数学分析ch7-1定积分的概念和可积条件
定积分概念与可积性浅析-第六章定积分及其应用
§1 定积分概念与可积性浅析引例 (曲边梯形的面积)：设函数在闭区间上连续，且。
则由曲)(x f ],[b a 0)(≥x f 线，直线)(x f y =a x =，以及b x =x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形。
在区间(,内任取)a b 1-n 个分点，依次为T ：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210它们将区间分割成个小区间，。
记为],[b a n n i i ],[1i i x x -i ,,2,1 =1i x x x -∆=-x ，i ，同时记n ,,2,1 =}n ,,,21x max{)(T x ∆∆∆= λ，再用直线i x x =，1,,2,1-=n i 把曲边梯形分割成个小曲边梯形。
在每个小区间，n ]i x i ,[i x 1-n ,,2, 1=上任取一点i ξ，n i ,,2,1 =，作以)(i f ξ为高，i x ∆为底的小矩形，其面积为)(i f ξi x ∆，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化)(x f ],[1i i x x -不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。
于是，该曲边梯形面积的近似值为。
从而∑=nf S 1(∆ix≈ii)ξ ()01lim ()niiT i S f λξ→=x =∆∑1 定积分的定义定义1 (分割)：设开区间内有个点，依次为(,)a b 1-n T ：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210将闭区间分成个小区间，记为],[b a n 1i i i x x x -∆=-，n i ,,2,1 =，同时称}n ,{1x x T ,,2x ∆∆ ∆=为区间的一个分割，并记],[b a }{max )1i n i x (T ∆=≤≤λ称为分割T 的模。
定义2：设是定义在[上的一个函数，对于的一个分割)(x f ],b a (,)a b},,,{21n x x x T ∆∆∆= ，任取点i i x ∆∈ξ，n i ,,2,1 =，并作和式),T f i i x f ∆)(ξni =∑=:(n δ1称此和式为在关于分割)(x f ],[b a T 的一个积分和，也称Riemann 和。
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
bx
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi1 xi xn1 xn b
是时间间隔 [T1,T2 ] 上t的连续函数，v(t) 0
且
，计算在此段时间内物体经过的
路程。 思想方法
（1）分割：
在区间 [T1,T2 ]中任取若干分点：
T1 t0 t1 ti1 ti tn1 tn T2
把 [T1 ,T2 ] 分成n个小区间 ： [ti1,ti ]
a
性质7 （定积分中值定理）如果函数f (x)在闭区
间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点
，使
b
a f (x)dx f ( )(b a) (a b)
这个公式叫积分中值公式。
证 由性质6，有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
即有 m 1
I
，如果
取极限
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依
赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上
的定积分(简称积分)，记作
b
n
b
a
f
(x)dx
I f (x)dx lim
a
0
其中：f(x)叫做被积函数;
i 1
f (i )xi
,即
f(x)dx叫做被积表达式;
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定
定积分的概念和可积条件
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
定积分的概念和意义
定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。
在数学和物理学等领域中，定积分有着广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍定积分的概念和意义，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限，用于描述函数在一个区间上的累积效应。
假设我们有一个函数f(x)，在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。
为了计算这个面积，我们将区间[a, b]分成许多小的子区间，然后在每个子区间中找到一个代表点，将函数在该点的取值乘以该子区间的长度，然后将所有的乘积相加求和。
当我们把子区间的数量无限增大，子区间的长度趋近于零时，这个累积和就趋近于一个确定的值，这个确定的值就是定积分。
定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx，其中∫表示积分运算符，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示要积分的函数，而dx表示积分的变量。
二、定积分的意义定积分具有重要的意义，它在数学和物理学中具有广泛的应用，并且为解决实际问题提供了数学工具。
下面将介绍定积分的几个主要意义。
1. 几何意义：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当函数f(x)大于等于零时，定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。
这个面积可以用定积分来精确计算。
2. 物理意义：定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。
例如，当把速度函数v(t)对时间t积分，得到的就是物体在一段时间内的位移。
同样地，将加速度函数a(t)对时间t积分，得到的就是速度的变化量，即位移的变化。
3. 统计意义：定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。
概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况，而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。
通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分，可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。
定积分的概念与性质
t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼 德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积
(3)
并作和 = ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
()
+
+
−
14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =
4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分的概念和定义
定积分的概念和定义
定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、曲线长度、质量、质心等问题。
定积分的定义是通过极限过程来逼近曲线下面积的值。
考虑一个函数f(x)在区间[a, b]上的积分，将该区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，然后在每个小区间上选取一个任意点xi，i取值从1到n。
那么，曲线下的面积可以近似表示为：
S ≈ f(x1) Δx + f(x2) Δx + f(x3) Δx + ... + f(xn) Δx
上述表达式中，f(xi)表示函数f(x)在xi点的函数值，Δx表示小区间的长度。
当n趋向无穷大时，曲线下的面积的连续性被更好地描述，可以写作如下定义的定积分形式：
∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) [f(x1) Δx + f(x2) Δx + ... + f(xn) Δx]
其中，∫表示积分，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量，lim表示极限。
定积分可以理解为对函数
f(x)在[a, b]区间的所有小区间上的面积进行累加，通过极限过程得到曲线下的面积值。
数学分析ch7-1定积分的概念和可积条件
第十三页，共三十页。
例7.1.1 讨论Dirichlet函数
1, x为有理数 D(x) 0, x为无理数
在[0, 1] 上的可积性。
解 由于有理数和无理数在实数域上的稠密性，因此不管用什么
样的划分 P 对[0, 1] 作分割，在每个小区间[xi , xi1] 中一定是既有有理数 又有无理数。
于是，当将 i 全部取为有理数时，
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
a
b
a f (x)dx 0 。 a
这一定义也可以用“ － 语言”表述如下： 设有定数 I ，对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得对任意一种划 分
P： a x0 x1 x2 xn b ， 和任意点 i [xi1,xi ] ，只要 m1iaxn (xi ) ，便有
另一方面为了确定第二定律kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的扇形并近似地将它们看成一个个小的三角形运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限成功地计算出了所扫过的面积图711
数学分析(shù xué fēn xī)ch7-1定 积分的概念和可积条件
第一页，共三十页。
这是天文学上划时代的发现（Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学 发展史上的重要里程碑。
i 1
6
令 n ，得到
lim
n
S
n
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
与
lim
n
S
n
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
，
由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为
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则称 f (x) 在[a, b]上Riemann可积，称 I 是 f (x) 在[a, b]上的定积分。
在上面的定义中，要求 a b。当 a b时，我们规定
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
a
b
a f (x)dx 0 。 a
这一定义也可以用“ － 语言”表述如下： 设有定数 I ，对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得对任意一种划 分
S
n
lim
n
n(n 1)(2n 1) 6n3
1 3
与
lim
n
S
n
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
，
由极限的夹逼性，可知曲边三角形的面积为
S 1。
3
由此可以想到，如果在每个小区间[xi1,xi ] 上任意取点i [xi1,xi ] ，
并构造以
h
为底、以
f
( i
)
2 i
为高的小矩形，则所有这些小矩形的面
y=f(x)
f ( i)
0a
xi
xi-1 i xi
bx
在许多其他领域的研究中，也大量地遇到诸如此类的和式的极限
问题。比如，求一个以速度 v(t) 做变速运动的物体从时间 t T1 到时间 t T2 所走过的路程 S ，可以先在时间段[T1, T2 ]中取一系列的分点 ti ， 作成划分
P： T1 t0 t1 t2 tn T2 ， 并在每个小区间[ti1, ti ]上随意取一点 i ，只要时间间隔
P： a x0 x1 x2 xn b ， 和任意点 i [xi1,xi ] ，只要 m1iaxn (xi ) ，便有
似代替小的曲边梯形的面积。 y
y=f(x)
f ( i)
0a
xi
xi-1 i xi 图7.1.3
bx
那么这些小矩形面积之和
n
f (i )xi
i 1
就是整个大的曲边梯形的面积的近似。令 m1iaxn (xi ) ,当 0 时，若
极限
n
lim
0
i 1
f (i )xi
存在，那么这个极限显然就是 所要求的曲边梯形的精确面积。 y
，
这里 a 和 b 分别被称为积分的下限和上限。
在上面的定义中，要求 a b。当 a b时，我们规定
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
a
b
a f (x)dx 0 。 a
在上面的定义中，要求 a b。当 a b时，我们规定
并由此得到
b f (x)dx = - a f (x)dx ，
ti ti ti1
充分小， v(i ) 就可以近似地看作是在[ti1, ti ]时间段中的平均速度，因 此在这段时间中走过的路程近似地等于 v(i )ti ，于是整个路程就近似 等于
n
v(i )ti 。
i 1
若当
max(1inFra bibliotekti)
0 时,
极限
n
lim
0
i 1
v( i
)ti
存在，那么这个极限就是所要求的路程 S 的精确值。
1in
xi
)
，若当
0
时，极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
存在，且极限值既与划分P无关，又与对 i 的取法无关，则称 f (x) 在
[a, b]上Riemann可积。和式
n
f (i )xi
i 1
称为Riemann和，其极限值 I 称为 f (x) 在[a, b]上的定积分，记为
I
＝
b
a
f
( x)dx
设曲边三角形的面积为 S ，则有 Sn S Sn 。
利用数学归纳法，容易证明
n (i 1)2 12 22 32 (n 1)2 n(n 1)(2n 1)
i 1
6
n i 2 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ，
i 1
6
令 n ，得到
lim
n
直线 x a ， x b和 x 轴围成的曲边梯形的面积（图7.1.3）：
在[a, b]中取一系列的分点 xi ，作成一种划分 P： a x0 x1 x2 xn b ， 记小区间[xi1, xi ] 的长度为
xi xi xi1 ， 并在每个小区间上任意取一点 i ，用底为 xi ，高为 f (i ) 的矩形面积近
这是天文学上划时代的发现（Newton正是在证明这些定律的过程 中发现了万有引力定律，进而创立了现代天体力学），而且也是数学 发展史上的重要里程碑。
一方面，在古希腊的数学家们发现了圆锥曲线的性质之后的一千 八百多年以来，人们从未想到过，这样的纯数学结果居然会有如此辉 煌的实际应用价值。
另一方面，为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分 图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角 形，运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出 了所扫过的面积（图7.1.1）。在其卓有成效的工作中，已包含了现 代定积分思想的雏形。
a
b
a f (x)dx 0 。 a
这一定义也可以用“ － 语言”表述如下： 设有定数 I ，对任意给定的 0 ，存在 0 ，使得对任意一种划 分
P： a x0 x1 x2 xn b ， 和任意点 i [xi1,xi ] ，只要 m1iaxn (xi ) ，便有
n
f (i )xi I ，
积之和为
1 n
n
i2
i 1
，显然仍然有
S n
1 n
n
i2
i 1
Sn ，
令n
，由极限的夹逼性，得到 lim n
1
n
n
i2
i 1
1 3
，就是所求的曲边三
角形的面积。
y
y=f(x)
f ( i)
0
xi-1 xi 1 x
利用上述思想，我们来求由连续曲线 y f (x) （假设 f (x) 0 ），
定积分的定义
定义7.1.1 设 f (x) 是定义于[a, b]上的有界函数，在[a, b]上任意
取分点
{xi
}n i0
，作成一种划分
P： a x0 x1 x2 xn b ，
并任意取点i [xi1, xi ] 。记小区间[xi1, xi ] 的长度为 xi xi xi1 ，并令
max(
第七章 定积分
§1 定积分的概念和可积条件
定积分概念的导出背景 1609年至1619年间，德国天文学家Kepler提出了著名的“行星运 动三大定律”： ⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运 动，太阳在此椭圆的一个焦点上。 ⑵从太阳到行星的向径在相等的 时间内扫过相等的面积。 ⑶行星绕太阳公转周期的平方与 其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。