率失真理论
《率失真函数》课件
模拟退火算法
通过模拟物理中的退火 过程，在解空间中随机
搜索最优解。
优化算法的步骤和流程
2. 评估
计算目标函数f(x0)和约束条件 g(x0)和h(x0)。
4. 终止条件
判断是否满足终止条件，如达 到最大迭代次数或目标函数变 化小于预设阈值等。
1. 初始化
设置初始解x0和参数如学习率 、迭代次数等。
3. 迭代更新
根据当前解x0和参数，计算新 的解x1 = x0 - 学习率 * 梯度 ，并更新目标函数和约束条件 。
5. 输出
输出最优解x*和目标函数的最 小值或最大值。
04 率失真函数的应用场景
数据压缩
高效压缩与解压
率失真函数在数据压缩领域中发挥了关键作用。通过最小化信息损失，它能够将大量数据高效地压缩为较小的文件，同时保 持数据的可读性和完整性。这使得率失真函数成为数据存储和传输的重要工具，特别是在带宽有限或存储空间受限的环境中 。
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2. 记录每个失真度和码率下的性能指标。
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3. 分析实验数据，绘制率失真曲线。
实验结果分析
01
02
03
数据分析
通过对比不同失真度和码 率下的性能指标，分析率 失真函数的特性。
结果解释
解释率失真函数曲线的形 状和意义，说明其在图像 和音频编码中的应用。
结论总结
05 实验与案例分析
实验设计
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实验目标：通过实验，理解和掌握率失真函数的基本概念 和性质。
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实验原理：基于信息论和编码理论，通过模拟不同失真度 和码率的编码过程，观察率失真函数的形状和特性。
率失真理论
即我们构造的信道满足我们关于输入分布的假 从而 Pr( X = 0) = 1 − Pr( X = 1) = 1 − p ， 设。可以计算出对应该信道的互信息为：
ˆ ) = H(X ) − H(X | X ˆ ) = H ( p) − H ( D) I(X; X ˆ ) = D 。 对应的平均失真为 Pr( X = X
*
ˆ * = min Ed ( X , x ˆ ) = min ∑ p( x)d ( x, x ˆ) x ˆ ˆ
ˆ∈ A x ˆ∈ A x
x
ˆ* ) Dmax = Ed ( X , x
ˆ 代表的是在没有信源 X 的任何信息的情况下，对 X 能得到的最 从上述定义可以看出， x
好估计。这种估计实际上是用一个常量来对一个变量进行估计，对应的平均失真为 Dmax 。
ˆ ，输出为 X，而且 Pr( X ˆ = 0) = 的交叉概率为 D 的二元对称信道，输入为 X
ˆ = 1) = p − D 。 Pr( X 1− 2 D
图 4.2 下界可达的信道 根据假设可以计算出输出的分布：
1− p − D 1− 2 D
，
ˆ = 1)i P( X = 1| X ˆ = 1) + Pr( X ˆ = 0)i P( X = 1| X ˆ = 0) Pr( X = 1) = Pr( X
ˆ → R ，A 代表 X 取值的集合。 (2) 失真度量的定义：定义失真度量为 d : A × A
+
(3) 有界失真：如果失真的最大值是有限的，则称该失真函数是有界的，即：
ˆ ) < ∞ （4.1） d max = max d ( x, x
率失真理论及经典的码率控制算法
率失真理论及经典的码率控制算法一、视频编码的率失真思想率失真理论研究的是限失真编码问题：能使限失真条件下比特数最小的编码为最佳编码。
设信源为},...,,{21m m a a a A =，经过编码后，信宿为},...,,{21n n b b b B =，定义信源、信宿概率空间分别为)}(),...,(),({Q )}(),...,(),({2121n m b Q b Q b Q a P a P a P P 、。
定义平均失真函数)(Q D 如下： ∑∑∑∑======m j j k j nk k j m j k j n k k j a b Q a P b a d b a P b a d Q D 1111)|()(),(),(),()(其中，),(k j b a d 为失真度，度量准则可是均方误差MSE 、绝对差分和SAD 或差分平方和SSD 等。
若信源概率分布)(j a P 已知，则平均失真仅仅取决于条件概率)|(j k a b Q ，从而必然存在这样一个条件概率)|(j k a b Q 使得D Q D ≤)(，即：))((D Q D Q Q D ≤=即D Q 为保证平均失真)(Q D 在允许范围D 内的条件概率集合。
进一步，定义),(Y X I 为接收端获取的平均信息量：)()|(log)|()(),(1k j k m j j k j b Q a b Q a b Q a P Y X I ∑==同样，在给定的)(j a P 前提下，),(Y X I 的大小也只取决于。
现在率失真函数)(D R 定义为在D Q 范围内寻找最起码的信息量，即：),()(min Y X I D R DQ Q ∈=该公式的含义：在允许的失真度为D 的条件下，信源编码给出的平均信息量的下界，也就是数据压缩的极限数码率。
当数码率R 小于率失真函数)(D R 时，无论采用什么编码方式，其平均失真必大于D 。
视频压缩是典型的限失真编码，率失真理论同样适应于视频编码。
信息率失真函数的定
信息率失真函数的定
义
所谓信息率失真，是指在数据传输过程中造成的原本可以正常识别的信息被破坏而无法被正确识别的现象。
它通常由某种外部的影响，如噪声、干扰或错误编码等因素造成。
具体来说，信息率失真函数是一种度量从输入到输出信号中信息率“差异”的函数。
它定义为信号输出中比原始信号（输入）中丢失的信息的分数。
可以用以下公式来表示信息率失真：
I_R=1-D_R
其中，I_R是信息率失真，D_R是失真率，它定义为输出信号（受失真影响的信号）比输入信号（未受失真影响信号）失真的部分所占的比例，单位是%。
《信息论》(电子科大)第七章_信息率失真理论
电子科技大学
称全部n 称全部n×m个失真度组成的矩阵为失真 矩阵： 矩阵：
d(x1, y1 ) d(x1, y2 ) d(x , y ) d(x , y ) 2 2 2 1 [D] = ... ... d(xn , y1 ) d(xn , y2 ) ... d(x1, ym ) ... d(x2 , ym ) ... ... ... d(xn , ym )
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i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi ln − Sd(xi , yj ) − =0 p(yj ) p(xi ) p(yj / xi ) i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi 令ln λi = p(xi )
ln
p(yj / xi ) p(yj )
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∂ {−S[∑∑p(xk )p(yl / xk )d(xk , yl ) − D]} ∂p(yj / xi ) k =1 l =1
n m
= −Sp(xi )d(xi , yj )
p(yj / xi ) ∂Φi ∴ = p(xi )ln ∂p(yj / xi ) p(yj ) − Sp(xi )d(xi , yj ) − µi = 0
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d(xi , yj ) = (yj − xi )
2
称为平方误差失真度。 称为平方误差失真度。
(2)平均失真度 (2)平均失真度
D = E[d(xi , yj )] = ∑∑p(xi )p(yi / xi )d(xi , yj )
i =1 j=1 n m
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(3)保真度准则 (3)保真度准则 如果给定的允许失真为D 如果给定的允许失真为D 为保真度准则。 则称 p(yj / xi ) = p(yj )
信息论第七讲率失真函数
率失真函数R(D)是连续单调函数
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4.4 率失真函数
例:求率失真函数
已知信源{x1=0，x2=1}，概率分布为（δ，1-δ),δ<0.5，信道输出 符号Y = {y1=0，y2=1}，失真测度为汉明（Hamming）失真测 度，求率失真函数R(D)。 (1)求出R(D)的定义域 Dmin = 0· δ+0· (1-δ) = 0 D max = min {1-δ, δ}=δ
2
由上面方程组解出，
(1 D) p( y1 ) Dp( y2 ) 1 Dp( y1 ) (1 D) p( y2 )
D
1 2D
p( y1 )
1 D p( y2 ) 1 2D
由P(X),P(Y)和P(X/Y)就可以求出相应的P(Y/X).
以一个特例说明存在这样的信道转移概率矩阵[P].
R D min I X ;Y : D D
p( y / x )
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4.4 率失真函数
(4)率失真函数的定义域
R(D)的值域 率失真函数的值域为 0 R（D） H（X）
R(D)
H（X）
Dma D的最小值Dmin 0 Dmin x 在给定的失真度矩阵中，对每一个xi，找一个最 小的 dij，然后对所有的i =1, 2, …,n 求统计平均值， 就是D的最小值，即
对于汉明失真度，平均失真度为：
2 2 i 1 j 1
0 1 d ij 1 0
(信道误码率）
D p( xi , y j )d i j p(0,1) p(1, 0) Pe
可知：0≤Pe≤D ≤δ 在R(D)的定义中，要求满足平均失真度小于等于D， 取等号则：
信息论第四章失真率函数
(1) 根据式(4-14)和(4-18)可求出R(D)的定义域 Dmin = 0·δ+0·(1-δ) = 0 D max = min {1-δ, δ}=δ (2) 求R(D)的值域
ij
式中D是预先给定的失真度，上式称为保真度准则。
根据[定理2.2]，当信源q (x)一定时，平均互信息量I (X ; Y) 是信道转移概率函数p(y∣x)的∪型凸函数，这意味着可以 关于p(y∣x)对平均互信息量I (X ; Y)求得极小值，定义这个
极小值为率失真函数R(D)，即：
RD min I X ;Y : D D p(y x)
xi )
( xi
y j )( y j )
q(xi )
。
1-δ = D （y1）+（1-D） (y2)
由上面方程组解出，
(
y1
)
D
1 2D
(
y
2
)
1
1
D 2D
② 再算出
p( y1
x1 )
(x1 y1 ) ( y1 )
q(x1 )
(1
D)
D 1 2 D
(1 D)( D) (1 2D)
d d 21 d 22
d1J
d
2
J
(4-1)
d I 1 d I 2 d I J
【例4.1】 汉明（Hamming）失真测度
信源输出符号X = {x1, x2, …, xK}，信道输出符号Y = {y1, y2, …,
信息率失真函数解读
D E[d (ui , v j )] E[d (u, v)]
在离散情况下，信源U＝{u1,u2,…ur} ，其概率分布P(u)＝ [P(u1),P(u2),…P(ur)] ，信宿V＝ {v1,v2,…vs} 。 若已知试验信道的传递概率为P(vj/ui)时，则平均失其度为：
D P(uv)d (u, v) P(ui ) P(v j / ui )d (ui , v j )
y
y
0
x
由于信源等概分布，失真函数具有对称，因此，存在着与失真 矩阵具有同样对称性的转移概率分布达到率失真R(D) ，该转 移概率矩阵可写为：
第四章
信息率失真函数
无失真信源编码和有噪信道编码告诉我们：只要信道的 信息传输速率小于信道容量，总能找到一种编码方法,使得 在该信道上的信息传输的差错概率任意小；反之，若信道 的信息传输速率大于信道容量，则不可能使信息传输差错 概率任意小。 但是，无失真的编码并非总是必要的。
香农首先定义了信息率失真函数R(D)，并论述了关于这个 函数的基本定理。 定理指出：在允许一定失真度D的情况下，信源输出的信息 传输率可压缩到R(D)值，这就从理论上给出了信息传输率与允 许失真之间的关系，奠定了信息率失真理论的基础。 信息率失真理论是进行量化、数模转换、频带压缩和数据 压缩的理论基础。 本章主要介绍信息率失真理论的基本内容，侧重讨论离散 无记忆信源。 首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定义与性质； 然后讨论离散信源和连续信源的信息率失真函数计算；在这基 础上论述保真度准则下的信源编码定理。
1 0 1 2 D 1 1 0 2
则
[例3] 对称信源(s = r) 。信源变量U＝{u1,u2,…ur} ，接收变 量V＝ {v1,v2,…vs} 。失真度定义为：
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信息论与编码第6章保真度准则下的信源编码
张建国主要内容与基本要求主要内容
本章目录6.1 引言6.1 引言
前两章分别讨论了无失真信源编码和有噪信道编码定理。
总的来说，
6.1 引言
然而，什么是允许的失真？如何对失真进行描述？在允许一定程度失6.2 失真度与平均失真度失真测度是信息率失真理论的基础。
6.2 失真度与平均失真度失真矩阵6.2 失真度与平均失真度
例6.1，当编码器的输出符号与输入符号相同时，认
6.2 失真度与平均失真度
例6.2 删除信源个。
若输出符号6.2 失真度与平均失真度
例6.3 平方误差失真，当编码器的输出符号
6.2 失真度与平均失真度从以上例子可以看出：6.2 失真度与平均失真度
对所有可能编码符号组合求平均，即为信源在该编码器下的平均失真
6.3 信息率失真函数及其性质6.3.1 保真度准则与D失真许可的试验信道6.3 信息率失真函数及其性质
把所有表示，即：
6.3 信息率失真函数及其性质
将上述满足保真度准则时信源所必须传输的最小平均互信息量称为信6.3 信息率失真函数及其性质信息率失真函数与信道容量的比较
6.3 信息率失真函数及其性质
信道容量表示信道的最大传输能力，反映的是信道本身的特性，应该
6.3 信息率失真函数及其性质6.3.3 信息率失真函数的性质
6.3 信息率失真函数及其性质
显然，若选择试验信道使得对每一个符号平均编码失真达到最小，6.3 信息率失真函数及其性质
实际的允许失真度是否能达到零，与单个符号的失真函数有关。
只有
6.3 信息率失真函数及其性质
例6.4，失真矩阵为6.3 信息率失真函数及其性质
例6.501
12
⎤
⎥
6.3 信息率失真函数及其性质
联合概率矩阵1⎡⎤
6.3 信息率失真函数及其性质
(2) 和
6.3 信息率失真函数及其性质
S R ⎧⎫
6.3 信息率失真函数及其性质
2. 率失真函数是允许失真度的下凸函数
6.3 信息率失真函数及其性质
=∑ 6.3 信息率失真函数及其性质
3. 率失真函数是严格递减的连续函数
6.3 信息率失真函数及其性质
R 6.4 保真度准则下的信源编码定理
定理（限失真信源编码定理）设离散无记忆信源的信息率失真函数
0D ≥。