴∠MDP＝30° ∵cos∠MDP＝
∴DM＝ ， DM＝DN，
∵△MND为等腰直角三角形
∴MN＝
（3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME
【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME
证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P
则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°
∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE
又∵∠MEP＋∠PEN＝90°
∠PEN＋∠NEB＝90°
∴∠MEP＝∠NEB
又∵∠MPE＝∠B＝45°
∴△PME∽△BNE
∴ ，即EN＝2EM
由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90°根据同角的余角相等得出∠CDM＝∠BDN，然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM＝DN 即EM＝EN；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出∠MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos∠MDP＝得出DM的长，又 DM＝DN，故△MND为等腰直角三角形 ，根据等腰直角三角形的性质即可得出MN的长；
(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P，则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB然后判断出△PME∽△BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论，由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证： ；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值
【答案】（1）
（2）解：存在，理由如下：
∵OA=2,OC=2，
∵tan∠ACO==,
∴∠ACO=30°,∠ACB=60°
①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，
∴∠DCE=∠EDC=30°,
∴∠DBC=∠BCD=60°,
∴△DBC是等边三角形，
∴DC=BC=2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO=30°，OA=2，
∴AC=2AO=4，
∴AD=AC-CD=4-2=2，
∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形，
②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,
∴∠ABD=∠ADB=75°,
∴AB=AD=2，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2.
（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。
∵A(0.2)和C(23 ,0)，
∴直线AC的解析式为y=-33x+2，
设D（a，-33a+2），
∴DN=-33a+2,BM=23-a
∵∠BDE=90°,
∴∠BDM+∠NDE=90°,∠BDM+∠DBM=90°,
∴∠DBM=∠EDN,
∵∠BMD=∠DNE=90°,
∴△BMD~△DNE,
∴DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.
②如图（2）中，作DH⊥AB于H。
在Rt△ADH中，
∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°,
∴DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x，
∴BH=23-32x，
在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,
∴DE=33BD=33·12x2+23-32x2,
∴矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,
即y=33x2-23x+43,
∴y=33x-32+3 ∵33>0,
∴x=3时，y有最小值3.
【解析】【解答】（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC=OA=2，OC=AB= ， ∠BCO=∠BAO=90°,
∴B（ ， 2）
【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。
（2）根据点A、C的坐标，求出∠ACO，∠ACB的度数，分两种情况讨论：①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC；②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,分别求出AD的长，即可求解。
（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设D（a，-a+2），分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明△BMD~△DNE，然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；②如图（2）中，作DH⊥AB于H。设AD=x，用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。
3．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．
【答案】（1）PA=PB
（2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：
如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE， ，
∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点， ∴PD=PE，
∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直线m∥n， ∴∠CDE=∠PCA，
∴∠PCA=∠PEB， 又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE，
在△PAC和△PBE中， ∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB
（3）解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，
，
∵直线m∥n， ∴ ， ∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF，
∴BF=AB；
在△AEF和△BPF中， ∴△AEF∽△BPF， ∴ ，
∴AF•BP=AE•BF，
∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA•PB=2k．AB， ∴PA•PB=k•AB．
【解析】【解答】解：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD， ∴三角形CBD是直角三角形， 又∵点P为线段CD的中点，
∴PA=PB．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；
（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC，根据等边对等角得出∠CDE=∠PEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE=∠PCA，故∠PCA=∠PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE，然后利用SAS判断出△PAC∽△PBE，根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB；
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，根据平行线分线段成比例定理得出AP=PF，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB；然后
2020-2021中考数学综合题专练∶直角三角形的边角关系附详细答案
2020-2021中考数学综合题专练∶直角三角形的边角关系附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知在平面直角坐标系中，点3,0,3,0,3,8ABC，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交Ee于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是Ee的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交Ee于点G，连接BG：
①当1an7tACF时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求BGCF的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F，2(5,0)F；② BGCF的最大值为12.
【解析】
【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作GMBC于点M，证明1~ANFABC，得12BGCF，从而得解.
【详解】
（1）证明：连接DE，则：
∵BC为直径
∴90BDC
∴90BDA
∵OAOB
∴ODOBOA
∴OBDODB
∵EBED
∴EBDEDB ∴EBDOBDEDBODB
即：EBOEDO
∵CBx轴
∴90EBO
∴90EDO
∴直线OD为Ee的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时：
∵1~ANFABC
∴11NFAFANABBCAC
∴设3ANx，则114,5NFxAFx
∴103CNCAANx
∴141tan1037FNxACFCNx，解得：1031x
∴150531AFx
1504333131OF
即143,031F
如图2，当F位于BA的延长线上时：
∵2~AMFABC
∴设3AMx，则224,5MFxAFx
∴103CMCAAMx
∴241tan1037FMxACFCMx
2020-2021中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类含答案
2020-2021中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类含答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知在平面直角坐标系中，点3,0,3,0,3,8ABC，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交Ee于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是Ee的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交Ee于点G，连接BG：
①当1an7tACF时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求BGCF的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F，2(5,0)F；② BGCF的最大值为12.
【解析】
【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作GMBC于点M，证明1~ANFABC，得12BGCF，从而得解.
【详解】
（1）证明：连接DE，则：
∵BC为直径
∴90BDC
∴90BDA
∵OAOB
∴ODOBOA
∴OBDODB
∵EBED
∴EBDEDB ∴EBDOBDEDBODB
即：EBOEDO
∵CBx轴
∴90EBO
∴90EDO
∴直线OD为Ee的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时：
∵1~ANFABC
∴11NFAFANABBCAC
∴设3ANx，则114,5NFxAFx
∴103CNCAANx
∴141tan1037FNxACFCNx，解得：1031x
∴150531AFx
1504333131OF
即143,031F
如图2，当F位于BA的延长线上时：
∵2~AMFABC
∴设3AMx，则224,5MFxAFx
∴103CMCAAMx
∴241tan1037FMxACFCMx
2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)
专题33几何综合压轴问题（解答题）
一、解答题
1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，ABC90BACEF
分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向ABACHEFEFAHA
旋转得到，连接，．90AGGCHB
（1）证明：；AHBAGCAA≌
（2）如图2，连接，，交于点．GFHCAFAFQ
①证明：在点的运动过程中，总有；H90HFG
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？4ABACEHAQGA
2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，ABCADECA90ACBDCE
，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存BCACECDCEABCAADBEFAFBFCF
在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，DFAFBF
之间的数量关系； CF
（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．DF
问题拓展 如图（3），在和中，，，（是ABCADECA90ACBDCEBCkACECkDCk
常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，EABCAADBEFAFBFCF
之间的数量关系．
3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分ADABCA60ADCABAEACDE
．ADB
（思考探究）
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，ABFCADFBFC2DG
，求的长．3CDBD
（拓展延伸）
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，ABCDAC,2BADBCADCAAC
．若，求的长．EDCABC5,25,2BCCDADAEAC
4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足ABCDOABDAAD
中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章 圆 难题训练 附答案
2021年中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章 圆 难题训练
一．选择题（共18小题）
1．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（ ）
A．9 B．3+4 C．10 D．6
2．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8
4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（ ）
A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形
C．＝2 D．BC＝2CE
5．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE＝BF，，OE＝1，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A'、B'、C'、D'四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：
2023年河南省中考数学模拟题知识点分类汇编：图形的相似(附答案解析)
第1页（共51页）2023年河南省中考数学模拟题知识点分类汇编：图形的相似
一．选择题（共22小题）
1．（2022•巩义市模拟）如图，D，E是△ABC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得
△ABC∽△AED，则下列选项不成立的是（）
A
．
＝B
．
＝C．∠C＝∠ADED．∠B＝∠AED
2．（2022•方城县二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE
与CD相交于点F，下列结论正确的是（）
A
．B
．C
．D
．
3．（2022•伊川县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位
于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为
（）
A．B．C．D．
4．（2022•开封二模）如图，直线l1∥l2∥l3，已知AE＝1，BE＝2，DE＝3，则CD的长为
（）
河南省2021年中考数学真题试卷(word版+答案+解析)
河南省2021年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.实数-2的绝对值是（ ）
A. -2 B. 2 C. 12
D.
−12
2.河南人民济困最“给力！”，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到
2.94
亿元数据“
2.94
亿”用科学记数法表示为（ ）
A. 2.94×107 B. 2.94×108 C. 0.294×106 D. 0.294×109
3.如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. (−𝑎)2=−𝑎2 B. 2𝑎2−𝑎2=2 C. 𝑎2⋅𝑎=𝑎3 D. (𝑎−1)2=𝑎2−1
5.如图， 𝑎//𝑏 ， ∠1=60° ，则 ∠2 的度数为（ ）
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
6.关于菱形的性质，以下说法不正确．．．的是（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形
7.若方程 𝑥2−2𝑥+𝑚=0 没有实数根，则 𝑚 的值可以是（ ）
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：图形的相似2(附答案)
1 / 34 2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：图形的相似2（附答案）
1．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：4 D．4：1
2．如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（ ）
A．（）2018 B．（）2019 C．（）2018 D．（）2019
3．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离都为1，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（ ） 2 / 34 A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B．△ABC与△A1B1C1不一定相似
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1
5．如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4
2021年山东中考数学真题分类汇编之图形的变化
第1页（共44页）
2021年山东中考数学真题分类汇编之图形的变化
一．选择题（共12小题）
1．（2021•淄博）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2021•淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
4．（2021•枣庄）如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F．已知EF＝，则BC的长是（ ）
第2页（共44页）
A． B．3 C．3 D．3
5．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021•东营）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
7．（2021•东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
第3页（共44页）
8．（2021•菏泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12π B．18π C．24π D．30π
9．（2021•枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（ ）
专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)
挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题9二次函数与圆综合问题
解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：
1. 直线与圆的位置关系：
平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：
（1） 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题
（2） 利用勾股定理解决问题
（3） 利用相似列出比例式解决问题
2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟
3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.
【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；
（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；
（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．
2021年北京市中考数学试卷及答案解析
2021年北京初中学考数学试题解析
第一部分 选择题
选择题每题2分，8道题，共16分。
选择题 第1题
三视图
【解析】
送分题。本题选B。
择题 第2题
科学计数法
【解析】
大数的科学计数法，不是计算，没有坑。
选择题 第3题
角度
【解析】
去年考察对顶角相等，今年余角补角，初一基础题型。本题选A。
选择题 第4题
内角和
【解析】
很意外的一种考察形式嘛，本题选D。
选择题 第5题
数轴
【解析】
常规题型，本题选B。
选择题 第6题
概率
【解析】
概率题，本题选C。
选择题 第7题
估值
【解析】
估值试题从填空题跑到了选择题。本题选B。
选择题 第8题
函数图象题
【解析】本题选A。
第二部分 填空题
填空题每题2分，8道题，共16分。
填空题 第9题
分式
【解析】
常规题，基础题，人品题。
填空题 第10题
估值计算
【解析】
因式分解是高频考点。
填空题 第11题
分式方程
【解析】
比较简单。
填空题 第12题
反比例函数
【解析】
常规考题。m=-2。
填空题 第13题
一次函数与反比例函数
【解析】
切线长定理的基本应用。
填空题 第14题
开放题
【解析】开放题是目前的一种热门/趋势，考察思维的灵活性。本题是矩形的性质及菱形的判定的综合应用。本试卷的解答题则是平四的判定。填空题 第15题
方差
【解析】
方差比较是高频考点。本题应填“＞”
填空题 第16题
符号意识/比例计算/阅读
【解析】
答案为2:3,1/2.
第三部分 解答题
解答题 第17题
混合运算
【解析】
基础题型，送分题。
解答题 第18题
解不等式组
【解析】
基础题型，送分题。
解答题 第19题
整式的计算
【解析】
2020年考察过类似题目。基础题型，值得注意的是，20116~2019北京中考都没有在解答题位置出现过整式的
乘法与整体代入题型。
解答题 第20题
几何作图
【解析】
作图题的新花样，创新型试题，和海淀一模的“圭表”试题很相似，有画图，有依据填空。本题是等腰三角形三
线合一的性质。
解答题 第21题